2020-2021学年八年级数学鲁教版（五四制）下册《第6章特殊的平行四边形》章末课后提升作业题（word版含解析）

2021年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊的平行四边形》章末课后提升作业题（附答案）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（，1），若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（　　）
A．向左平移（）个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
2．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（　　）
A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形
B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形
C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形
D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5
3．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC＝FC；②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，?ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是（　　）
A．小青
B．小何
C．小夏
D．小雨
5．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AB＝AD
B．AC＝BD
C．AD＝BC
D．AB＝CD
6．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．30
B．34
C．36
D．40
7．如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（　　）
A．（﹣6，2）
B．（0，2）
C．（2，0）
D．（2，2）
8．如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（　　）
A．
B．10
C．3
D．
9．如图，剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠DAB+∠ABC＝180°
B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：
①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④△AOE是等腰三角形．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
11．如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A
开始沿折线A﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝　
　时，四边形APQD也为矩形．
12．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG＝EF；
②△EFG≌△GBE；
③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　
　．
13．如图，正方形ABCD的边长AB＝3，点E、F分别是CB，DC延长线上的点，连AF交CB于点G，若BE＝1，连接AE，且∠EAF＝45°，则AG长为　
　．
14．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是　
　
A、①④?⑥；B、①③?⑤；C、①②?⑥；D、②③?④
15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为　
　．
16．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是　
　（填序号）．
17．在长方形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，4），则点D的坐标是　
　．
18．如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB＝30，BC＝40．则图中阴影部分的面积为　
　．
19．已知平面上四点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），直线y＝mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为　
　．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，∠B＝60°，当边AD：AB＝　
　时，四边形AECF是正方形．
21．如图，将长方形OABC放置在平面直角坐标系中，点P是折线A﹣B﹣C上的动点（点P不与A、C重合），连接OP，将OP绕点P顺时针旋转90°，点O落到点Q处．已知点B坐标为（24，15），当OP＝25时，则点Q坐标为　
　．
22．已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是　
　．
23．若一个菱形的周长为200cm，一条对角线长为60cm，则它的面积为　
　．
24．如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为　
　cm．
25．如图，以△ABC的三边为边，在BC边的同侧作等边△DBA，△EBC，△FAC．
（1）试说明四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形，说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？
26．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为　
　时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为　
　时，四边形AMDN是菱形．
27．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长．
28．如图①，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝6，∠BAD＝60°，且AB＞6．
（1）如图②，作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，则∠EPF　
　∠HPG（填“＜”“＞”或“＝”）．
（2）∠FPE的大小是　
　．
（3）若AP＝8，求AE+AF的值．
29．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
30．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
31．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD
（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．
（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．
参考答案
1．解：∵A（2，0），B（，1），
∴OA＝2，OB＝＝2，
∴OA＝OB，
∴点A向右平移个单位，再向上平移1个单位得到点C，则四边形OACB是菱形．
故选：C．
2．解：∵∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H，
∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG；
∵DE∥AC．
∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG．
∴EC＝EG；
同理：HE＝EC，
∴HE＝EC＝EG＝HG；
若CH∥BG，
∴∠HCG＝∠BGC＝90°，
∴∠EGB＝∠EBG，
∴BE＝EG，
∴BE＝EG＝HE＝EC，
∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°，
∴CHBG是矩形；
故A正确；
若BE＝CE，
∴BE＝CE＝HE＝EG，
∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°，
