模块素养评价
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2018·全国卷Ⅱ)i=
( )
A.3-2i
B.3+2i
C.-3-2i
D.-3+2i
【补偿训练】
已知i为虚数单位,复数z满足i2
018+z(1+i)=-i,则复数z等于
( )
A.1-i B.-2i C.i D.-i
2.复数引入后,数系的结构图为
( )
A.
B.
C.
D.
3.定义A
B,B
C,C
D,D
A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么图中(A)(B)所对应的运算结果可能是
( )
A.B
D,A
D
B.B
D,A
C
C.B
C,A
D
D.C
D,A
D
4.演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=lox是对数函数,所以y=lox是增函数”,所得结论错误的原因是
( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.大前提和小前提都错误
5.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩(分优秀和良好),老师说,你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则
A.乙可以知道其余两人的成绩
B.丁可以知道其余两人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
6.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)
( )
A.
B.
C.
D.
7.设z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)(m∈R),若z对应的点在直线x-2y+1=0上,则m的值是
( )
A.±
B.
C.-
D.15
8.中国诗词大会第五季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军.某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:
爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是
( )
A.甲
B.丁或戊
C.乙
D.丙
9.若输出的S的值等于22,那么在算法框图中的判断框内应填写的条件是
( )
A.i>5
B.i>6
C.i>7
D.i>8
10.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N
)个点,相应的图案中总的点数记为an,则+++…+=
( )
A.
B.
C.
D.
11.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是
( )
①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角相等;
②各个面是全等的正三角形,相邻的两个面所成的二面角相等;
③各个面都是全等的正三角形,同一顶点的任两条棱的夹角相等;
④各棱长相等,相邻两个面所成的二面角相等.
A.①④
B.①②
C.①②③
D.③
12.中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用符号表示为a2+b2=c2(a,b,c∈N
),我们把a,b,c叫作勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第5组股数的三个数依次是
( )
A.11 60 61
B.60 61 62
C.11 12 13
D.12 59 61
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=
__________.?
14.如图是地球温室效应图,该图是____________.(填“结构图”“流程图”)?
15.某校对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀,统计后,得到如下的2×2列联表,
优秀
非优秀
总计
甲班
10
50
60
乙班
20
30
50
总计
30
80
110
P(χ2≥x0)
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
x0
2.076
3.841
5.024
6.635
10.828
参考公式:χ2=
经过计算得到随机变量χ2约为7.486,则至少有________把握认为“成绩与班级有关系”.?
16.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图一组蜂巢的截面图中,第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数,则f(4)=________,f(n)=________.?
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)已知z∈C,且|z|-i=+2+3i(i为虚数单位),求复数的虚部.
(2)已知z1=a+2i,z2=3-4i(i为虚数单位),且为纯虚数,求实数a的值.
18.(12分)网上购物系统是一种具有交互功能的商业信息系统,它在网络上建立一个虚拟的购物商场,使购物过程变得轻松、快捷、方便.网上购物系统分为前台管理和后台管理,前台管理包括浏览商品、查询商品、订购商品、用户注册等功能;后台管理包括公告管理、商品管理、订单管理、投诉管理和用户管理等模块.根据这些要求画出该系统的结构图.
19.(12分)已知△ABC的三条边分别为a,b,c.
用分析法证明:<.
20.(12分)目前有声书正受着越来越多人的喜爱.某有声书公司为了解用户使用情况,随机选取了100名用户,统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)情况如图.
有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”,将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有的“年轻用户”是“爱付费用户”.
(1)完成下面的2×2列联表,并据此资料,估计能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关?
爱付费用户
不爱付费用户
总计
年轻用户
非年轻用户
总计
(2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人,再从这5人中随机抽取2人进行访谈,求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率.
①当χ2≤2.706时,没有充分的证据判定变量A,B有关联,可以认为变量A,B是没有关联的;
②当χ2>2.706时,有90%的把握判定变量A,B有关联;
③当χ2>3.841时,有95%的把握判定变量A,B有关联;
④当χ2>6.635时,有99%的把握判定变量A,B有关联.
