甘肃省兰州市第一高中2020-2021学年高一下学期4月月考数学试题 Word版含解析

2020-2021兰州一中高一下学期四月月考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I卷（选择题 共60分）
选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)
1．过点P(1，4)且在x轴，y轴上的截距的绝对值相等的直线共有　(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3060703486152．程序框图如图所示,如果程序运行的结果为S=132,那么判断框中可填入(　　)
A．k≤10? B．k≥10? C．k≤11? D．k≥11?
3．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5036820247654．圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆的方程是（　　）
A．（x﹣3）2+（y+2）2＝3 B．（x﹣3）2+（y+2）2＝9
C．（x+3）2+（y﹣2）2＝3 D．（x+3）2+（y﹣2）2＝9
5．根据右面的算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（　　）
A．25 B．30 C．31 D．60
6．M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的
位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
7．光线从点false射出，经false轴反射后与圆false相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
51308006985A．false或false B．false或false C．false或false D．false或false
8．已知直线l：x+ay﹣1＝0是圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣1，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =（　　）
A． B． C． D．
10. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线false的距离为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知曲线false：falsefalsefalse，直线false与曲线false恰有两个交点，则false的取值集合为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知圆false，圆false，点M、N分别是圆false、圆false上的动点，P为x轴上的动点，则false的最大值是（ ）
A. B. 9 C. 7 D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．成语“半斤八两”意思是一个半斤，一个八两，“半斤”是指用“十两秤”来称某种物体的重量，“八两”是指用“十六两秤”来称该物体的重量为八两，比喻彼此一样，不相上下．成语出自宋?无名氏《张协状元》戏文第28出：“两个半斤八两，各家归去不须嗔．”事实上“十六两秤”是我国古代曾经使用非常广泛的一种称重衡器，秤杆上一两一星，每斤共计16克星，分别代表北斗七星、南斗六星和福禄寿．买卖交易时，短1两“减福”，短2两“亏禄”，缺3两“折寿”，商家以“货真价实，童叟无欺”自律．“十六两秤”的计数采用的是十六进制，即“逢十六进一”，若用A表示10，那么A10（16）转换为十进制为 　．（用数字作答）
14．过圆外一点false作圆false的两条切线false，false（false，false为切点），若false，则动点false的轨迹方程是 　.
15．在平面直角坐标系false中，圆C的方程为false，若直线false上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则false的最大值为 　．
16．已知两条直线y＝x+1，y＝k（x﹣1）将圆x2+y2＝1及其内部划分成三个部分，则k的取值范围是 　.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．
18.（本小题满分12分）
已知实数false，false满足方程false.
（1）求false的最大值和最小值；
（2）求false的最大值和最小值.
19.（本小题满分12分）
已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0及直线l：（2m+1）x+（m+1）y＝7m+4（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．
20．（本小题满分12分）
已知点false，直线false及圆false.
（1）求过点M的圆C的切线方程；
（2）若直线false与圆C相交于A、B两点，且弦AB的长为false，求a的值.
21．（本小题满分12分）
已知过点false的圆M的圆心为false，且圆M与直线false相切．
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过点false且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若△PAB的面积为false，求直线l的方程．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系false中，已知圆false过坐标原点false且圆心在曲线false上.
（1）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线false与圆M交于不同的两点C、D，且false，求圆M的方程；
（3）设直线false与（2）中所求圆M交于点E、F，P为直线false上的动点，直线false、false与圆M的另
一个交点分别为G、H，求证：直线false过定点.
2020-2021兰州一中高一下学期四月月考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I卷（选择题 共60分）
选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)
1．过点P(1，4)且在x轴，y轴上的截距的绝对值相等的直线共有　(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3060703448052．程序框图如图所示,如果程序运行的结果为S=132,那么判断框中可填入(　　)
A．k≤10? B．k≥10? C．k≤11? D．k≥11?
3．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4996815330204．圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆的方程是（　　）
A．（x﹣3）2+（y+2）2＝3 B．（x﹣3）2+（y+2）2＝9
C．（x+3）2+（y﹣2）2＝3 D．（x+3）2+（y﹣2）2＝9
5．根据右面的算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（　　）
A．25 B．30 C．31 D．60
6．M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的
位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
7．光线从点false射出，经false轴反射后与圆false相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
5277485142240A．false或false B．false或false C．false或false D．false或false
8．已知直线l：x+ay﹣1＝0是圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣1，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =（　　）
A． B． C． D．

10. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线false的距离为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知曲线false：falsefalsefalse，直线false与曲线false恰有两个交点，则false的取值集合为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知圆false，圆false，点M、N分别是圆false、圆false上的动点，P为x轴上的动点，则false的最大值是（ ）
A. B. 9 C. 7 D.
答案 1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.C 8.C 9.D 10.B 11.D 12.B
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．成语“半斤八两”意思是一个半斤，一个八两，“半斤”是指用“十两秤”来称某种物体的重量，“八两”是指用“十六两秤”来称该物体的重量为八两，比喻彼此一样，不相上下．成语出自宋?无名氏《张协状元》戏文第28出：“两个半斤八两，各家归去不须嗔．”事实上“十六两秤”是我国古代曾经使用非常广泛的一种称重衡器，秤杆上一两一星，每斤共计16克星，分别代表北斗七星、南斗六星和福禄寿．买卖交易时，短1两“减福”，短2两“亏禄”，缺3两“折寿”，商家以“货真价实，童叟无欺”自律．“十六两秤”的计数采用的是十六进制，即“逢十六进一”，若用A表示10，那么A10（16）转换为十进制为 　．（用数字作答）
14．过圆外一点false作圆false的两条切线false，false（false，false为切点），若false，则动点false的轨迹方程是 　.
15．在平面直角坐标系false中，圆C的方程为false，若直线false上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则false的最大值为 　．
16．已知两条直线y＝x+1，y＝k（x﹣1）将圆x2+y2＝1及其内部划分成三个部分，则k的取值范围是 　.
答案 13．2576 14．false 15． false 16． （﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°.
(1)求直线l的方程； x－y－2＝0 …………………… 5′
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积． …………………… 5′
【详解】(1)由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋2＝tan60°x，即x－y－2＝0.
(2)设直线l与x轴、y轴的交点分别为A，B，令y＝0得x＝；令x＝0得y＝－2.
所以S△OAB＝|OA|·|OB|＝××2＝，故所求三角形的面积为.

18. （本小题满分12分）
已知实数false，false满足方程false.
（1）求false的最大值和最小值； 最大值为false，最小值为false ……………… 6′
（2）求false的最大值和最小值. 最大值为false，最小值为false ………… 6′
【详解】（1）方程表示以点false为圆心，false为半径的圆，设false，即false，
当直线false与圆相切时，斜率false取得最大值和最小值，
此时false，解得false. 故false的最大值为false，最小值为false.
（2）false表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故false， false.
19.（本小题满分12分）
已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0及直线l：（2m+1）x+（m+1）y＝7m+4（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．
【解析】证明：（1）把直线l的方程改写成（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）＝0，
由方程组，解得，
所以直线l总过定点（3，1）．
圆C的方程可写成（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，
所以圆C的圆心为（1，2），半径为5．
定点（3，1）到圆心（1，2）的距离为5，
即点（3，1）在圆内．
所以过点（3，1）的直线总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交．……………… 6′
解：（2）设直线l与圆交于A、B两点．当直线l过定点M（3，1）且垂直于过点M的圆C的半径时，
l被截得的弦长|AB|最短．
因为|AB|＝2224，
此时kAB2，所以直线AB的方程为y﹣1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣5＝0．
故直线l被圆C截得的弦长最小值为4，此时直线l的方程为2x﹣y﹣5＝0． ……………… 6′
20.（本小题满分12分）
已知点false，直线false及圆false.
（1）求过点M的圆C的切线方程； false或false ……………… 6′
（2）若直线false与圆C相交于A、B两点，且弦AB的长为false，求false的值 false …… 6′
【解析】由题意false，false．
（1）过点false且斜率不存在的直线为false与圆false相切，
过点false且斜率存在的直线，设其方程为false，即false，
∴false，解得false，切线方程为false，即false．
∴所求切线方程为false或false．
（2）false，
∴false，解得false．
21．（本小题满分12分）
已知过点false的圆M的圆心为false，且圆M与直线false相切．
（1）求圆M的标准方程； false ……………… 6′
（2）若过点false且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若false的面积为false，求直线l的方程． false ……………… 6′
【详解】（1）设圆M的标准方程为：false，
则圆心M到直线false的距离为false，
由题意得false，解得false或false舍去false，所以false，
所以圆M的方程为false．
（2）设直线l的方程为false，则圆心M到直线l的距离为false，
false，
又点false到直线l的距离为false，
false，解得false，false，
则直线的方程为false．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系false中，已知圆false过坐标原点false且圆心在曲线false上.
（1）若圆false分别与false轴、false轴交于点false、false（不同于原点false），求证：false的面积为定值；
（2）设直线false与圆false交于不同的两点false、false，且false，求圆false的方程；
（3）设直线false与（2）中所求圆false交于点false、false，false为直线false上的动点，直线false、false与圆false的另一个交点分别为false、false，求证：直线false过定点.
【答案】（1）证明见解析；（2）false；（3）证明见解析.
【解析】（1）由题意可设圆心为false，则圆的半径为false，
则圆false的方程为false，即false.
令false，得false，得false；令false，得false，得false.
false（定值）； ……………………………… 3′
（2）由false，知false，所以false，解得false.
当false时，圆心false到直线false的距离false小于半径，符合题意；
当false时，圆心false到直线false的距离false大于半径，不符合题意.
所以，所求圆false的方程为false； ……………………………… 4′
（3）设false，false，false，又知false，false，
所以false，false.
因为false，所以false.
将false，false代入上式，
整理得false.①
设直线false的方程为false，代入false，
整理得false.
所以false，false.
代入①式，并整理得false，
即false，解得false或false.
当false时，直线false的方程为false，过定点false；
当false时，直线false的方程为false，过定点false
检验定点false和false、false共线，不合题意，舍去.
故false过定点false. ……………… ……………………………………………… 6′