(共20张PPT)
SA+SB=SC
a2+b2=c2
a
b
c
SA
SB
SC
a
b
c
勾股定理
注：
１．前提条件：直角三角形
２．根据勾股定理，在直角三
角形中已知任何两边可求
第三边
知识&回顾
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
a
b
c
c2=a2 + b2
结论变形
知识&回顾
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
a2=c2 - b2
b2=c2 -a2
在直角三角形中，三边长分别为a 、 b 、 c,其中c为斜边
1. (1)a=3, b=4, 则c=
(2)a=5, b=12, 则c=
2. (1)a=6, c=10, 则b=
(2)b=20, c=25, 则a=
3. a：b＝3：4，c＝10,则a= ,b=
5
13
8
15
8
6
1.如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为
2.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和.
A+B
C+D
A+B+C+D
E
D
C
B
A
某人拿一根竹竿想进城，可是竹竿太长了，横竖都进不
了城。这时，一位老人给他出了个主意，把竹竿截成两
半……
古代笑话
截竿进城
一个门框尺寸如图所示，一块长３m，宽２.２m的薄木板能否从门框内穿过？为什么？
A
B
C
D
1 m
2 m
3m
2.2m
探究1:
实际问题
数学问题
木板能否进门
比较木板宽与斜边AC长度的大小
AC≥2.2能进，AC<2.2不能进
求AC
勾股定理
A
C
O
B
D
一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上, 这时AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
探究2:
3
2.5
0.5
2
3
分析:DB=OD-OB,求BD,可以 先求OB,OD.
A
C
O
B
D
梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_______.
在Rt△AOB中，
在Rt△COD中，
OD－OB = 2.236 －1.658 ≈0.58
0.58 m
一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
3
2.5
2
3
1.658
2.236
探究2:
(2)运用勾股定理解决生活中的一 些实际问题.
(1)将实际问题转化为数学问题, 建立数学模型.
归纳与小结
1、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖住这个洞口，圆的直径至少要多长（结果保留整数）？
50
50
小试身手 ：
B
A
2、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m. 你能求出A、B两点间的距离吗（结果保留整数）？
C
60
20
小试身手 ：
1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每小时飞行多少千米？
A
拓展提高
4000米
5000米
20秒后
B
C
3000米
(千米/时)
2、如果等边三角形的边长是6，你能求高AD的长和这个三角形的面积吗？
A
D
B
C
6
拓展提高
3、如图，在△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，若∠B=300，AD=1求高CD和△ABC的面积。
C
A
B
D
1
2
3
拓展提高
4.一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm，高为10cm，现有一支12cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管 露出杯口外. (填“能”或“不能”)
4
10
能
拓展提高
D
A
B
C
E
《九章算术》：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，请问这个水的深度与这根芦苇的长度各是多少？
X
2
5
2
(X+1)
2
+
=
X
X+1
5
1(共15张PPT)
SA+SB=SC
a2+b2=c2
a
b
c
SA
SB
SC
c
a
b
在△ABC中，∠C=90°.
(4)斜边大于直角边;
(1)两锐角互余;
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半;
C
A
B
(3)勾股定理：
a2+b2 =c2
直角三角形两直角边a、b平方和， 等于斜边c平方。
(2)可用勾股定理建立方程.
(2) 若a=２，c=３，则b=__________；
(3) 若c=13，b=5，则a=__________；
(4) 若a:b=3:4, c=10,则a=______,b=_______.
(1) 若a=3，ｂ=4，则c=__________；
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
a
b
c
Ａ
Ｃ
Ｂ
小结
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
5
12
6
8
方程思想
1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为 .
5 或
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
分类讨论
2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC
∟
D
∟
D
A
B
C
A
B
C
10
17
8
17
10
8
分类讨论
1.小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？
30
20
x
50-x
方程思想
小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
x+1
x
5
1
练习&1
方程思想
2.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
求(1) △ABC的面积； (2)求腰AC上的高
A
B
C
15
14
13
D
x
14-x
12
E
方程思想
面积法
1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
24
4.8
A
B
C
D
练习&2
面积法
2.已知:一个三角ABC,AB=AC=13,BC=10,
(1)求它的面积；(2)求腰AC上的高.
A
B
C
13
13
5
5
12
D
E
(1)如图，在四边形ABCD中，∠BAD =900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12，
求CD的长和四边形ABCD的面积。
练习&3
(3)已知： c ＝10，a＝6，求正三角形的面积.