∴CHBG是矩形，
故B正确；
若HE＝EC，则不可以证明则四边形BHCG为平行四边形，
故C错误；
若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5，
∴CE＝2.5，
故D正确．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°
∵△AEF是等边三角形
∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°
∵AD＝AB，AF＝AE
∴△ABF≌△ADE
∴BF＝DE
∴BC﹣BF＝CD﹣DE
∴CE＝CF
故①正确
∵CE＝CF，∠C＝90°
∴EF＝CE，∠CEF＝45°
∴AF＝CE，
∵∠AED＝180°﹣∠CEF﹣∠AEF
∴∠AED＝75°
故②③正确
∵AE＝AF，CE＝CF
∴AC垂直平分EF
故④正确
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，CD∥AB，
∴∠ECO＝∠FAO，（故小雨的结论正确），
在△EOC和△FOA中，
，
∴△EOC≌△FOA，
∴OE＝OF（故小青的结论正确），
∴S△EOC＝S△AOF，
∴S四边形AFED＝S△ADC＝S平行四边形ABCD，
∴S四边形AFED＝S四边形FBCE故小夏的结论正确，
∵△EOC≌△FOA，
∴EC＝AF，∵CD＝AB，
∴DE＝FB，DE∥FB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵OD＝OB，EO⊥DB，
∴ED＝EB，
∴四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，故小何的结论错误，
故选：B．
5．解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，
∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
7．解：∵在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），
∴D（﹣3，2），
∴将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（0，2），
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC，
∵CF⊥BE，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS）
∴AE＝BF，BE＝CF，
∴AB＝．
故选：A．
9．解：根据题意可得AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，∠DAB+∠ABC＝180°
故选：B．
10．解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC，
∵FO＝FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正确；
②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB＝∠EOB＝90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；
故②错误；
③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，
∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，
∴∠CDE＝∠DFE，
∴DE＝EF，
故③正确；
④易知△AOE≌△COF，
∵FB垂直平分OC，
∴DE垂直平分OA，
∴AE＝OE，
∴④△AOE是等腰三角形，正确；
故选：B．
11．解：根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t，
则DQ＝12﹣2t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，CD∥AB，
∴当AP＝DQ时，四边形APQD是矩形，
即4t＝12﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2s时，四边形APQD是矩形；
故答案为：2s．
12．解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF＝CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠FEG＝∠BGE（两直线平行，内错角相等），
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AB＝CD＝FE，
在△EFG和△GBE中，，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF＝∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO＝BD＝BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG＝∠EPG＝90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，
在△APG和△EGP中，，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG＝EG＝AB，
∴EG＝EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF＝BE，
∵GP＝BE＝GF，
∴GP＝FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE＝∠FPE＝90°
在△GPE和△FPE中，，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP＝∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④成立．
故答案为：①②④．
13．解：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADH，可使AB与AD重合，则H在DC上．
由旋转得：BE＝DH，∠DAH＝∠BAE，AE＝AH，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAH＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAH＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG＝45°，
在△EAF和△HAF中，AE＝AH，∠EAF＝∠HAF，AF＝AF，
∴△EAF≌△HAF（SAS），
∴EF＝FH，
设EF＝FH＝x，则DF＝x+1，FC＝x﹣2．
在Rt△EFC中，依据勾股定理可知：x2＝42+（x﹣2）2，解得：x＝5，
∴FD＝6，FC＝3．
∵BC∥AD，
∴BG＝1.5．
∴AG＝＝＝．
故答案为：．
14．解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；
B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；
C、由①②不能判断四边形是正方形；
D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．
故选C．
15．解：∵ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24，
∴AC＝6，
∵AH⊥BC，AO＝CO＝3，
∴OH＝AC＝3．
故答案为3
16．解：当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．
理由：∵AE∥CD，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴四边形ADCE是菱形．
故答案为②
17．解：∵长方形ABCD中，A（﹣3，2），C（0，4），
∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为4，
∴点D的坐标为（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝40，
设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2＝AB，
∴S△EAB+S△ECD＝AD?h1+BC?h2＝AD（h1+h2）＝AD?AB＝矩形ABCD的面积＝×30×40＝600；
