2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.2菱形 同步测试（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.2菱形 同步测试（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 191.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-07 07:30:57 | ||
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文档简介
18.2.2菱形 同步测试
一．选择题
1．如图，菱形ABCD中，∠A＝50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．25°
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（ ）
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
5．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（ ）
A．15° B．30° C．40° D．50°
8．如图，将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH，若FD：BF＝1：3，菱形ABCD与菱形EFGH的重叠部分面积记为S1，菱形ABCD的面积记为S2，则S1：S2的值为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（ ）
A．36° B．54° C．64° D．72°
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF＝BC，连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形ACFD是平行四边形
B．BD2+FD2＝BF2
C．OE＝BD
D．面积关系：S△GEO＝S△ADO
二．填空题
11．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件 ，则四边形ABCD为菱形．
12．若一个菱形的周长为200cm，一条对角线长为60cm，则它的面积为 ．
13．菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为6，则它的面积为 ．
14．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝ ．
15．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，AB＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连接AE、BE、DE、CE，则△EAB和△ECD的面积和等于 ．
三．解答题
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．
17．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．
18．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC垂直平分BD，BD平分∠ADC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形（△CBE除外）．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠ADC＝130°，
∴∠ADB＝×130°＝65°，
故选：A．
2．解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
B．四条边相等的四边形是菱形，故符合题意；
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝BC×AE，
∴AE＝＝．
在Rt△ABE中，BE＝＝＝，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，
∴的值为，
故选：C．
4．解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故选：A．
5．解：如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠HDO＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠GDO+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠HDO＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝25°，
∴∠DHO＝25°，
故选：B．
6．解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t＝，
故选：D．
7．解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，
在△BCF和△DCF中，
∵，
∴△BCF≌△DCF（SAS）
∴∠CBF＝∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°
∴∠ABF＝∠BAF＝50°
∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°
∴∠CDF＝30°．
故选：B．
8．解：如图设AD交EF于M，CD交FG于N．
由题意，重叠部分四边形MDNF是菱形，
菱形MFND∽菱形ABCD，
∴＝（）2，
∵DF：BF＝1：3，
∴DF：BD＝1：4，
∴＝（）2＝，
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO＝CO，
又∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，
∵CF＝BC，
∴CF＝AD，
∴四边形ACFD是平行四边形，故选项A不合题意；
∴AC∥DF，DG＝GC，
∴BD⊥DF，
∴BD2+FD2＝BF2，故选项B不合题意；
∵DG＝GC，AE＝EC，
∴EG∥AD，AD＝2EG，
∴△EGO∽△DAO，
∴＝（）2＝4，，
∴S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，故选项C符合题意，选项D不合题意，
故选：C．
二．填空题
11．解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵AC平分BD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．
12．解：已知AC＝60cm，菱形对角线互相垂直平分，
∴AO＝30cm，
又∵菱形ABCD周长为200cm，
∴AB＝50cm，
∴BO＝＝＝40cm，
∴AC＝2BO＝80cm，
∴菱形的面积为×60×80＝2400（cm2）．
故答案为：2400cm2．
13．解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠BAD＝60°，AC⊥BD，
∴∠ABO＝30°，
∵BD＝6，
∴BO＝3，
设AO＝x，则AB＝2x，
故x2+（3）2＝（2x）2，
解得：x＝3，
∴AO＝3，
∴AC＝6，
∴菱形的面积＝6×6÷2＝18．
故答案为：18．
14．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝＝＝6，
∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
即BD?AG＝AB?OE+AD?OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
15．解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3，
∵AB＝5，
由勾股定理得：OB＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵AB∥CD，
∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，
∴△EAB和△ECD的面积和＝×菱形ABCD的面积×＝＝12．
故答案为：12
三．解答题
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：补充的条件是：AC⊥BD．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴?ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：?ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
18．（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠CDO，
又OD＝OD，∠AOD＝∠COD，
∴△AOD≌△COD（ASA），