(2)已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积
a
c
c
a
b
3
4
5
12
13
6
30
5
13
12
6
10
8
4
8
D
A
B
C
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
解：
∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
∴BD= AD=4
在Rt△ABD中
,根据勾股定理
在Rt△ABC中，
又AD=8
A
B
C
D
30°
8
4
x
x
如图，∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？
A
C
B
S3
S1
S2
直角三角形ABC的面积为20cm2 ,在AB的同侧分别以AB、BC、CA为直径做三个半圆，求阴影部分的面积。
A
C
B
二、方法
一、知识点
善于把实际问题转化为我们熟悉的数学问题
三、数学思想
化归思想
1.勾股定理：直角三角形中两直角边的平方
和等于斜边的平方.即a +b =c
2.勾股定理不仅仅是直角三角形三边的数量
关系,还是一种面积关系.
3.勾股定理的应用.
你能谈谈学习这节内容的收获和体会吗？(共19张PPT)
a2+b2=c2
c
b
a
A
B
C
蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米？
G
E
3
4
5
12
5
13
（小方格的边长为1厘米）
练习1:
小明在平坦无障碍物的草地上,从A地向东走 3 m ,再向北走 2 m ,再向西走 1 m ,再向北走 6 m ,最后向东走 4 m 到达 B 地 ,求 A、B 两地的最短距离是多少
A
3
2
1
6
B
4
c
6
8
答：A、B 两地的最短距离
是10 米.
练习2:
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能进入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？
练习3:
1.5米
1.5米
2.2米
1.5米
1.5米
2.2米
1.5米
1.5米
x
x
2.2米
A
B
C
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
有一圆柱，底面圆的周长为24cm，高为6cm，一只蚂蚁从底面的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
A
B
B
A
C
蚂蚁从距底面1cm的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
A
B
B
A
C
探究1:
分析：由于蚂蚁是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽6cm处和长24cm中点处，即AB长为最短路线.(如图)
12
6
12
5
13
展开问题
A
变式1：
有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至C，（A,C在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是多少？
C
B
A
D
C
A
B
10
10
10
B
C
A
C
变式2：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面由A至B需要爬行的最短路程又是多少呢？
变式3：如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
3
2
1
分析：有3种情况,六条路线。
(1)经过前面和上底面; (或经过后面和下底面)
(2)经过前面和右面; (或经过左面和后面)
(3)经过左面和上底面. (或经过下底面和右面)
A
B
2
3
A
B
1
C
3
2
1
B
C
A
3
2
1
B
C
A
3
2
1
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
2
0.3
0.2
A
B
A
B
C
2m
(0.2×3＋0.3×3)m
勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形。尝试把立体图形转换为平面图形。
变式4：
边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交X轴于点D，
求（1）点D的坐标；（2）三角形ADC的面积；
（3）CD所在的直线解析式；（4）点B1的坐标.
O
C
B
A
B1
D
1
2
3
E
8
4
8
4
x
y
z
z
8-z
探究2:
4
3
5
折叠问题
如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
C
A
B
D
E
x
10-x
6
练习&2
10-x
长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，
已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
A
B
C
D
F
E
8
10
8
10
10
6
x
x
8-x
4
探究3:
折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。
D
A
G
B
C
E
练习&3
4
x
3
4
3
4-x
x
3
你还能用其他方法求AG的长吗？
折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。
D
A
G
B
C
E
练习&3
4
x
3
4
3
4-x
x
3
你还能用其他方法求AG的长吗？
练习1:
一只蚂蚁从实心长方体的顶点A1出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
A
B
A1
B1
D
C
D1
C1
2
1
4
如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c（a＞b＞c），你能求出蚂蚁从顶点A1到C的最短路径吗？
A1
B1
1
4
5
A1
A
4
1
A1
D1
4
2
a
b
c
第一种路线最短
A
B
A1
B1
D
C
D1
C1
b
c
a
A1
B1
c
a
A1
A
a
c
A1
D1
a
b
从A1到C的最短路径是
变式:
如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c（a＞b＞c），你能求出蚂蚁从顶点A1到C的最短路径吗？
A1
B1
a
b
c(共33张PPT)
18.1勾股定理（1）
地砖铺成的地面
B
C
A
a
c
b
相传2500年前,古希腊有一位非常著名的数学家毕达哥拉斯,他善于观察和思考问题,经常从生活中寻找一些数学问题,有一次,他到朋友家做客,发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.
