11.1余弦定理-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册同步教案（学生版+教师版）

编号：017 课题:§11.1 余弦定理
目标要求
1、理解并掌握余弦定理、三角形的元素与解三角形基础知识．
2、理解并掌握已知两边及其一角解三角形问题．
3、理解并掌握已知三边解三角形问题．
4、理解并掌握余弦定理的综合应用问题.
学科素养目标
解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力， 而且还对学生的数学思路的发展有帮助.
重点难点
重点：已知三边解三角形问题；
难点：余弦定理的综合应用问题．
教学过程
基础知识点
1.余弦定理
(1)定理
余弦 定理 公式
表达 ,
,
.
语言
叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
推论 ，，
(2)本质:把用SAS、SSS判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,即把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.
(3)应用:已知三角形的两边及一角求其他边和角或已知三角形的三边,求三角形的三角.
【思考】
已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是否唯一确定?
2.三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
三角形的________________和它们的_________________叫作三角形的元素.
(2)解三角形
已知三角形的_________________求其他_____________的过程叫作解三角形.
【思考】已知三角形的三个角能不能解三角形?
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.
B. 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.
C. 在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.
D. 余弦定理的推论：.
题2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,
则角C等于 ( )
A.120° B.90° C.60° D.45°
题3.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则c=________.
关键能力·合作学习
类型一 已知两边及其一角解三角形(数学运算)
角度1 已知两边及夹角解三角形
【典例】题4.在△ABC中,,求AB的长.
【解题策略】
已知两边及其夹角的三角形的解法
首先直接利用余弦定理求出第三边,其次再利用余弦定理求出一个角,最后利用内角和为π得出第三个角.
角度2 已知两边及一边对角解三角形
【典例】题5.在△ABC中,若,则AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解题策略】已知两边及角解三角形
(1)已知两边及其夹角可以直接运用余弦定理求解,如果已知两边及一边对角亦可以运用余弦定理,此时选用含有此角的形式的余弦定理,然后解关于未知边作为变量的一元二次方程,解出未知量后根据内角和为或者利用大边对大角、小边对小角加以检验.
(2)应用余弦定理应该注意的事项:一定要熟记两种形式:
①;②,同时还要熟练掌握运用两种形式的
条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30°,45°,60°等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
【题组训练】
题6.在△ABC中,边a,b的长是方程的两个根,C=60°,则边c=________.
题7.在△ABC中,已知,则角C=________.
类型二 已知三边解三角形(数学运算)
【题组训练】题8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ,
则C= ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
题9.已知三角形三边之比为5∶7∶3,则最大角为 ( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
题10.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于 ( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
【解题策略】已知三角形的三边解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出两个角,最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
(2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.
【补偿训练】
题11.在△ABC中,,则AC边上的高为 ( )
A. B. C. D.
类型三 余弦定理的综合应用(数学运算)
角度1 求值问题
【典例】题12.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足,且C=60°,则ab=________.
【变式探究】
题13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=a+1=c+2,且,
则△ABC的周长为________.
角度2 判断三角形的形状
【典例】题14.在△ABC中,若,试判断△ABC的形状.
【解题策略】
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系:将条件中的角,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件进行判断.
(2)化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断.
【题组训练】
题15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,
则角C的值为 ( )

A. B. C.或 D. 或
题16.在△ABC中,,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
题17.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则
△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
【补偿训练】
题18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
备选类型 余弦定理的实际应用(数学建模)
【典例】题19.如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.

(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间;
(2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值.
【解题策略】解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系;
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型;
(3)根据题意选择余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
【跟踪训练】
题20.如图,在西部某边防警戒线上有一笔直的公路上,武警边防支队在点A,B,C处设置了治安卡口,B,C两点到A的距离分别为11千米和32千米,某一天,B收到来自防控目标P的一个特殊无线信号,7秒后A,C同时接收到该无线信号,已知该特殊无线信号在空气中的传播速度是1千米/秒.(假设该无线信号沿直线传播)
(1)求PA的长度;
(2)现要更改卡口B的位置,使得卡口B能在最短时间内截获来自P处的信号,求此时P,B两点间的距离.

