2020-2021学年八年级数学人教版下册18.1《平行四边形》常考题型优生辅导训练（word版，附答案）

2020-2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》常考题型优生辅导训练（附答案）
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（　　）
A．AD＝BC
B．AB＝CD
C．AD∥BC
D．∠A＝∠C
2．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝2，AC＝4，则AD的取值范围是（　　）
A．AD＜6
B．AD＞2
C．2＜AD＜6
D．1＜AD＜3
3．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）
A．1＜MN＜5
B．1＜MN≤5
C．＜MN＜
D．＜MN≤
4．如图，?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，则图中有（　　）个平行四边形．
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
5．如图，点E，F是?ABCD对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；
④∠AEB＝∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是（　　）
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
8．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BCE的周长是（　　）
A．12
B．24
C．36
D．48
9．如图，?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）
A．28
B．24
C．21
D．14
10．如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（　　）
A．15
B．9
C．6
D．3
二．填空题（共10小题）
11．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　
　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
12．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，BC＝5，AB＝4，AE＝3，则AF的长度为　
　．
13．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝　
　．
14．如图，在?ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是　
　度．
15．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是　
　．
16．如图，在?ABCD中，AB＝4cm，BC＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝　
　．
17．已知平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，若AB＝6，AC＝8，则BD的取值范围是　
　．
18．如图，在?ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为　
　．
19．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连接DE，DE＝2.5cm，AB＝4cm，则BC的长为　
　cm．
20．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3，则△ABC的周长为　
　．
三．解答题（共8小题）
21．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：（1）AC＝EF；
（2）四边形ADFE是平行四边形；
（3）AC⊥DF．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．
（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；
（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．
23．在平行四边形ABCD中，点E在CD上，点F在AB上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．
（1）如图1，求证：四边形DFBE是平行四边形；
（2）如图2，若E是CD的中点，连接GH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以GH为边或以GH为对角线的所有平行四边形．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？
25．如图，在?ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．
（1）试说明：BF＝DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在?ABCD中，AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
26．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E．
（1）求证：AF⊥BG，DF＝CG；
（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．
27．如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．
（1）△ACD和△CBF全等吗？请说明理由；
（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
（3）当点D在线段BC上移动到何处时，∠DEF＝30°．
28．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连接AE、AF．
（1）求证：△ABE≌△FDA；
（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数．
参考答案
1．解：A、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；
B、AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；
C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
2．解：延长AD至E，使AD＝DE，连接BE、CE，
∵AD＝DE
∵AD是△ABC中BC边上的中线
∴BD＝DC
∴四边形ABEC为平行四边形
∴BE＝AC＝4