A
B
网格中的直角三角形是否也有这样的性质呢
(每个小方格的边长都是1个单位长度)
C
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
9
16
25
a
b
c
图2
a
b
c
猜想：直角三角形的两直角边长
分别为a、b，斜边长为c，
那么
b
a
c
a2+b2=c2。
a
c
b
┐
图1
b
a
a
b
c
剪一剪 拼一拼
你能把图1拼成图2的样子吗
如果直角三角形的两直角边长
分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么 a2+b2=c2。
勾股定理：
勾
股
弦
a
b
c
赵爽弦图证法
证法一、 赵爽弦图验证勾股定理
∵s大正方形=
a
b
c
而s大正方形=c2
∴a2+b2=c2
a
b
c
①
②
③
④
⑤
证法二 无字证明
青出
朱入
朱出
朱方
青方
青入
青入
青出
青出
证法三、青朱出入图
朱入
朱出
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
(a+b)2
=
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
可得: a2 + b2 = c2
证法四
a
a
b
b
c
c
证法五、美国第20任总统伽菲尔德证法：
∵ s梯形= (a+b)(a+b)= (a2+2ab+b2)
s梯形=2× ab+ c2=ab+ c2
∴ a2+ab+ b2=ab+ c2
∴a2+b2=c2
= a2+ab+ b2
证法六、拼图游戏
证法七、希腊证法
证法七、希腊证法
证法七、希腊证法
证法七、希腊证法
证法七、希腊证法
证法八、达芬奇证明方法
勾股定理有着悠久的历史，几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解，它来源于人们生产实践之中，对人类发展起着十分重要的作用。
我国著名数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形到宇宙中，如果宇宙有人的话，他们一定会认识这种语言的。这条建议得到许多科学家的赞同。
勾股定理 外星人
★ 公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现勾股定理，命名为“毕达哥拉斯定理” （百牛定理），而且给出了证明。
★ 古巴比仑人在公元前19世纪也发现此定理。
★ 定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密斯搜集整理的《毕达哥拉斯》一书中就给出370种不同证法。
★ 公元前11世纪，周公与商高的对话（记录于公元前1世纪《周髀算经》）中提出“勾三、股四、弦五”。——勾股定理、商高定理
★ 《周髀算经》中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次
提到勾股定理。——陈子定理
学以致用：1.求图中字母所代表的正方形的面积。
24
80
A
B
81
144
A
B
400
625
∟
想一想：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
58厘米
46厘米
74厘米
１、本节课我们经历了怎样的探究过程？
２、本节课我们学到了什么？
３、学了本节课后我们有什么感想？
梳理反思：
从特殊----- 一般的探究过程
勾股定理 割补法 以形解数法
中国悠久的文化和伟大的古代文明
作业：
１、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景。
２、通过查阅资料，了解勾股定理的证明方法。
再见
在西方人们认为勾股定理是毕达哥拉斯先发现的，并称之为“毕达哥拉斯定理”。不过早在公元前1120年左右中国的商高就在对话中说到：“故折矩，此为勾广三，股修四，经隅五。”你可能认为这是最早的勾股定理，但是具调查在公元前1900年的一块巴比伦上午泥板中，记载了15组勾股数。所以古巴比伦人才是勾股定理最先的发现人。
有关知识：
◆ “勾广三，股修四，径隅五。”
◆ 在西方，一般认为这个定理是一个叫做毕达哥拉斯的人发现的，所以称这个定理为毕达哥拉斯定理。
◆ 我国著名数学家华罗庚建议：发射一种勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会认识这种“语言”的。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”
商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
毕达哥拉斯出生于萨摩斯岛，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何，自然学和哲学。后来来到巴比伦，印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养。大约在公元前530年，又返回萨摩斯岛，后来又迁居意大利的克罗通，创建了自己的学术。毕达哥拉斯学术认为数最崇高，最神秘，他们所讲的是整数。可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯到了晚年不仅学术保守，还反对新生事物，最后死与非命(共10张PPT)
SA+SB=SC
a2+b2=c2
a
b
c
SA
SB
SC
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案
由此可知,利用勾股定理,可以作出长为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
第七届国际数学
教育大会的会徽
1
数学海螺图：
你能在数轴上表示出
的点吗？
的线段.
-1 0 1 2 3
你能在数轴上表示出 的点吗？
你能在数轴上画出表示
的点吗？
探究1:
√
√
0
1
2
3
4
步骤：
l
A
B
C
1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点。
你能在数轴上画出表示 的点和 的点吗？
∴点C即为表示 的点
你能在数轴上画出表示 的点吗？
探究1:
0
1
2
3
4
l
A
B
C
你能在数轴上画出表示 的点和 的点吗？
√
√
0
1
2
3
4
A
B
C
1、如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画出几条边长为 的线段
A
练习&1
2.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个 写出落在x轴上的顶点坐标.
Ｏ
Ｄ
⌒
Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ｈ
x
y
练习&1
荷花问题
平平湖水清可鉴,
面上半尺生红莲;
出泥不染亭亭立,
忽被强风吹一边;
渔人观看忙向前,
花离原位二尺远;
能算诸君请解题,
湖水如何知深浅.
0.5
x
x+0.5
2
答：湖水深3.75尺.
探究2:
可用勾股定理建立方程.
执竿进屋
笨人持竿要进屋，
无奈门框栏住竹，
横多四尺竖多二，
没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，
教他斜竿对两角，
笨人依言试一试，
不多不少刚抵足，
借问竿长多少数，
谁人算出我佩服。
x
4
2
x-2
x- 4
答：竿长10尺.
探究3