课堂检测·素养达标
题21.在△ABC中,已知B=120°,a=3,c=5,则b等于 ( )
A.4 B. C.7 D.5
题22.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,,
则b= ( )
A.1 B.2 C.3 D.
题23.已知a,b,c是△ABC的三边长,若满足等式(a+b-c)·(a+b+c)=ab,
则角C的大小为 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
题24.在△ABC中,,则△ABC的形状为 ( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
题25.在△ABC中,已知,角C的余弦值是方程的根,求第三边c的长.
编号：017 课题:§11.1 余弦定理
目标要求
1、理解并掌握余弦定理、三角形的元素与解三角形基础知识．
2、理解并掌握已知两边及其一角解三角形问题．
3、理解并掌握已知三边解三角形问题．
4、理解并掌握余弦定理的综合应用问题.
学科素养目标
解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力， 而且还对学生的数学思路的发展有帮助.
重点难点
重点：已知三边解三角形问题；
难点：余弦定理的综合应用问题．
教学过程
基础知识点
1.余弦定理
(1)定理
余弦 定理 公式
表达 ,
,
.
语言
叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
推论 ，，
(2)本质:把用SAS、SSS判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,即把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.
(3)应用:已知三角形的两边及一角求其他边和角或已知三角形的三边,求三角形的三角.
【思考】
已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是否唯一确定?
提示:当已知两边及其夹角时,不妨设a,b边和其夹角C已知,由余弦定理可知, ，c唯一,,因为,所以B唯一,从而
A也唯一,所以三角形其他元素唯一确定.
2.三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
三角形的____ 三个角A,B,C_____和它们的____对边 a,b,c ___叫作三角形的元素.
(2)解三角形
已知三角形的____几个元素_____求其他__元素___的过程叫作解三角形.
【思考】已知三角形的三个角能不能解三角形?
提示:根据余弦定理知,已知三角形的两边及一角或已知三角形的三条边,可以解三角形,根据三角形的三个角,无法解三角形.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.
B. 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.
C. 在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.
D. 余弦定理的推论：.
【答案】选CD
提示:A√.余弦定理可以看作勾股定理的推广.
B√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适用于任何三角形.
C×.由余弦定理可知,已知△ABC的两边和其夹角时,第三边是唯一确定的,所以△ABC是唯一的.
D×.余弦定理的推论应该为：.
题2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,
则角C等于 ( )
A.120° B.90° C.60° D.45°
【解析】选A.由余弦定理的推论,得,
所以C=120°.
题3.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则c=________.
【解析】由余弦定理,得,所以.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 已知两边及其一角解三角形(数学运算)
角度1 已知两边及夹角解三角形
【典例】题4.在△ABC中,,求AB的长.
【思路导引】首先利用二倍角公式求出cos C,然后利用余弦定理求出AB的长.
【解析】,在△ABC中,
由余弦定理得,,
则,所以.
【解题策略】
已知两边及其夹角的三角形的解法
首先直接利用余弦定理求出第三边,其次再利用余弦定理求出一个角,最后利用内角和为π得出第三个角.
角度2 已知两边及一边对角解三角形
【典例】题5.在△ABC中,若,则AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路导引】利用余弦定理求出AC,再检验方程的根.
【解析】选A.由余弦定理得, ,将各值代入得,解得或 (舍去!).
【解题策略】已知两边及角解三角形
(1)已知两边及其夹角可以直接运用余弦定理求解,如果已知两边及一边对角亦可以运用余弦定理,此时选用含有此角的形式的余弦定理,然后解关于未知边作为变量的一元二次方程,解出未知量后根据内角和为或者利用大边对大角、小边对小角加以检验.
(2)应用余弦定理应该注意的事项:一定要熟记两种形式:
①;②,同时还要熟练掌握运用两种形式的
条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30°,45°,60°等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
【题组训练】
题6.在△ABC中,边a,b的长是方程的两个根,C=60°,则边c=________.
【解析】由题意得:a+b=5,ab=2.
由余弦定理得,
所以.
答案:
题7.在△ABC中,已知,则角C=________.
【解析】由余弦定理,得,
所以,得a=3或6.当a=3时,A=30°,所以C=120°.
当a=6时,因为.所以A=90°,所以C=60°.
答案:60°或120°
类型二 已知三边解三角形(数学运算)
【题组训练】题8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ,
则C= ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】选C.由题可知,因为,故C=60°.
题9.已知三角形三边之比为5∶7∶3,则最大角为 ( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
【解析】选B.因为三角形三边之比为5∶7∶3,
所以设三边长分别为5a,7a,3a,所以长为7a的边对的角最大,设这个角为,
由余弦定理得,
因为是三角形的内角,所以.
题10.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于 ( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
【解析】选B.因为(a+c)(a-c)=b(b-c),所以,
所以.因为0°【解题策略】已知三角形的三边解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出两个角,最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
(2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.
【补偿训练】
题11.在△ABC中,,则AC边上的高为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由选C.由题可知,可得,得.
因为A为△ABC的内角,所以,所以AC边上的高为.
类型三 余弦定理的综合应用(数学运算)
角度1 求值问题
【典例】题12.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足,且C=60°,则ab=________.
【思路导引】把已知关系式化简,根据化简结果和C=60°求出ab即可.
【解析】因为C=60°,所以,即.①
又因为,所以. ②
由①②知,所以.
答案:
【变式探究】
题13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=a+1=c+2,且,
则△ABC的周长为________.
【解析】由余弦定理得，
解得a=4.所以b=5,c=3.所以△ABC的周长为12.
答案:12
角度2 判断三角形的形状
【典例】题14.在△ABC中,若,试判断△ABC的形状.
【思路导引】先将正弦转化为余弦,化简后利用余弦定理的推论判断.
【解析】将已知等式变形为.
即
所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.
【解题策略】
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系:将条件中的角,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件进行判断.
(2)化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断.
【题组训练】
题15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,
则角C的值为 ( )

