11.2正弦定理-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册同步教案（学生版+教师版）

编号：018 课题:§11.2 正弦定理
目标要求
1、理解并掌握正弦定理、正弦定理的变形公式．
2、理解并掌握已知两角及一边解三角形问题．
3、理解并掌握已知两边及其中一边的对角解三角形问题．
4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的综合应用问题.
学科素养目标
解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力， 而且还对学生的数学思路的发展有帮助.
重点难点
重点：已知两边及其中一边的对角解三角形问题；
难点：正弦定理、余弦定理的综合应用问题．
教学过程
基础知识点
1.正弦定理
(1)正弦定理
条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c
结论 (R是△ABC外接圆的半径)
文字 叙述 在一个三角形中,各边和它所对角的_____________的比相等
(2)本质:三角形中,边与其对角的正弦之间的关系.
(3)应用:求解三角形中的边或角;进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题.
【思考】
利用正弦定理可以解决哪些类型的问题?
2.正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径,则
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
【思考】如何利用正弦定理把三角形的边化为角,角化为边?
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 正弦定理不适用于直角三角形.
B. 在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B.
C. 在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.
D. 正弦定理的一个推论：（为三角形外接圆的半径）.
题2.在△ABC中,,则sin B= ( )
A. B. C. D.1
题3.在△ABC中,若,则AC= ( )
A.4 B.2 C. D.
关键能力·合作学习
类型一 已知两角及一边解三角形(数学运算)
【题组训练】
题4.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,则 ( )
A. B. C. D.
题5.在△ABC中,,则c等于 ( )
A. B. C. D.
题6.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
【解题策略】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
【补偿训练】
题7.在△ABC中,已知,则 ( )
A. B. C. D.
题8.在△ABC中,,求三角形中其他边与角的大小.
类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形(数学运算)
【典例】题9.在△ABC中,已知,解这个三角形.
【解题策略】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;
(3)如果已知的角为小边所对的角,不能判断另一边所对的角为锐角时,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.
【跟踪训练】题10.在△ABC中,,则B等于 ( )
A.45°或135° B.135° C.45° D.60°
【拓展延伸】
1.已知两边及一边对角解三角形的个数判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形



关系式 a=bsin A bsin Ab a≤b
解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.解题思路
在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
【拓展训练】
题11.在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,为使此三角形有两个,则a满足的条件是 ( )
A. B. C. D.或a=3
类型三 正弦定理、余弦定理的综合应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 三角形形状的判断
【典例】题12.在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin 2A=sin2B+sin 2C,试判断△ABC的形状.
【变式探究】 题13.已知,试判断△ABC的形状.
角度2 正弦、余弦定理的综合应用
【典例】题14.在△ABC中,若,则b=________.
题15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若,求sin C.
【解题策略】
1.判定三角形形状的两种常用途径
(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;
(2)化边成角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.
2.解三角形时的边角互化
化边(角)为角(边):将题目中所有的条件,利用正弦定理或余弦定理化边(角)为角(边),再利用三角恒等变换找出三角的关系.
【题组训练】题16.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足 ,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
题17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
题18.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=2acos A，且△ABC的面积为,则B= ( )
A. B. C. D.
【补偿训练】
题19.在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,,
则的值等于 ( )
A. B. C. D.
备选类型 正弦定理的实际应用(数学建模)
【典例】题20.如图,在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知,路宽AD=24(m),设灯柱高AB=h(m),.

(1)求灯柱的高h(用表示);
(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记所用材料的长度为S,求S关于的函数表达式,并求出S的最小值.
【解题方略】利用正弦定理解决实际问题的步骤
1.认真审题,弄清题意.有图形则借助图形,无图形则作出规范图形辅助解决.
2.转化.将实际问题转化为解三角形问题,利用正弦定理进行数据求解.
3.还原问题.将求得的解还原到实际问题中去,即除了解三角形自身限制外还要注意实际问题的限制.
4.作出解答.
【跟踪训练】题21.如图,某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面),设计如下的测量方案:先在地面选定距离为30米的A,B两点,然后在A处测得∠BAC=30°,在B处测得∠ABC=105°,∠DBC=45°,由此可得旗杆CD的高度为________米,∠CAD的正切值为________.