∴在△ABE中：BE﹣AB＜AE＜BE+AB
即2＜2AD＜6
∴1＜AD＜3
故选：D．
3．解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，
∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选：D．
4．解：E，F分别是AD，BC的中点，则有AE＝FC＝ED＝BF＝AD＝BC
∴四边形AECF，EDFB，是平行四边形，有∠FBE＝∠EDF＝∠AEB
∵AE∥BF
∴EAF＝∠AFB
∴根据ASA得出△MAE≌△MFB，∴AM＝MF，即点M是AF的中点．
同理，点N是FD的中点，∴MN是△EBC和△AFD的中位线，∴MN＝AE＝FC＝ED＝BF＝AD＝BC
∴四边形AENM，DEMN，BMNF，FCNM是平行四边形
∵EN∥MF，ME∥FN
∴四边形ENFM是平行四边形，而四边形ABCD也是平行四边形，共8个平行四边形．
故选：B．
5．解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对边平行且相等，可证明这个四边形是平行四边形，
①不能证明对边平行且相等，只有②③④可以，
故选：D．
6．解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在?ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝CF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC＝2S△CEF错误；
④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项正确．
故选：C．
7．解：连接AF、EC．
∵BC＝4CF，S△ABC＝12，
∴S△ACF＝×12＝3，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB＝S△DEC，
∴S阴＝S△ADE+S△DEC＝S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC＝S△ACF＝3，
∴S阴＝3．
故选：B．
8．解：∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴DE是△ABC的中位线．
∴点E是AC中点，
∴CE＝AE＝6．
∵DE＝5，
∴BC＝10．
∵∠BEC＝90°，
∴△BCE是直角三角形，
∴根据勾股定理得，BE＝8，
∴△BCE的周长为BC+CE+BE＝10+6+8＝24．
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵?ABCD的周长为28，
∴AB+AD＝14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，
故选：D．
10．证明：∵△ABC的周长为30，BC＝12．
∴AB+AC＝30﹣BC＝18．
延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：
∵BM为∠ABC的角平分线，
∴∠CBM＝∠ABM，
∵BM⊥AG，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠G+∠CBM＝90°，
∴∠BAM＝∠AGB，
∴AB＝BG，
∴AN＝GN，
同理AC＝CF，AM＝MF，
∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，
∴MN＝（AB+AC﹣BC）＝（18﹣12）＝3．
故选：D．
11．解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
12．解：在?ABCD中，CD＝AB＝4，
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF，
即5×3＝4?AF，
解得AF＝．
故答案为：．
13．解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，
故答案为：4．
14．解：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
∴∠AED＝∠BAC．
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝85°，
∴∠AED＝∠BAC＝85°；
故答案为：85．
15．解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠BAM＝∠CEM，∠B＝∠ECM．
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM．
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB＝CD＝CE，AM＝EM＝4，
∵N为边DC的中点，
∴NE＝3NC＝AB，即AB＝NE，
∵AN＝3，AE＝2AM＝8，且∠MAN＝60°，
∴∠AEH＝30°，
∴AH＝AE＝4，
∴EH＝＝4，
∴NH＝AH﹣AN＝4﹣3＝1，
∴EN＝＝7，
∴AB＝×7＝．
故答案为．
16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝7cm，
∴DF＝CF﹣CD＝7﹣4＝3cm，
故答案为：3cm．
17．解：如图，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE＝BD，BE＝CD＝AB＝6，
∴在△ACE中，AE＝2AB＝12，AC＝8，
AE﹣AC＜CE＜AE+AC，
即12﹣8＜BD＜12+8，
∴4＜BD＜20．
故答案为：4＜BD＜20．
18．解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，
∴2x＝63°﹣x，
解得：x＝21°，
即∠ADE＝21°；
故答案为：21°．
19．解：
∵BF平分∠ABC，AG⊥BF，
∴△ABG是等腰三角形，
∴AB＝GB＝4cm，
∵BF平分∠ABC，
∴AD＝DG，
∵E为AC的中点，
∴DE是△AGB的中位线，
∴DE＝CG，
∴CG＝2DE＝5cm，
∴BC＝BG+CG＝4+5＝9cm，
故答案为：9
20．解：在△ABN和△ADN中，
，
∴△ABN≌△ADN，
∴AD＝AB＝10，BN＝DN，
∵M是△ABC的边BC的中点，BN＝DN，
∴CD＝2MN＝6，
∴△ABC的周长＝AB+BC+CA＝41，
故答案为：41．
21．证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，AB＝AE，
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（3）∵∠EAC＝∠EAF+∠BAC＝60°+30°＝90°，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC＝∠AGD＝90°，
∴AC⊥DF．
22．解：（1）∵AH＝3，HE＝1，
∴AB＝AE＝4，
又∵Rt△ABH中，BH＝＝，
∴S△ABE＝AE×BH＝×4×＝；