χ2=.
21.(12分)互联网使我们的生活日益便捷,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分,某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业的经营情况进行了调查,调查结果如表:
1日
2日
3日
4日
5日
外卖甲日接单x(百单)
5
2
9
8
11
外卖乙日接单y(百单)
2
3
10
5
15
(1)试根据表格中这五天的日接单量情况,从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况;
(2)据统计表明,y与x之间具有线性关系.
①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断;(若|r|>0.75,则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))
②经计算求得y与x之间的回归方程为y=1.382x-2.674,假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元,试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时,外卖甲所获取的日纯利润的大致范围.(x值精确到0.01)
相关公式:r=,
参考数据:(xi-)(yi-)=66,
≈77.
22.(12分)设f(x)=x2+mx+n,f(-1)=-1.
(1)求证:方程f(x)=0有两个不相等的实根.
(2)若f(0)·f(1)<0,求m的取值范围.
(3)在(2)的条件下,设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,求证:2<<.
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(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2018·全国卷Ⅱ)i=
( )
A.3-2i
B.3+2i
C.-3-2i
D.-3+2i
【解析】选D.i(2+3i)=2i+3i2
=-3+2i.
【补偿训练】
已知i为虚数单位,复数z满足i2
018+z(1+i)=-i,则复数z等于
( )
A.1-i B.-2i C.i D.-i
【解析】选D.由i2
018+z(1+i)=-i,
即(i4)504·i2+z(1+i)=-i,得z(1+i)=1-i,
所以z====-i.
2.复数引入后,数系的结构图为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由复数的知识可知,复数包括实数与虚数,虚数包括纯虚数与非纯虚数,所以纯虚数与非纯虚数是虚数的下位,不能与实数、虚数并列.
3.定义A
B,B
C,C
D,D
A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么图中(A)(B)所对应的运算结果可能是
( )
A.B
D,A
D
B.B
D,A
C
C.B
C,A
D
D.C
D,A
D
【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|,B表示□,C表示—,D表示○,故图(A)(B)表示B
D和A
C.
4.演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=lox是对数函数,所以y=lox是增函数”,所得结论错误的原因是
( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.大前提和小前提都错误
【解析】选A.对数函数y=logax(a>0且a≠1),当a>1时是增函数,当0
5.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩(分优秀和良好),老师说,你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则
A.乙可以知道其余两人的成绩
B.丁可以知道其余两人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
【解析】选D.由甲的说法可知乙丙一人优秀一人良好,则甲丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果.
6.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设“儿童体型合格”为事件A,“身体关节构造合格”为事件B,则P(A)=,P(B)=.
又A,B相互独立,则,也相互独立,
则P(·)=P()P()=×=,故至少有一项合格的概率为P=1-P()=.
7.设z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)(m∈R),若z对应的点在直线x-2y+1=0上,则m的值是
( )
A.±
B.
C.-
D.15
【解析】选B.因为log2(m2-3m-3)-2log2(m-3)+1=0,
log2=-1,
=,
m=±,而m>,
所以m=.
8.中国诗词大会第五季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军.某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:
爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是
( )
A.甲
B.丁或戊
C.乙
D.丙
【解析】选D.假设爸爸的猜测是对的,则冠军是丙;假设妈妈的猜测是对的,不合题意;假设孩子的猜测是对的,则妈妈的猜测也对,不合题意.
9.若输出的S的值等于22,那么在算法框图中的判断框内应填写的条件是
( )
A.i>5
B.i>6
C.i>7
D.i>8
【解析】选B.S=1+1=2,i=2,不满足条件,执行循环;
S=2+2=4,i=3,不满足条件,执行循环;
S=4+3=7,i=4,不满足条件,执行循环;
S=7+4=11,i=5,不满足条件,执行循环;
S=11+5=16,i=6,不满足条件,执行循环;
S=16+6=22,i=7,满足条件,退出循环体,输出S=22.
