四川省成都南开为明学校2020-2021学年高一3月月考数学试题word含答案

成都为明学校20-21学年度下学期3月月考
高一年级 数 学

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题 ，每小题5分 ，共60分.在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号涂在答题卡中.）
1.(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是(　　)

A.① B.③ C.①③ D.①②
2.(必修4P127T2改编)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
3．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
4．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)
A．　　　　　 B．
C．(－8,1) D．(8,1)
5．已知tanfalse＝3，则tan α的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
6．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
47040802781307．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)．
A．－＋ B．－－
C.－ D.＋
8.下列各组向量中,可以作为基底的是(　 　)
A．e1=(0,0),e2=(1,2) B．e1=(-1,2),e2=(5,7)
C．e1=(3,5),e2=(6,10) D．e1=(2,-3),e2=(,-)
9．已知锐角false满足false，false，则false等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
10．设a＝cos2°-sin2°，b＝，c＝，则有(　　)
A．aC．b 518985550292011．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于(　　)
A. B.
C. D.
12．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )
A.2 B.3 C.4 D.5

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分，答案写在答题卡上．）
13. sin15°=__________.
505650546418514．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________.
15.函数f(x)＝sin x－cos的值域为 ．
50469803048016．如图，在△ABC中，AD＝2BD，AE＝3EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为________．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，p＝(9,4)。
(1)计算2a＋3b，a－3b； （6分）
(2)若p＝ma＋nb，求m＋n。（4分）
18.已知α∈，sinα＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．


19.已知两个非零向量a,b不共线,=a+b,=a+2b,=a+3b.
(1)证明:A,B,C三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
20．已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋ cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
21.如图，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，＝λ
(1)求λ;
(2)求AC与BD的交点P的坐标．
22.已知函数f(x)＝sin(x＋π)＋cos， x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
4392295708025(2)已知cos(β-α)＝，cos(β＋α)＝-，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2-2＝0.

成都为明学校20-21学年度下学期3月考试
高一 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题 ，每小题5分 ，共60分.在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号涂在答题卡中.）
1.解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误.答案　A
2.解析　∵α是第三象限的角，∴sin α＝－＝－，∴sin＝－×＋×＝－.答案　C
3．答案　B解析　cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
4．答案：A　[＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，＝.]
5．答案：A
6．答案：B　[由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0，即cos θ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.]
7．解析　如图，＝＋＝＋＝－＋.答案　A
8.解析:对于A,e1∥e2,e1,e2是两个共线向量,故不可作为基底;对于B, e1,e2是两个不共线向量,故可作为基底;对于C,e1∥e2,e1,e2是两个共线向量,故不可作为基底;对于D,e1∥e2,e1,e2是两个共线向量,故不可作为基底.故选B.
9．答案：B
10．解：利用三角公式化简得a＝cos2°-sin2°＝cos(60°＋2°)＝cos62°＝sin28°，
b＝tan28°，c＝＝sin25°.
因为sin25° 11．答案：B　[由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，
所以sin∠CED＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.]
12．解：设i，j分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a＝-i＋j，b＝6i＋2j，c＝-i-3j，所以-i-3j＝λ(-i＋j)＋μ(6i＋2j)，即-i-3j＝(-λ＋6μ)i＋(λ＋2μ)j，根据平面向量基本定理得 解得 所以＝4.故选C.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分，答案写在答题卡上．）
13.
14．a＋b，b－a　[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.]
15.[f(x)＝sin x－cos＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．
16．解：设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1-λ)＋λ，同理，设＝μ，则＝＋＝＋μ＝μ＋(1-μ)，根据平面向量基本定理有 解得λ＝，所以＝＋.故填.
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.[解]　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(2)false　[由已知得ma＋nb＝m(-1，2)＋n(2,1)＝(-m＋2n，2m＋n)．
又p＝(9,4)且p＝ma＋nb，所以false解得false所以m＋n＝false.]
18.解：(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝-＝-.
所以sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝-，
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝-，
cos2α＝1-2sin2α＝1-2×＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α
＝×＋×＝-.
19.(1)证明:因为=a+b,=a+2b,=a+3b.所以=-=a+2b-(a+b)=b,
=-=a+3b-(a+b)=2b,所以=2,即与共线.
又因为与有公共点A,所以A,B,C三点共线.
(2)解:因为a,b为非零向量且不共线,所以a+kb≠0.
若ka+b与a+kb共线,则必存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a+kb),整理得(k-λ)a=(λk-1)b.
因此解得或
即存在实数λ=1,使ka+b与a+kb共线,此时k=1;或存在实数λ=-1,使ka+b与a+kb共线,此时k=-1,因此k=±1都满足题意.
20．解：(1)因为f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.依题意，＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin.由2kπ-≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Ζ)．
21.[解]　＝λ＝λ(11－1,6－2)＝(10λ，4λ)．
易得＝(－11,1)，
4401820370840∴＝＋＝(10λ－11,4λ＋1)．
又＝(－8,4)，而与共线，
∴4×(10λ－11)＋8×(4λ＋1)＝0，
解得λ＝.
设点P的坐标为(xP，yP)，
∴＝(5,2)＝(xP－1，yP－2)，
∴ 即
故点P的坐标为(6,4).
22.解：(1)f(x)＝sinxcos＋cosxsin＋cosxcos＋sinxsin＝sinx-cosx＝2sin.
所以T＝2π，f(x)min＝-2.
(2)证明：cos(β-α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，①
cos(β＋α)＝cosαcosβ-sinαsinβ＝-，②
①＋②得cosαcosβ＝0.
因为0＜α＜β≤，所以cosα∈(0，1)，则cosβ＝0，β＝.
所以f(β)＝?[f(β)]2-2＝0.