第10章三角恒等变换综合复习-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册同步教案（学生版+教师版）

编号：016 课题:§10 三角恒等变换复习课
目标要求
1、理解并掌握给角求值、给值求值问题．
2、理解并掌握给值求角问题．
3、理解并掌握三角函数式的化简、证明问题．
4、理解并掌握运用公式研究函数性质问题.
学科素养目标
三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．
重点难点
重点：三角函数式的化简、证明问题；
难点：运用公式研究函数性质．
教学过程
基础知识点
1.本章知识结构简图
2.两角和、差的正弦，余弦、正切公式及其变形


变形公式：
3．二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式
4．正余弦函数的叠加（辅助角）公式：＝，其中，所在的象限由点（a,b）所在的象限确定.
考点整合·素养提升
题组训练一 给角求值问题
题1.等于 ( )
A. B. C. D.
题2.计算:.
题3.求的值.
【方法技巧】
给角求值
在解决给角求值问题时,如果含有正切函数、正弦函数、余弦函数,一般采用切化弦、通分的策略进行转化;含有正弦或余弦的二次项时,一般应考虑采用二倍角公式进行转化.另外也要注意角的转化与两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用.
题组训练二 给值求值问题
题4.已知,且,求的值.
题5.已知,求的值.
【方法技巧】
给值求值
解决给值求值问题时,关键是分析已知条件和结论中的角之间的内在关系,通过角的变换(拆角、配角),发现解题思路,选择相应的三角公式进行求解.
题组训练三 给值求角问题
题6.已知,且,则等于 ( )
A. B. C. D.
题7.已知，求的值.
【方法技巧】
给值求角
解决给值求角问题时,首先要求出该角的某一个三角函数值,其次要确定出该角的取值范围,最后求得该角的大小.求三角函数值时,还要注意根据角的取值范围合理选择是求其正弦值还是余弦值,而确定角的取值范围时,可能还要根据给定的函数值结合三角函数的单调性进行求解.
题组训练四 三角函数式的化简问题
题8.已知α为第二象限的角,化简:.
题9.证明:.
【方法技巧】
三角函数式的化简与证明问题
三角函数式的化简与证明问题是三角变换应用的一个重要方面,解决这类问题的基本方法与思路:
(1)基本方法
弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂、“1”的代换等.
(2)基本思路
“一角二名三结构”,即:
一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;
二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇根式化被开方式为完全平方式”等.
题组训练五 运用公式研究函数性质
题10.已知函数.
求:(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合;
(2)函数f(x)的单调递增区间.
题11.已知函数
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最小值.
【方法技巧】
三角恒等变换与三角函数性质的综合问题
1.研究三角函数的性质,例如周期性、单调性、最值等,通常要先将函数的解析式进行化简,转化为的形式,再通过整体代换研究函数的上述性质,而将函数的解析式进行化简的过程,降幂公式和辅助角公式起着关键作用.
2.常见的降幂公式有:,当函数解析式中含有二次(或二次以上)的三角函数式时,可考虑利用上述公式进行降幂.
3.辅助角公式的作用是将形如的三角函数式转化为只含有一种三角函数(正弦或余弦)的一次函数
式,从而可进一步研究函数的性质.
编号：016 课题:§10 三角恒等变换复习课
目标要求
1、理解并掌握给角求值、给值求值问题．
2、理解并掌握给值求角问题．
3、理解并掌握三角函数式的化简、证明问题．
4、理解并掌握运用公式研究函数性质问题.
学科素养目标
三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．
重点难点
重点：三角函数式的化简、证明问题；
难点：运用公式研究函数性质．
教学过程
基础知识点
1.本章知识结构简图
2.两角和、差的正弦，余弦、正切公式及其变形


变形公式：
3．二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式
4．正余弦函数的叠加（辅助角）公式：＝，其中，所在的象限由点（a,b）所在的象限确定.
考点整合·素养提升
题组训练一 给角求值问题
题1.等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.
题2.计算:.
【解析】原式
.
题3.求的值.
【解析】原式
.
【方法技巧】
给角求值
在解决给角求值问题时,如果含有正切函数、正弦函数、余弦函数,一般采用切化弦、通分的策略进行转化;含有正弦或余弦的二次项时,一般应考虑采用二倍角公式进行转化.另外也要注意角的转化与两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用.
题组训练二 给值求值问题
题4.已知,且,求的值.
【解析】易知.
因为,所以.
因为，
所以，
所以
.
所以.
题5.已知,求的值.
【解析】由条件得,
即或.
又由已知条件知,所以,且,即.
于是,所以.
所以
.
将代入上式,得
.
【方法技巧】
给值求值
解决给值求值问题时,关键是分析已知条件和结论中的角之间的内在关系,通过角的变换(拆角、配角),发现解题思路,选择相应的三角公式进行求解.
题组训练三 给值求角问题
题6.已知,且,则等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由，
易知，
所以，
所以.
题7.已知，求的值.
【解析】因为，所以.
因为,所以,所以.
因为,所以，
由,得.
又,所以.
【方法技巧】
给值求角
解决给值求角问题时,首先要求出该角的某一个三角函数值,其次要确定出该角的取值范围,最后求得该角的大小.求三角函数值时,还要注意根据角的取值范围合理选择是求其正弦值还是余弦值,而确定角的取值范围时,可能还要根据给定的函数值结合三角函数的单调性进行求解.
题组训练四 三角函数式的化简问题
题8.已知α为第二象限的角,化简:.
【解析】因为为第二象限的角,所以,
所以
所以
题9.证明:.
【证明】左边
右边,所以原等式成立.
【方法技巧】
三角函数式的化简与证明问题
三角函数式的化简与证明问题是三角变换应用的一个重要方面,解决这类问题的基本方法与思路:
(1)基本方法
弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂、“1”的代换等.
(2)基本思路
“一角二名三结构”,即:
一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;
二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇根式化被开方式为完全平方式”等.
题组训练五 运用公式研究函数性质
题10.已知函数.
求:(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合;
(2)函数f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)
所以当,即时f(x)取得最大值.
函数f(x)取得最大值时自变量的集合为.
(2)由(1),得，
由题意,得，
即时,函数f(x)单调递增,因此函数f(x)的单调递
增区间为.
题11.已知函数
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最小值.
【解析】(1)因为
所以的最小正周期为.
(2)因为,所以，
所以当，即时,取得最小值.
所以在区间上的最小值为.
【方法技巧】
三角恒等变换与三角函数性质的综合问题
1.研究三角函数的性质,例如周期性、单调性、最值等,通常要先将函数的解析式进行化简,转化为的形式,再通过整体代换研究函数的上述性质,而将函数的解析式进行化简的过程,降幂公式和辅助角公式起着关键作用.
2.常见的降幂公式有:,当函数解析式中含有二次(或二次以上)的三角函数式时,可考虑利用上述公式进行降幂.
3.辅助角公式的作用是将形如的三角函数式转化为只含有一种三角函数(正弦或余弦)的一次函数
式,从而可进一步研究函数的性质.