故判定框中应填i>6或i≥7.
故选B.
10.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N
)个点,相应的图案中总的点数记为an,则+++…+=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为由所给的图形可得,三角形的每个边有n个点,把每个边的点数相加得3n,这样角上的点被重复计算了一次,
故第n个图形的点数为3n-3,即an=3n-3,
故=
==-.
利用裂项求和可知+++…+=+++…+,除了首项1和末项-,中间项都消去了,故结果为1-=.
11.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是
( )
①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角相等;
②各个面是全等的正三角形,相邻的两个面所成的二面角相等;
③各个面都是全等的正三角形,同一顶点的任两条棱的夹角相等;
④各棱长相等,相邻两个面所成的二面角相等.
A.①④
B.①②
C.①②③
D.③
【解析】选B.类比推理原则是:类比前后保持类比规则的一致性,而③④违背了这一规则,①②符合.
12.中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用符号表示为a2+b2=c2(a,b,c∈N
),我们把a,b,c叫作勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第5组股数的三个数依次是
( )
A.11 60 61
B.60 61 62
C.11 12 13
D.12 59 61
【解析】选A.先找出勾股数的规律:①以上各组数均满足a2+b2=c2;②最小的数(a)是奇数,其余的两个数是连续的正整数;
③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和,如32=9=4+5,52=25=12+13,72=49=24+25,92=81=40+41…,由以上特点我们可猜测第⑤组勾股数:112=121=60+61.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=
__________.?
【解析】因为|z1|=|z2|=2,
可设z1=2cos
θ+2sin
θ·i,
z2=2cos
α+2sin
α·i,所以z1+z2=2(cos
θ+cos
α)+2(sin
θ+sin
α)·i
=+i,
所以,两式平方作和得:
4(2+2cos
θcos
α+2sin
θsin
α)=4,
化简得cos
θcos
α+sin
θsin
α=-,
所以|z1-z2|=|2(cos
θ-cos
α)+2(sin
θ-sin
α)·i|
=
===2.
答案:2
14.如图是地球温室效应图,该图是____________.(填“结构图”“流程图”)?
【解析】该图表述的是动态过程,应填“流程图”.
答案:流程图
15.某校对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀,统计后,得到如下的2×2列联表,
优秀
非优秀
总计
甲班
10
50
60
乙班
20
30
50
总计
30
80
110
P(χ2≥x0)
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
x0
2.076
3.841
5.024
6.635
10.828
参考公式:χ2=
经过计算得到随机变量χ2约为7.486,则至少有________把握认为“成绩与班级有关系”.?
【解析】因为7.486>6.635,所以至少有99%的把握认为“成绩与班级有关系”.
答案:99%
16.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图一组蜂巢的截面图中,第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数,则f(4)=________,f(n)=________.?
【解析】f(4)=4+5+6+7+6+5+4=37,f(n)=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1)+n=2×-(2n-1)=3n2-3n+1.
答案:37 3n2-3n+1
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)已知z∈C,且|z|-i=+2+3i(i为虚数单位),求复数的虚部.
(2)已知z1=a+2i,z2=3-4i(i为虚数单位),且为纯虚数,求实数a的值.
【解析】(1)设z=x+yi(x,y∈R),代入方程|z|-i=+2+3i,
得出-i
=x-yi+2+3i
=(x+2)+(3-y)i,
故有
解得
所以z=3+4i,复数==2+i,虚部为1.
(2)==,且为纯虚数,则3a-8=0且4a+6≠0,解得a=.
18.(12分)网上购物系统是一种具有交互功能的商业信息系统,它在网络上建立一个虚拟的购物商场,使购物过程变得轻松、快捷、方便.网上购物系统分为前台管理和后台管理,前台管理包括浏览商品、查询商品、订购商品、用户注册等功能;后台管理包括公告管理、商品管理、订单管理、投诉管理和用户管理等模块.根据这些要求画出该系统的结构图.