故答案为：600
19．解：∵点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），
∴四边形ABCD为矩形，
∵直线y＝mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线y＝mx﹣m+2过矩形的对角线的交点，
而矩形的对角线的交点坐标为（2，1），
∴2m﹣m+2＝1，
∴m＝﹣1．
故答案为﹣1．
20．解：当AD：AB＝2：（+1）时，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠B＝60°，AE⊥BG，
∴AB＝2BE，AE＝BE，
∵AD：AB＝2：（+1），
∴BC：AB＝2：（+1），
∴EC＝BC﹣BE＝BE，
∴AE＝EC，
∴平行四边形AECF是正方形．
故答案为：（+1）：2
21．解：如图1，当点P在AB上，过点Q作QE⊥AB于E，
∵点B坐标为（24，15），
∴AB＝OC＝24，AO＝BC＝15，
∴AP＝＝＝20，
∵将OP绕点P顺时针旋转90°，
∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，
∴∠QPE+∠OPA＝90°＝∠APO+∠AOP，
∴∠QPE＝∠AOP，
在△EPQ和△AOP中，
，
∴△EPQ≌△AOP（AAS），
∴EP＝AO＝15，QE＝AP＝20，
∴AE＝AP﹣EP＝5，
∴点Q（5，35）；
当点P在BC上时，过点Q作QF⊥BC，交CB的延长线于F，
∴CP＝＝＝7，
∵将OP绕点P顺时针旋转90°，
∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，
∴∠QPF+∠OPC＝90°，∠OPC+∠POC＝90°，
∴∠POC＝∠QPF，
在△OPC和△PQF中，
，
∴△OPC≌△PQF（AAS），
∴QF＝CP＝7，PF＝OC＝24，
∴CF＝31，
∴点Q（17，31），
综上所述：点Q坐标为：（5，35）或（17，31），
故答案为：（5，35）或（17，31）．
22．解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm，
∴菱形的两条对角线长的一半分别为4cm和3cm，
根据勾股定理，边长＝＝5（cm），
所以，这个菱形的周长是5×4＝20（cm），
故答案为：20cm．
23．解：已知AC＝60cm，菱形对角线互相垂直平分，
∴AO＝30cm，
又∵菱形ABCD周长为200cm，
∴AB＝50cm，
∴BO＝＝＝40cm，
∴AC＝2BO＝80cm，
∴菱形的面积为×60×80＝2400（cm2）．
故答案为：2400cm2．
24．解：连接AC，BD交于点O，
∵B、E、F、D四点在同一条直线上，
∴E，F在BD上，
∵正方形AECF的面积为50cm2，
∴AC2＝50，AC＝10cm，
∵菱形ABCD的面积为120cm2，
∴＝120，BD＝24cm，
所以菱形的边长AB＝＝13cm．
故答案为：13．
25．解：（1）∵△ABD，△BCE，△FAC是等边三角形，
∴AB＝DB，BC＝BE，AC＝AF，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△DBE≌ABC（SAS），
∴DE＝AC，
∴DE＝AF．
同理可得DA＝EF，
∴四边形AFED是平行四边形；
（2）当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．理由如下：
∵∠DAF＝360°﹣∠DAB﹣∠BAC﹣∠CAF＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，
∴?AFED是矩形；
（3）当△ABC是顶角为150°的等腰三角形时，四边形ADEF是正方形．理由如下：
由（2）可知，当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，
∵AB＝AC，
∴矩形AFED是正方形；
（4）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，
此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，
又∵点E是AD边的中点，
∴DE＝AE，
∴△NDE≌△MAE，
∴ND＝MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝2．
∵AM＝AD＝1，
∴∠ADM＝30°
∵∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝90°，
∴平行四边形AMDN是矩形；
故答案为：1；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM＝2，
∴AM＝AD＝2，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM＝DM，
∴平行四边形AMDN是菱形，
故答案为：2．
27．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD＝∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE＝∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC＝90°且AB＝AC时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
（3）解：由勾股定理，得
＝AB，AD＝CD，
即AD＝2，
AD＝2，
正方形ADCE周长4AD＝4×2＝8．
28．解：（1）作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，则∠PGE＝∠PHF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴PG＝PH，
在Rt△PGE和Rt△PHF中，
，
∴Rt△PGE≌Rt△PHF（HL），
∴∠HPF＝∠GPE，GE＝HF，
∴∠HPF+∠FPG＝∠GPE+∠FPG，
即∠HPG＝∠EPF，
故答案为：＝；
（2）∵∠BAD＝60°，∠AHP＝∠AGP＝90°，
∴∠GPH＝120°，
∴∠EPF＝120°，
故答案为：120°；
（2）∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠PAG＝30°，
∴PG＝AP＝4，
∴AG＝PG＝4，
又∵GE＝HF，
∴AE+AF＝AG+GE+AH﹣HF＝2AG＝8．
29．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，得t＝3
故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，
故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，
则周长为：4AQ＝4×＝15cm
面积为：．
30．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
（2）OE＝OF成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF＝90°，
∠E+∠OBE＝90°，
又∵∠MBF＝∠OBE，
∴∠F＝∠E．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
31．（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，
在△DBE和△ABC中
，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE＝AC，
∵AC＝AF，
∴DE＝AF，
同理AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，
理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，
∴∠DAB＝∠FAC＝60°，
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAF＝90°，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形；
（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，
理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，
此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在