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵BE∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴DC＝AB＝CE，
∴图中所有与△CBE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
一．选择题
1．如图，菱形ABCD中，∠A＝50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．25°
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（ ）
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
5．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（ ）
A．15° B．30° C．40° D．50°
8．如图，将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH，若FD：BF＝1：3，菱形ABCD与菱形EFGH的重叠部分面积记为S1，菱形ABCD的面积记为S2，则S1：S2的值为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（ ）
A．36° B．54° C．64° D．72°
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF＝BC，连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形ACFD是平行四边形
B．BD2+FD2＝BF2
C．OE＝BD
D．面积关系：S△GEO＝S△ADO
二．填空题
11．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件 ，则四边形ABCD为菱形．
12．若一个菱形的周长为200cm，一条对角线长为60cm，则它的面积为 ．
13．菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为6，则它的面积为 ．
14．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝ ．
15．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，AB＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连接AE、BE、DE、CE，则△EAB和△ECD的面积和等于 ．
三．解答题
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．
17．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．
18．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC垂直平分BD，BD平分∠ADC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形（△CBE除外）．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠ADC＝130°，
∴∠ADB＝×130°＝65°，
故选：A．
2．解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
B．四条边相等的四边形是菱形，故符合题意；
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝BC×AE，
∴AE＝＝．
在Rt△ABE中，BE＝＝＝，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，
∴的值为，
故选：C．
4．解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故选：A．
5．解：如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠HDO＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠GDO+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠HDO＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝25°，
∴∠DHO＝25°，
故选：B．
6．解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t＝，
故选：D．
7．解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，
在△BCF和△DCF中，
∵，
∴△BCF≌△DCF（SAS）
∴∠CBF＝∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°
∴∠ABF＝∠BAF＝50°
∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°
∴∠CDF＝30°．
故选：B．
8．解：如图设AD交EF于M，CD交FG于N．
由题意，重叠部分四边形MDNF是菱形，
菱形MFND∽菱形ABCD，
∴＝（）2，
∵DF：BF＝1：3，
∴DF：BD＝1：4，
∴＝（）2＝，
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO＝CO，
又∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，
∵CF＝BC，
∴CF＝AD，
∴四边形ACFD是平行四边形，故选项A不合题意；
∴AC∥DF，DG＝GC，
∴BD⊥DF，
∴BD2+FD2＝BF2，故选项B不合题意；
∵DG＝GC，AE＝EC，
∴EG∥AD，AD＝2EG，
∴△EGO∽△DAO，
∴＝（）2＝4，，
∴S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，故选项C符合题意，选项D不合题意，
故选：C．
二．填空题
11．解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵AC平分BD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．
12．解：已知AC＝60cm，菱形对角线互相垂直平分，
∴AO＝30cm，
又∵菱形ABCD周长为200cm，
∴AB＝50cm，
∴BO＝＝＝40cm，
∴AC＝2BO＝80cm，
∴菱形的面积为×60×80＝2400（cm2）．
故答案为：2400cm2．
13．解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠BAD＝60°，AC⊥BD，
∴∠ABO＝30°，
∵BD＝6，
∴BO＝3，
设AO＝x，则AB＝2x，
故x2+（3）2＝（2x）2，
解得：x＝3，
∴AO＝3，
∴AC＝6，
∴菱形的面积＝6×6÷2＝18．
故答案为：18．
14．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝＝＝6，
∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
即BD?AG＝AB?OE+AD?OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
15．解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3，
∵AB＝5，
由勾股定理得：OB＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵AB∥CD，
∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，
∴△EAB和△ECD的面积和＝×菱形ABCD的面积×＝＝12．
故答案为：12
三．解答题
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：补充的条件是：AC⊥BD．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴?ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：?ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
18．（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠CDO，
又OD＝OD，∠AOD＝∠COD，
∴△AOD≌△COD（ASA），
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵BE∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴DC＝AB＝CE，
∴图中所有与△CBE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．