【解析】结构图如下:
19.(12分)已知△ABC的三条边分别为a,b,c.
用分析法证明:<.
【证明】依题意a>0,b>0,
所以1+>0,1+a+b>0,
所以要证<,
只需证(1+a+b)<(1+)(a+b),
只需证只需证a2+b2+ab>0,
因为a2+b2+ab=+b2>0成立,
所以<成立.
20.(12分)目前有声书正受着越来越多人的喜爱.某有声书公司为了解用户使用情况,随机选取了100名用户,统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)情况如图.
有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”,将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有的“年轻用户”是“爱付费用户”.
(1)完成下面的2×2列联表,并据此资料,估计能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关?
爱付费用户
不爱付费用户
总计
年轻用户
非年轻用户
总计
(2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人,再从这5人中随机抽取2人进行访谈,求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率.
①当χ2≤2.706时,没有充分的证据判定变量A,B有关联,可以认为变量A,B是没有关联的;
②当χ2>2.706时,有90%的把握判定变量A,B有关联;
③当χ2>3.841时,有95%的把握判定变量A,B有关联;
④当χ2>6.635时,有99%的把握判定变量A,B有关联.
χ2=.
【解析】(1)根据题意可得2×2列联表如下:
爱付费用户
不爱付费用户
总计
年轻用户
24
40
64
非年轻用户
6
30
36
总计
30
70
100
由表中数据可得χ2==≈4.76>3.841,
所以有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关.
(2)由分层抽样可知,抽取的5人中有4人为“年轻用户”,记为A1,A2,A3,A4,1人为“非年轻用户”,记为B.
则从这5人中随机抽取2人的基本事件有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B),
(A2,A3),(A2,A4),(A2,B),(A3,A4),(A3,B),(A4,B),共10个基本事件.
其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),
(A2,A3),(A2,A4),(A3,A4),共6个.
所以抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率为P==.
21.(12分)互联网使我们的生活日益便捷,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分,某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业的经营情况进行了调查,调查结果如表:
1日
2日
3日
4日
5日
外卖甲日接单x(百单)
5
2
9
8
11
外卖乙日接单y(百单)
2
3
10
5
15
(1)试根据表格中这五天的日接单量情况,从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况;
(2)据统计表明,y与x之间具有线性关系.
①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断;(若|r|>0.75,则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))
②经计算求得y与x之间的回归方程为y=1.382x-2.674,假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元,试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时,外卖甲所获取的日纯利润的大致范围.(x值精确到0.01)
相关公式:r=,
参考数据:(xi-)(yi-)=66,
≈77.
【解析】(1)由题可知,==7(百单),
==7(百单),
外卖甲的日接单量的方差为
==10,
外卖乙的日接单量的方差
==23.6,
因为=,<,即外卖甲平均日接单与乙相同,但外卖甲日接单量更集中一些,所以外卖甲比外卖乙经营状况更好.
(2)①因为r=,
由:(xi-)(yi-)=66,
≈77,
代入计算可得,相关系数r=≈0.857>0.75,
所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系;
②令y≥25,得1.382x-2.674≥25解得x≥20.02,又20.02×100×3=6
006,
所以当外卖乙日接单量不低于25百单时,外卖甲所获取的日纯利润大约不低于
6
006元.
22.(12分)设f(x)=x2+mx+n,f(-1)=-1.
(1)求证:方程f(x)=0有两个不相等的实根.
(2)若f(0)·f(1)<0,求m的取值范围.
(3)在(2)的条件下,设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,求证:2<<.
【解析】(1)因为f(-1)=-1,所以m-n=2,
所以Δ=m2-4n=m2+4(2-m)=(m-2)2+4>0,
则方程f(x)=0有两个不相等的实根.
(2)由f(0)f(1)=n(1+m+n)<0,
将m-n=2代入有(m-2)(2m-1)<0,
所以(3)由(2)知,因为x1+x2=-m,x1x2=n,
所以|x1-x2|=
==,
因为PAGE