第七章 复数单元测试（含解析）

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第七章 复数单元测试
一、单选题(共60分)
1．(本题5分)若复数满足，其中为虚数单位，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
2．(本题5分)如图，在复平面内，若复数对应的向量分别是，则复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(本题5分)复数（ ）
A． B． C． D．
4．(本题5分)已知，则在复平面上所对应的复数是（）
A． B． C． D．
5．(本题5分)已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．(本题5分)设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C．2 D．4
7．(本题5分)复数的虚部是( )
A． B． C． D．
8．(本题5分)复平面上复数与的对应点关于直线对称，且，则为（ ）
A．2 B． C． D．1
9．(本题5分)若复数，则复数的模等于（ ）
A． B．2 C． D．
10．(本题5分)若复数满足，则 (　　)
A．1 B． C． D．
11．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ）
A． B． C． D．
12．(本题5分)若集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
二、填空题(共20分)
13．(本题5分)已知复数（是虚数单位），则___________．
14．(本题5分)已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是________.
15．(本题5分)如果复数满足，那么的最小值是__________
16．(本题5分)设，是实数，若（是虚数单位），则的值是____________.
三、解答题(共70分)
17．(本题10分)已知z是复数，判断下列等式是否成立.
（1）；
（2）.
18．(本题12分)已知复数（是虚数单位）
（1）计算； （2）若，求实数的值．
19．(本题12分)设方程的根分别为、，且，求实数的值.
20．(本题12分)知，复数．
(1)实数取什么值时，复数为实数、纯虚数；
(2)实数取值范围是什么时，复数对应的点在第三象限．
21．(本题12分)已知为实数，复数.
（1）当为何值时，复数为纯虚数？
（2）当时，复数在复平面内对应的点落在直线上，其中，求的最小值及取得最值时的、值.
22．(本题12分) 已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根．
(1)求a，b的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
答案解析
1．C
【详解】，
则.
故选：C.
2．A
【解析】
在复平面内对应的点的坐标为，所以位于第一象限
3．B
【详解】
因为，
故选：B
4．D
【详解】,
根据向量与复数的对应关系，在复平面上所对应的复数是.
故选D
5．D
【解析】
由，得：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.
6．B
【详解】
由，得，
∴，故选B.
7．A
【详解】
由复数的运算法则可知：，
则复数的虚部是.
8．A
【解析】设，与的对应点关于直线对称，所以，，即，则.故选A.
9．A
【解析】
因为，所以，应选答案A。
10．D
【解析】
由，得，故选D.
11．A
【详解】
因为，
所以，
设，，，
则，
即，，，
故
.
故选：A.
12．A
【详解】
解：集合，
集合表示的图象为：半圆，，
，，，，
集合的表示图象为：双曲线，
，
∴中元素的个数为0，
故选：A．
13．
【解析】
14．
【详解】
由已知得，解得；
又因为，所以，解得；
所以实数的取值范围是
故得解.
15．1
【解析】
复数z满足|z+3i|+|z 3i|=6，
∴z的几何意义是以A(0,3),B(0, 3)为端点的线段AB，
则|z+1+i|=|z ( 1 i)|的几何意义为AB上的点到C( 1, 1)的距离，
则由图象知C到线段AB的距离的最小值为1，
16．2
【解析】
17．（1）成立（2）成立
【详解】（1）成立，设，则；
（2）成立，设，则.
18．（1）；（2）.
【详解】
（1）因为，所以；
（2），
所以由复数相等的充要条件得：
，所以.
19．或
【详解】
对于方程，有.
当，即时，方程有两个实数根，
解得；
当，即时，方程有两个虚数根，即，.
，解得.
综上，实数k的值为或.
20．
【详解】
解：当，即时，
复数为实数；
当，即时，
复数是纯虚数；
由题意，，解得．
当时，复数z对应的点在第三象限．
21．（1）；（2），且.
【解析】
（1）令，则或
又，所以
（2）当时，，又落在直线上，所以，又，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以且.
22．（1）a，b的值分别为－2，2；（2）1－i是方程的一个根．
【详解】
(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，
∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，
∴∴
∴a，b的值分别为－2，2.
(2)由(1)知，实系数方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程，
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
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