课堂检测·素养达标
题22.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是 ( )
A.a∶b=A∶B B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A D.asin A=bsin B
题23.在锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是 ( )
A.sin Asin B D.sin B>cos A
题24.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,则B=________.
题25.在△ABC中,若，则B的度数为________.
题26.△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则角B=________,△ABC的面积是________.
编号：018 课题:§11.2 正弦定理
目标要求
1、理解并掌握正弦定理、正弦定理的变形公式．
2、理解并掌握已知两角及一边解三角形问题．
3、理解并掌握已知两边及其中一边的对角解三角形问题．
4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的综合应用问题.
学科素养目标
解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力， 而且还对学生的数学思路的发展有帮助.
重点难点
重点：已知两边及其中一边的对角解三角形问题；
难点：正弦定理、余弦定理的综合应用问题．
教学过程
基础知识点
1.正弦定理
(1)正弦定理
条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c
结论 (R是△ABC外接圆的半径)
文字 叙述 在一个三角形中,各边和它所对角的__正弦___的比相等
(2)本质:三角形中,边与其对角的正弦之间的关系.
(3)应用:求解三角形中的边或角;进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题.
【思考】
利用正弦定理可以解决哪些类型的问题?
提示:(1)已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.
2.正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径,则
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
【思考】如何利用正弦定理把三角形的边化为角,角化为边?
提示:利用正弦定理的变式实现边化角;利用
公式角化边.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 正弦定理不适用于直角三角形.
B. 在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B.
C. 在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.
D. 正弦定理的一个推论：（为三角形外接圆的半径）.
【答案】选BC
提示:A×.正弦定理是适用于任何三角形的.
B√.在△ABC中,若sin A=sin B,由正弦定理得,故a=b,则A=B.
C√.在△ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理得2Rsin A>2Rsin B,所以
sin A>sin B.
D×.正弦定理的一个推论应该为：（为三角形外接圆的半径）.
题2.在△ABC中,,则sin B= ( )
A. B. C. D.1
【解析】选B.因为,所以由正弦定理得.
题3.在△ABC中,若,则AC= ( )
A.4 B.2 C. D.
【解析】选B.由正弦定理得:,所以.
关键能力·合作学习
类型一 已知两角及一边解三角形(数学运算)
【题组训练】
题4.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由正弦定理知,,即.
题5.在△ABC中,,则c等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B. 由得，
.
由正弦定理得.
题6.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
【解析】因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.
由，得.
因为,
所以.
所以.
【解题策略】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
【补偿训练】
题7.在△ABC中,已知,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.A=180°-B-C=45°,由正弦定理,得.
题8.在△ABC中,,求三角形中其他边与角的大小.
【解析】因为,所以B=30°或150°,当B=30°时,由A=60°得C=90°;
当B=150°时,不合题意,舍去.所以由正弦定理,
得
类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形(数学运算)
【典例】题9.在△ABC中,已知,解这个三角形.
四步 内容
理解 题意 条件:已知三角形的两边及一边对角
结论:求该三角形的其他边与角
思路 探求 利用正弦定理求出sin C的值,再解其他元素,注意三角形解的个数.
书写 表达 因为
所以
因为0°所以C=60°或C=120°. ①
当C=60°时,B=75°, ；
当C=120°时,B=15°, ；
所以
或. ②
书写 表达 注意书写的规范性:①解三角形产生多解时必须进行检验,常用大边对大角、小边对小角或者内角和为进行检验;②分情况讨论时不能使用大括号,要分开来写.
题后 反思 正、余弦定理通常可以解决四种类型,唯有两边及一边对角这种类型可能会产生多解,应当引起重视.
【解题策略】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;
(3)如果已知的角为小边所对的角,不能判断另一边所对的角为锐角时,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.
【跟踪训练】题10.在△ABC中,,则B等于 ( )
A.45°或135° B.135° C.45° D.60°
【解析】选C.由,得,由正弦定理得.因为三角形的内角和为180°,且a>b,所以B=45°.
【拓展延伸】
1.已知两边及一边对角解三角形的个数判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形