A. B. C.或 D. 或
【解析】选C.在△ABC中,由已知等式整理得,即.
因为,所以,因为C为△ABC内角,所以或.
题16.在△ABC中,,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
【解析】选D.在△ABC中,因为,所以由余弦定理可得
,即,
所以b=c,结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.
题17.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则
△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
【解析】选B.因为bcos C+ccos B=asin A,所以由余弦定理得,整理,得a=asin A,所以sin A=1.
又,所以.故△ABC为直角三角形.
【补偿训练】
题18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】选A.由已知得,由余弦定理可得,
所以,所以，所以.
备选类型 余弦定理的实际应用(数学建模)
【典例】题19.如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.

(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间;
(2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值.
【思路导引】
(1)设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时,利用余弦定理列方程求出x的值;
(2)利用余弦定理和两角和的余弦值,即可求出缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值.
【解析】(1)如图所示,在C点处缉私艇赶上走私船,在△ABC中,
∠ABC=60°+(180°-120°)=120°,AB=18,设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时,

则;
即,
化简得,解得或(不合题意,舍去);
所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时.
(2)在△ABC中,AB=18,AC=42,BC=30,
所以,所以,
,
所以缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值是.
【解题策略】解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系;
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型;
(3)根据题意选择余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
【跟踪训练】
题20.如图,在西部某边防警戒线上有一笔直的公路上,武警边防支队在点A,B,C处设置了治安卡口,B,C两点到A的距离分别为11千米和32千米,某一天,B收到来自防控目标P的一个特殊无线信号,7秒后A,C同时接收到该无线信号,已知该特殊无线信号在空气中的传播速度是1千米/秒.(假设该无线信号沿直线传播)
(1)求PA的长度;
(2)现要更改卡口B的位置,使得卡口B能在最短时间内截获来自P处的信号,求此时P,B两点间的距离.

【解析】(1)依题意,设PA=PC=x(千米),PB=x-1×7=x-7(千米).
因为∠PBA+∠PBC=π,所以cos∠PBA=-cos∠PBC,
在△PAB中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2-2PB·BA·cos∠PBA,
在△PBC中,由余弦定理得PC2=PB2+CB2-2PB·CB·cos∠PBC,
所以
又cos∠PBA=-cos∠PBC,解得x=20,所以AP=20千米.
答:PA的长度为20千米.
(2)如图,作PD⊥AC于点D,因为PA=PC,所以D为AC中点,
在△ADP中,由,得,
所以PD=PAsin∠PAD=20×=12千米.
答:目标P到卡口B的距离最小为12千米.

课堂检测·素养达标
题21.在△ABC中,已知B=120°,a=3,c=5,则b等于 ( )
A.4 B. C.7 D.5
【解析】选C.,
所以b=7(负值舍去).
题22.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,,
则b= ( )
A.1 B.2 C.3 D.
【解析】选A.由余弦定理知,
因为a=4b,所以,解得b=1(负值舍去).
题23.已知a,b,c是△ABC的三边长,若满足等式(a+b-c)·(a+b+c)=ab,
则角C的大小为 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
【解析】选C.由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,
所以,所以,所以C=120°.
题24.在△ABC中,,则△ABC的形状为 ( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
【解析】选B.因为,所以,
所以,所以C=90°,所以△ABC为直角三角形.
题25.在△ABC中,已知,角C的余弦值是方程的根,求第三边c的长.
【解析】可化为(5x-3)·(x+2)=0,所以,所以.
根据余弦定理得,,所以c=4,
即第三边c的长为4.