（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠MAC＝∠NGC＝45°，
∵AB＝AE，
∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，
又∵AE⊥BG，
∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，
∴∠MAE＝∠NBG，
设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，
∴AB＝BG，
∴AE＝BG，
在△AME和△BNG中，
，
∴△AME≌△BNG（AAS），
∴ME＝NG，
在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，
∴GC＝NG＝ME＝BE，
∴BE＝GC，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，
∴DF＝BE＝CG．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形DFBE是平行四边形；
（2）解：∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE；
以GH为对角线的平行四边形有GFHE．
24．解：根据题意得：PA＝t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝24﹣t．
（1）∵AD∥BC，
即PQ∥CD，
∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24﹣t＝3t，
解得：t＝6，
即当t＝6时，PQ∥CD；
（2）若PQ＝DC，分两种情况：
①PQ＝DC，由（1）可知，t＝6，
②PD≠CQ，则四边形PDCQ是等腰梯形，则有QC＝PD+2（BC﹣AD），
可得方程：3t＝24﹣t+4，
解得：t＝7．
25．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE；
（2）∵四边新ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC，
∵BF＝DE，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
（3）解：∵EF垂直平分BD，
∴BF＝DF，
∵△ABE≌△CDF，
∴DF＝BE，AE＝CF，
∴△DFC的周长是DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝15，
△ABE的周长也是15，
①当P在AB上，Q在CD上，
∵AB∥CD，
∴∠BPO＝∠DQO，
∵∠POB＝∠DOQ，OB＝OD，
∴△BPO≌△DQO，
∴BP＝DQ，
∴m+n＝BP+DF+CF+CQ＝DF+CF+CQ+DQ＝DF+CF+CD＝15
　　　
②当P在AE上，Q在CF上，
∵AD∥BC，
∴∠PEO＝∠QFO，
∵△EOD≌△FOB，
∴OE＝OF，
∵∠PEO＝∠QFO，∠EOP＝∠FOQ，
∴△PEO≌△QFO，
∴PE＝QF，
∵AE＝CF，
∴CQ＝AP，
m+n＝AB+AP+DF+PQ＝CD+CQ+DF+FQ＝DF+CF+CD＝15；
③当P在BE上，Q在DF上，
∵AD＝BC，AE＝CF，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴∠PEO＝∠FQO，
∵∠EOP＝∠FOQ，OE＝OF，
∴△PEO≌△FQO，
∴PE＝FQ，
∴m+n＝AB+AE+PE+DQ＝CD+CF+QF+DQ＝DF+CF+CD＝15．
26．（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝∠BAD．
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC．
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
即2∠BAF+2∠ABG＝180°，
∴∠BAF+∠ABG＝90°．
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAF+∠ABG）＝180°﹣90°＝90°．
∴AF⊥BG；
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠DAF，
∴DF＝AD，
∵AB∥CD，
∴∠ABG＝∠CGB，
∴∠CBG＝∠CGB，
∴CG＝BC，
∵AD＝BC．
∴DF＝CG；
（2）解：∵DF＝AD＝6，
∴CG＝DF＝6．
∴CG+DF＝12，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴CD＝AB＝10．
∴10+FG＝12，
∴FG＝2，
过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．
∴∠GBH＝∠AEB＝90°．
∵AF∥BH，AB∥FH，
∴四边形ABHF为平行四边形．
∴BH＝AF＝8，FH＝AB＝10．
∴GH＝FG+FH＝2+10＝12，
∴在Rt△BHG中：BG＝＝．
∴FG的长度为2，BG的长度为4．
27．解：（1）△ACD≌△CBF
证：∵△ABC为等边三角形
∴AC＝BC
∠ACD＝∠B＝60°
∵CD＝BF
∴△ACD≌△CBF（SAS）
（2）四边形CDEF为平行四边形
∵△ACD≌△CBF
∴∠DAC＝∠BCF，CF＝AD
∵△AED是等边三角形
∴AD＝DE
∴CF＝DE①
∵∠ACG+∠BCF＝60°
∴∠ACG+∠DAC＝60°
∴∠AGC＝180°﹣（∠ACG+∠DAC）＝120°
∴∠DGF＝∠AGC＝120°
∵△AED是等边三角形
∴∠ADE＝60°
∴∠DGF+∠ADE＝180°
∴CF∥DE②
综合①②可得四边形CDEF是平行四边形．
（3）∵AC＝BC，
当点D是BC中点时，BF＝CD＝BC＝AB，
∴CF为AB边上的中线，CF平分∠ACB，
∴∠DEF＝∠ACB＝30°，
∴当点D是BC中点时，∠DEF＝30°．
28．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB＝DC，
又∵DF＝DC，
∴AB＝DF．
同理EB＝AD．
在平行四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，
又∵∠EBC＝∠CDF，
∴∠ABE＝360°﹣∠ABC﹣∠EBC，∠ADF＝360°﹣∠ADC﹣∠CDF，
∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE≌△FDA（SAS）．
（2）即：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB＝∠DAF．
∵∠EBG＝∠EAB+∠AEB，
∴∠EBG＝∠DAF+∠EAB，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°．
∵∠BAD＝32°，
∴∠EAF﹣∠DAB＝90°﹣32°＝58°．
∴∠EBG＝58°．