关系式 a=bsin A bsin Ab a≤b
解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.解题思路
在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
【拓展训练】
题11.在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,为使此三角形有两个,则a满足的条件是 ( )
A. B. C. D.或a=3
【解析】选C.设C到AB的距离d=bsin A=3,
所以当时符合条件的三角形有两个.
类型三 正弦定理、余弦定理的综合应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 三角形形状的判断
【典例】题12.在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin 2A=sin2B+sin 2C,试判断△ABC的形状.
【思路导引】解决本题的关键是把sin 2A=sin 2B+sin 2C转化为三角形三边的关系,从而求出角A,然后再利用sin A=2sin Bcos C求解.
【解析】方法一:(利用角的互余关系)根据
正弦定理，及sin 2A=sin2B+sin 2C,可得,
所以A是直角,B+C=90°,所以2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin 2B=sin A=1,
所以.因为,所以,
所以△ABC是等腰直角三角形.
方法二:(利用角的互补关系)根据正弦定理，及sin 2A=sin2B+sin 2C,可得,因为,
所以.所以.
又,所以,所以,
所以△ABC是等腰直角三角形.
【变式探究】 题13.已知,试判断△ABC的形状.
【解析】在△ABC中,由,可得,所以.
又因为,所以,所以,
所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
角度2 正弦、余弦定理的综合应用
【典例】题14.在△ABC中,若,则b=________.
【思路导引】根据cos C的值,求出sin C的值,再根据三角形的面积公式求出边b的值;
【解析】因为,所以,所以,
又,所以.
答案:
题15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若,求sin C.
【思路导引】(1)由正弦定理化角为边,再用余弦定理的推论求角A;
(2)由正弦定理化边为角,结合(1)的结论,利用三角恒等变换求sin C.
【解析】
2.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C，故由正弦定理得.
由余弦定理的推论,得.因为0°(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得,
即,可得.
由于,所以,
故
【解题策略】
1.判定三角形形状的两种常用途径
(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;
(2)化边成角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.
2.解三角形时的边角互化
化边(角)为角(边):将题目中所有的条件,利用正弦定理或余弦定理化边(角)为角(边),再利用三角恒等变换找出三角的关系.
【题组训练】题16.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足 ,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选C.由正弦定理得,又,
得,即tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,即△ABC为等边三角形.
题17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.已知c-acos B=(2a-b)cos A,由正弦定理得sin C-sin Acos B
=2sin Acos A-sin Bcos A,所以sin(A+B)-sin Acos B=2sin Acos A-sin B
cos A,化简得cos A(sin B-sin A)=0,所以cos A=0或sin B-sin A=0,则A=90°
或A=B,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
题18.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=2acos A，且△ABC的面积为,则B= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由正弦定理及bcos C+ccos B=2acos A,
得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A,所以sin(B+C)=2sin Acos A,
又因为在△ABC中,sin(B+C)=sin A>0,
所以,又A∈(0,π),所以,
又,结合余弦定理，
得,所以tan C=1.又C∈(0,π),所以,
所以.
【补偿训练】
题19.在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,,
则的值等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为,所以，
所以,所以，
所以.
备选类型 正弦定理的实际应用(数学建模)
【典例】题20.如图,在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知,路宽AD=24(m),设灯柱高AB=h(m),.

(1)求灯柱的高h(用表示);
(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记所用材料的长度为S,求S关于的函数表达式,并求出S的最小值.
【思路导引】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,
∠ADC=90°-θ,在△ACD中和在△ABC中,,运用正弦定理可求得答案;
(2)在△ABC中,运用正弦定理可得,运用三角恒等变换和三角函数的性质可求得最小值.
【解析】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,∠ADC=90°-θ,
在△ACD中, ，所以,
在△ABC中,,
即h=16sin 2θ(30°≤θ≤45°).
(2)在△ABC中, ,
则,
因为30°≤θ≤45°,所以120°≤2θ+60°≤150°,当θ=45°时,S取到最小值m.
【解题方略】利用正弦定理解决实际问题的步骤
1.认真审题,弄清题意.有图形则借助图形,无图形则作出规范图形辅助解决.
2.转化.将实际问题转化为解三角形问题,利用正弦定理进行数据求解.
3.还原问题.将求得的解还原到实际问题中去,即除了解三角形自身限制外还要注意实际问题的限制.
4.作出解答.
【跟踪训练】题21.如图,某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面),设计如下的测量方案:先在地面选定距离为30米的A,B两点,然后在A处测得∠BAC=30°,在B处测得∠ABC=105°,∠DBC=45°,由此可得旗杆CD的高度为________米,∠CAD的正切值为________.

【解析】因为CD垂直于地面,所以CD⊥BC,CD⊥AC,又∠DBC=45°,所以BC=CD,
在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°,又AB=30,
由正弦定理可得: ，所以，
解得:,即;由正弦定理可得: ,
所以，即
因此.
答案:
课堂检测·素养达标
题22.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是 ( )
A.a∶b=A∶B B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A D.asin A=bsin B
【解析】选B.由正弦定理，可得a∶b=sin A∶sin B,可知B正确.
题23.在锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是 ( )
A.sin Asin B D.sin B>cos A
【解析】选D.因为在锐角△ABC中,,所以,
因为,故A选项不正确,因为sin A与sin B大小不定,所以C
选项不正确,所以,所以B不正确,D选项正确.
题24.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,则B=________.
【解析】因为,把代入,解得.因为b>a,
所以B>A,结合题意可知或.
答案: 或
题25.在△ABC中,若，则B的度数为________.
【解析】根据正弦定理知,，结合已知条件可得sin B=cos B,
又0°答案:45°
题26.△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则角B=________,△ABC的面积是________.
【解析】在△ABC中由正弦定理得，则，
又因为b则△ABC的面积为.
答案: