中小学教育资源及组卷应用平台
8.6.1
直线与直线垂直
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（
）
A．与垂直
B．与垂直
C．与异面
D．与异面
2．已知直线,下列三个命题:①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;②若,a和c相交,则b和c也相交;③若,,则.其中,正确命题的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
3．如图，已知正方体，中，平面，且与不平行，则下列结论一定不可能的是（
）
A．与平行
B．与异面
C．与所成的角为30°
D．与垂直
4．如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与（
）
A．互相平行
B．异面且互相垂直
C．异面且夹角为
D．相交且夹角为
5．如图，点分别是正方体的面对角线的中点，则异面直线和所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在直三棱柱中，D为的中点，，，则异面直线BD与AC所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
7．在正方体中，与所成角的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
8．设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；
③若a∥b，b∥c，则a∥c．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
10．在正方体中,点P在线段上运动,则异面直线与所成的角的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
11．设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线( )
A．有无数条
B．有两条
C．至多有两条
D．有一条
二、填空题
12．在直三棱柱中,若
，则异面直线与所成的角等于_________
13．如图,空间四边形的对角线,,分别为的中点,并且异面直线与所成的角为90°,则等于_______.
14．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．
三、解答题
15．如图所示，空间四边形ABCD中，，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．
16．如图,在三棱柱中,与所成的角均为60°,,且,求异面直线与所成角的余弦值.
17．如图，已知空间四边形的两条对角线的长分别为，与所成的角为，分别是的中点，求四边形的面积.
18．如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.
19．在四棱锥中,底面为梯形,.设的中点分别为.
(1)求证:四点共面;
(2)若,且,求异面直线与所成角的大小.
20．正三棱锥的侧棱长与底面边长都为a,分别是的中点,求直线和所成的角.
答案解析
1．D
【详解】
如图所示，连结，由几何关系可得点为的中点，且，
由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线，
很明显，与异面，
由几何关系可得：，则，
综上可得，选项D中的结论不成立.
2．A
【详解】
①不正确,如图，有可能相交，异面，平行；
②不正确,有可能相交;也有可能异面;③不正确,可能平行,可能相交,也可能异面.
故选：A
3．A
【详解】
假设，则由，可得，这与“与不平行”矛盾，所以与不平行.
取为所在直线，满足；取与成角，成立。
故选：
4．D
【详解】
将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为.
故选D.
5．C
【解析】
连接,中,,又,所以直线和所成的角即与所成角，故选C.
6．C
【详解】
如图，取的中点，连接，，
则,
所以即为异面直线与所成的角或其补角，
由已知可得，三角形为正三角形，
所以，
所以异面直线与所成的角为.
故选：C
7．C
【详解】
如图：
因为正方体中与平行，
所以即为与所成角，
设正方体棱长为，则，在中，
，故选C.
8．B
【详解】
①若，则，垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确.
②若和共面和共面，则和也共面，线线间共面关系不具有传递性，与相交，则，可以是异面关系，故命题不正确.
③若，则，此时空间两直线平行公理，是正确命题，故选B.
9．A
【详解】
如图，连结交于点，取的中点，连结，
因为点分布是的中点，所以，即异面直线与所成角是或是其补角，
设，则底面边长，，同理，
，中，，，
所以，所以，即异面直线与所成角是.
故选：A
10．D
【详解】
如图,连接,,因为,所以与,所成的角就是与所成的角,即.当点P从向A运动时,从0°增大到60°,但当点P与重合时,,与与为异面直线矛盾,所以异面直线与所成的角的取值范围是.
故选：D.
11．A
【详解】
过点P且与成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.
故选A
12．
【详解】
三棱柱为直三棱柱,且
以点
为坐标原点，分别以，，为
轴建立空间直角坐标系
设，则
,
,,
，
又
异面直线所成的角在(0,90度]
异面直线与所成的角等于
．
13．5
【详解】
解析如图,取的中点P,连接,，则,,即为异面直线与所成的角(或其补角).
.又,,.
故答案为：5
14．
【详解】
分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，
，即异面直线A1M与DN所成角的大小是
15．45°
【详解】
取AC的中点M，连接EM、FM．
∵E为BC的中点，∴EM∥AB且EMAB；
同理：FM∥CD且FMCD，
∴∠FEM（或其补角）为异面直线AB、EF所成的角，
又∵AB⊥CD，AB＝CD，∴FM＝EM，FM⊥EM，
∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM＝45°
故答案为：45°．
16．
【详解】
解析
如图所示,把三棱柱补为四棱柱,连接,
由四棱柱的性质知,则(或其补角)就是异面直线与所成的角.
设,与,所成的角均为60°,
且,,.
又,在矩形中,,
,,
,
在中,.
17．6
【详解】
分别是的中点，
，且，
∴四边形为平行四边形.
，
与所成的角即为与所成的角，
（或其补角），
.
18．
【详解】
连接.
由题意得四棱柱中，，，
∴四边形是平行四边形，
，
（或其补角）为和所成的角.
∵异面直线和所成的角为，
.
∵四棱柱中，，
是等腰直角三角形，.
∵底面四边形是菱形且，，，，.
19．
【详解】
(1)证明:因为,,,的中点分别为,
所以为的中位线,为梯形的中位线.
所以,,
所以,
所以四点共面.
(2)因为为的中位线,
所以.
又,所以(或其补角)即为异面直线与所成的角.
又,所以.
在中,,所以.
所以异面直线与成的角为60°.
20．45°
【详解】如图,取的中点G,连接.
在中,分别是,的中点,
,且.
于是异面直线与所成的角就是直线与所成的角,即为(或其补角).
在中,,,
,且.
同理可得,且.
在中,,,
,
且.
在中,是中位线,
.
在中,是中位线,
.
在中,,
是以为直角的等腰直角三角形,.
∴异面直线与所成的角为45°.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
8.6.1
直线与直线垂直
随堂同步练习
一、单选题
1．在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
2．在正方体各个面的对角线中与所成的角为的有（
）
A．5条
B．6条
C．8条
D．10条
3．在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成的角的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将沿DE，EF，DF折成三棱锥，则HG与IJ所成角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知两异面直线所成的角为，过空间一点作直线，使得与的夹角均为，那么这样的直线有（
）
A．3条
B．2条
C．1条
D．0条
7．在正方体中，异面直线与所成的角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
8．在直三棱柱中，侧棱平面，若，，点，分别，的中点，则异面直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论：
①与所在直线垂直；
②与所在直线平行；
③与所在直线成60°角；
④与所在直线异面.
其中正确结论的序号是（
）
A．①②
B．①③
C．③④
D．②④
10．已知直线平面，直线，则（
）
A．
B．
C．异面
D．相交而不垂直
11．如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E,
F分别是点A在P
B,
P
C上的射影，给出下列结论：
①；②；③；④.正确命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
12．已知四面体的棱都相等，G为的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为__________.
三、解答题
13．
空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角.
14．如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.
15．如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
16．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求异面直线与所成角的大小.
17．如图，已知点在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，，，回答下列问题：
（1）求三棱锥的体积.
（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
18．如图，是圆的直径，点是弧的中点，分别是的中点，求异面直线与所成的角.
答案解析
1．C
【详解】
如图，连接，因为，所以为异面直线与所成的角.
因为，所以，
故选：
2．C
【详解】由图可知和均是等边三角形，所以，，，与成角.根据平行关系，可知，，，也与成角，故满足题意的面对角线共有8条，故选：C.
3．A
【详解】
解：取的中点，连接，.
因为是的中点，所以，，
，
且，所以四边形为平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角在中，，
故选：.
4．D
【详解】
解：连接，因为，所以与所成的角就是与所成的角，
即.当点从向运动时，从增大到，但当点与重合时，，与与为异面直线矛盾，所以异面直线与所成的角的取值范围是.
故选：
5．B
【详解】
解：如图所示，在三棱锥中，
因为分别为的中点，所以，故与所成的角与与所成的角相等显然与所成的角的大小为，所以与所成角的大小为，故选：.
6．B
【详解】
解：作，，与相交于点，如图所示，则，，则的平分线与直线，所成的角均为，的平分线与直线，所成的角均为.因为，所以与直线所成的角均为的直线有且只有条（直线），
故选：.
7．C
【详解】
由题意，作正方体，如下图所示：
连接，，
∴异面直线与即所成的角为.
由题可得为等边三角形，.
∴异面直线与所成的角为60°.
故选：C.
8．B
【详解】
在直三棱柱中，侧棱平面，
，，点，分别，的中点，
∴，，
∴是异面直线与所成的角（或所成角的补角），
连结，则，
∴，
∴异面直线与所成的角为．
故选B．
9．C
【详解】
画出原正方体如图所示，
连接，，由图可知①②错误；
，所以为等边三角形，
所以③与所在直线成60°角是正确的；
显然④与所在直线异面是正确的.
综上，③④正确.
故选：C
10．A
【详解】
由线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，
因此
故选:A
11．C
【详解】
∵是圆的直径，∴，又面圆，故，且，∴面，所以，又，且，∴面，故，，故①③正确,
又，且,所以面，从而，故②正确，
若，则可证面，又面，则面∥面，与面面矛盾，所以不正确，故选C.
12．
【详解】
解：设四面体的棱长为，直线交于取的中点，连接，.由题意知为的中点，所以，
所以∠AEF为异面直线与所成的角.由题意知，，则在中，
故答案为：
13．
【详解】
设G为AC的中点,、F分别是AB、CD中点
且
且
为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)
,
中,
,
即异面直线AD、BC所成的角为
14．
【详解】
连接.
由题意得四棱柱中，，，
∴四边形是平行四边形，
，
（或其补角）为和所成的角.
∵异面直线和所成的角为，
.
∵四棱柱中，，
是等腰直角三角形，.
∵底面四边形是菱形且，，，，.
15．
【详解】
解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，
从而与所成的角为与所成的角，
由，可知.
故与所成的角为.
（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，
因为为的中位线，
所以.
又，
所以，
所以.
16．
【详解】
解：如图，取的中点，连接，.
∵且，∴四边形为平行四边形，∴，
∴为异面直线与所成的角.
在中，，∴.
在中，.
又，∴在中，，∴，
∴，
∴，即异面直线与所成的角为.
17．
【详解】
解：（1）由题意，得，解得.
由，，得，，，
∴，
∴三棱锥的体积.
（2）当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为.
证明如下：
∵，分别为，的中点，∴，
∴就是异面直线与所成的角.
∵，，，∴.
又，∴，
∴当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为.
18．
【详解】
是圆的直径，.
∵点是弧的中点，.
在中，分别为的中点，，
与所成的角为.
故答案为：
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
