8.3.3球专题几何体的外接球与内切球问题-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（17张PPT）

8.3 第三课时 球专题
几何体的外接球与内切球问题
请同学回顾球的表面积与体积公式
温故知新
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小圆
????′
?
????
?
????
?
????
?
????
?
若小圆的圆心为????′，半径为????，球的球心为????，半径为????，则
?
????????′?⊥圆面 ????′
?
????????=????????+????????′????
?
球的截面问题
1
例题解析
球的截面问题
1
例：用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为????，则球的表面积为多少？
?
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得 ????????′=????,设截面圆的半径为????，球的半径为 ????，因为截面圆的面积为 ?????，
?
????′
?
????
?
????
?
????
?
????
?
所以可得 ????????????= ?????，解得 ????=????
?
又由 ????????=????????′????+????????=?????，所以 ????=????
?
所以球的表面积
????球=4????????2=8????
?
例题解析
练习： 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
解：设球心为 ????，截面圆的圆心为 ????′，连接 ????′????,????????,????′????.设球的半径为 ????，由题意有
?
????′
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????′????=????????×????????×????=????????????
?
在????????Δ????????′????中，????????????=????′????????+????′????????
?
所以????????=????????????????+????????????????,解得????=????????
?
所以????球=????????????????=????????????????
?
1
球的截面问题
练习巩固
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
2
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
球与旋转体
重要！
课堂探究
例：已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的顶点都在同一球面上，求这个球的表面积.
解：∵ 长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的顶点都在同一个球面上，
∴ 长方体的体对角线就是球的直径， 体对角线长为 32+42+52=52
?
∴ 球的半径为52????,球的表面积是 4????×5222=50????
?
球与几何体外接、内切问题
2
例题解析
练习2： 正三棱锥 ????????????????? 内接于球 ?????，且底面边长为 ?????，侧棱长为 ????，则球 ????的表面积是多少？
?
解：如图，设三棱锥 ????????????????? 的外接球的半径为 ????， ???? 为正三角形的中心.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
因为 ????????=????????=????????=????,????????=????????=????????=????,
?
????????⊥平面????????????,所以 ????????=????,????????=????,
?
又因为 ????????=????????=????,所以??????????????+????=????????,
?
解得????=????????????,所以球的表面积 ????=????????????????=????????????????
?
????
?
球与几何体外接、内切问题
2
课堂探究
如图①，正方体的棱长为????，则外接球的直径为????????，内切球的直径为????
?
用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图②
过正方体对角面截组合体，其截面图如图③
①
②
③
正方体的外接球与内切球
3
正方体的外接球与内切球
课堂探究
如图④，正方体的棱长为????，该球的直径为????????
?
用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图⑤
过正方体对角面截组合体，其截面图如图⑥
与正方体各棱都相切的球
④
⑤
⑥
正方体的外接球与内切球
3
课堂探究
切、接问题中不能得到最大的球
坑
在封闭的直三棱柱 ?????????????????1????1????1 内有一个体积为 ???? 的球，若 ????????⊥ ??????,????????=6,????????=8,????????1=3，则 ???? 的最大值是多少？
?
解：设球的半径为 ????,∵ ????????⊥ ????????,????????=6,????????=8,
?
∴ ????????=10,
?
∵ Δ????????????的内切圆半径 ????=????+?????????????????=2,
?
∴ 3<2????.
?
又∵ 2????≤3,∴????≤????????
?
∴ ????????????????=????????×????×323=????????????.
?
例题解析
利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)
练习1： 轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
所以 ????????=????????????????=????,所以????????=????,????????=????????×????=????????
?
因为 ????????????????????????∽????????????????????????,所以????????????????=????????????????
?
设????????=????,则????????=?????????????,所以?????????????????=????????,????=????????????
?
故球的表面积 ????=????????????????=????????????????
?
练习巩固
练习2： 一个正四面体的棱长为 ????，若该四面体的表面积为 ?????????，其内切球的表面积为 ????????，求 ????????????????
?
解：由题意有 ????????=????×????????????????=????????????, 利用等体积法求四面体内切球的半径 ????
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设四面体的高为???? ，则四面体的体积
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即????=????????,则其内切球半径为四面体高的????????，
?
即????=????????×????????????=????????????????,因此内切球的表面积
?
????????=????????????????=????????????????,则????????????????=????????????????????????????=????????????
?
????=????????×????????????????·????=????????×????????????????·????·????,
?
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于　　　　　.?
答案:16π
练习巩固
练习4:如图所示,表面积为324π的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.
练习巩固
你学到了什么？
你认为易错点是哪些？
课堂小结
作业1：
附加：新优化
作业布置