重庆市黔江新华高中2021届高三下学期3月第二次联合考试数学试题 Word版含答案

黔江新华中学校 2021届高三年毕业班第二次联合考试试卷（数学科）
考试时间：120分钟 满分 150分
一 单选题：（每题5分，共40分）
已知集合，集合，则
A. B. C. D.
，若z为实数，则a的值为
A． B. C. D.
已知函数的图象如图所示，则此函数可能是
A. B.
C. D.
已知a，b为不同直线，，为不同平面，则下列结论正确的是
A. 若?，，则?
B. 若a，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
若，则
A. B. C. D.
从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率为
A. B. C. D.
已知球O表面上的四点A，B，C，P满足，若四面体PABC体积的最大值为，则球O的表面积为?
A. B. C. D.
设，为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二 多选题（每题5分，漏选得2分，选错0分。共20分）
给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有
A. 设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线
B. 过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆
C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D. 双曲线与椭圆有相同的焦点
在长方体中，，，，以D为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
A． B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 平面的一个法向量为 D. 二面角的余弦值为
已知a>0，b>0，则下列结论正确的是
A．若 B．若
C．若则 D．若，则
已知函数，则下列结论正确的是
A. 函数f??x??在?0，?上单调递减
B. 函数f??x??在上有极小值
C. 方程f??x?在上只有一个实根
D. 方程在上有两个实根
三 填空题（每题5分，共20分）
在的展开式中，的系数是______．
如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是______ ．
若数列满足：，则称数列为斐波那契数列．斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，如图1中的实线部分(正方形内的数字与为所在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为90°的扇形)．自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列、芦荟叶子的排列等(如图2)．若一母线长为16的圆锥的底面周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度，则该圆锥的侧面积为___________.
函数在上不单调，则实数a的取值范围是______．
四 解答题（共70分）
（10分）已知是递增的等比数列，，，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设数列满足，，求数列的前n项和．
（12分）某校在圆心角为直角，半径为1km的扇形区域内进行野外生存训练，在相距1km的A，B在弧上两个位置分别有300，100名学生，在道路OB上设置集合点D，要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为．
设，写出S关于的函数表达式；
当S最小时，集合地点D离点A多远？
（12分）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面底面ABC，且侧面为菱形，，E是的中点，F是与的交点．
求证：底面ABC；
求BC与平面所成角的正弦值．
（12分）已知椭圆焦点在x轴上过点，且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.
（12分）有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取8件，经检验都为优质品时接受这批产品，若优质品数小于6件则拒收；否则做第二次检验，其做法是从产品中再另任取3件，逐一检验，若检测过程中检测出非优质品就要终止检验且拒收这批产品，否则继续产品检测，且仅当这3件产品都为优质品时接受这批产品，若产品的优质品率为且各件产品是否为优质品相互独立．
记X为第一次检验的8件产品中优质品的件数，求X的期望与方差；
求这批产品被接受的概率；
若第一次检測费用固定为1000元，第二次检测费用为每件产品100元，记Y为整个产品检验过程中的总费用，求Y的分布列
附：，，，，
（12分）设函数，．
若，求曲线在处的切线方程；
当时，求函数的最小值；
已知，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．
2021届高三年毕业班第二次联合考试试卷（数学科）答案
考试时间：120分钟 满分 150分

题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B C C C A A CD ACD ACD ABD
13.80 14. 15. 16.
17.【答案】解：设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
即，即，解得或舍去．
又因为，所以，所以．（4分）
由条件及可得．
因为，所以，
所以，（6分）
所以
．（8分）
又因为满足上式，所以
所以．（10分）
18. 【答案】解：中，，，
由正弦定理得，
解得，，且；
，其中；（6分）
令，
则，
当时，，y单调递减；
当时，，y单调递增；
当且仅当时，y取得最小值为；
此时，
即时，S取得最小值为；
答：当D、A的距离为时，S取得最小值为．（12分）
19. 【答案】解：证法一：取的中点M，连接EM，FM，
是与的交点，且侧面是菱形，
是的中点，，
底面ABC，底面ABC，底面ABC，
，，E为中点，，，
四边形BCME为平行四边形，，
底面ABC，底面ABC，
底面ABC，
，平面EFM，平面EFM，
平面底面ABC，
平面EFM，底面ABC．
证法二：取AC中点O，连接OB，OF，
是与的交点，且侧面为菱形，是的中点，
，，
是的中点，，，
是的中点，，，
，，
四边形OBEF是平行四边形，，
又底面ABC，底面ABC，
底面ABC．（5分）
连接，侧面为菱形，，
是正三角形，，
侧面底面ABC，侧面底面，侧面，
底面ABC，
底面ABC为正三角形，O为AC的中点，，（7分）
以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
底面ABC是边长为2的正三角形，
，0，，1，，0，，
1，，1，，1，，
设平面的一个法向量为y，，
由，取，得，（10分）
与平面所成角的正弦值为：
．（12分）
20【答案】（Ⅰ）解：由题意可知，，，
解得. …………3分
所以椭圆的方程为. …………4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,，.设，依题意，
于是直线的方程为，令，则.
即. …………6分
又直线的方程为，令，则，
即. …………8分
所以 ，………10分
又在上，所以,即，代入上式，
得,所以为定值. ……12分
21【答案】解：产品的优质品率为，从中任取8件，X为第一次检验的8件产品中优质品的件数，
依题意有，
的期望为：，
X的方差为：．（4分）
产品被接受的概率：
．（7分）
的取值为：1000元、1100元、1200元、1300元．
，
，
，
，
的分布列为：
Y 1000 1100 1200 1300
P



（12分）
22.【答案】解：当时，，则当时，，
所以，，
则在处的切线方程为：，即；（3分）
当时，，则，
所以在上单调递增，所以；
当时，，则，
所以在上单调递增，所以；
当时，，
由可知，函数在上单调递减，在单调递增，
所以，
综上：当时，；当时，，当时，；（7分）
当时，且对任意的，都有，
即对任意有，
设，则，，
设，因为，，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，
当即时，恒成立，所以在上单调递增，此时满足题意；
当即时，因为，且在上单调递增，所以存在唯一的，使得，
因此当时，，当时，，
所以在单调递减，上单调递增，
所以，不满足题意，
综上，．（12分）