2020-2021学年八年级数学人教版下册18.2.1.1矩形的性质课件（共41张ppt）

(共41张PPT)
18.2.1.1
矩形的性质
学习目标
1
2
3
掌握矩形的性质及推论，能运用其解决相关问题
发展初步的合理推理能力和数学表达能力
理解矩形与平行四边形的区别和联系，体会一般和特殊的辨证关系
学习重难点
重点
难点
掌握矩形的性质
运用矩形的性质解决相关问题
长方形也叫矩形，是生活中常见的图形．
提出问题，引发思考
平行四边形
请你观察平行四边形的变化，给矩形下一个定义．
矩形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形是特殊的平行四边形
请你观察平行四边形的变化，给矩形下一个定义．
如图，记作矩形ABCD．
D
C
B
A
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∠B=90°，
∴□ABCD是矩形．
∵
四边形ABCD是矩形，
∴
四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°．
D
C
B
A
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
平行四边形
性质
边
角
对角线
探究性质，深化认知
对边平行且相等
对角相等、邻角互补
对角线互相平分
矩形
性质
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等、邻角互补
对角线互相平分
观察边、角、对角线
猜想矩形具有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质．
平行四边形
矩形
有一个角是直角
有一个角是直角
观察角的变化
平行四边形
矩形
猜想：1.矩形的四个角都是直角．
2.矩形的对角线相等．
AD∥BC
分析：
∠A=∠C，
∠D=∠B
∠A=90°
∠A+∠B=180°
D
C
B
A
四边形ABCD是矩形
□ABCD
∠B=90°
∠D=∠B=90°
猜想1
矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
证明：∵
四边形ABCD
是矩形，
不妨设∠B=90°，
∴
∠A=∠C，∠D=∠B=90°，
AD∥BC．
∴
∠A+∠B=180°．
∴
∠A=180°-∠B=90°
．
∴
∠C=∠A=90°．
∴
∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
D
C
B
A
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
矩形的性质：矩形的四个角都是直角．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
D
C
B
A
A
B
C
D
分析：
AB=CD
∠ABC=∠DCB=90°
△ABC≌△DCB
AC=BD
四边形ABCD是矩形
BC=CB
猜想2
矩形的对角线相等．
已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC，BD是矩形ABCD的对角线．
求证：AC=BD
．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°．
又BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴AC=BD．
方法一
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC，BD是矩形ABCD的对角线．
求证：AC=BD
．
分析：
AB=CD
∠ABC=∠DCB=90°
AC=BD
四边形ABCD是矩形
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2
在Rt△DCB中，BD2=CD2+BC2
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC，BD是矩形ABCD的对角线．
求证：AC=BD
．
证明：∵
四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°．
∴在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2,
在Rt△DCB中，BD2=CD2+BC2．
∴AC2=BD2
．
∴AC=BD．
方法二
已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC，BD是矩形ABCD的对角线．
求证：AC=BD
．
A
B
C
D
矩形的性质：
矩形的对角线相等且互相平分．
∵
四边形ABCD是矩形，
∴
OA=OB=OC=OD．
A
B
C
D
矩形不同于平行四边形的特殊性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等．
矩形
性质
边
角
对角线
矩形是特殊的平行四边形
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
边
角
对角线
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
性质
平行四边形
矩形
角特殊化
一般
特殊
例1
矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角，对角线与各边组成的角是多少度？
如图，四边形ABCD是矩形，
对角线AC，BD交于点O，∠AOB=∠COD=50°．
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
O
四边形ABCD是矩形
分析：
OA=OB=OC=OD
∠1=∠2，∠3=∠4
∠5=∠6，∠7=∠8
∠1=∠2=∠5=∠6
∠3=∠4=∠7=∠8
AB∥DC，AD∥BC
∠1=∠5，
∠3=∠7
如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，∠AOB=∠COD=50°．
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
O
∠1=∠2=65°
∠3=90°-∠2=25°
∠AOB=50°
∠ABC=90°
OA=OB
四边形ABCD是矩形
如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，∠AOB=∠COD=50°．
分析：
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
O
答：对角线与各边组成的角是65°和25°．
例1
矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角，对角线与各边组成的角是多少度？
A
B
C
D
O
例2
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
BC
∠ACB=30°
AC=2AB=8
OB=OC
四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
O
分析：
∠ABC=90°
30°
AB2+BC2=AC2
解
：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°．
∵∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形．
∴OA=AB=4．
∴AC=2OA=8．
A
B
C
D
O
例2
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
∵∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形．
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴BC=
．
等腰三角形
直角三角形
等边三角形
含30°角的直角三角形
A
B
C
D
O
60°
例题小结
A
B
C
D
O
等腰三角形
全等三角形
直角三角形
(等边三角形)
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
全等三角形
特
殊
化
三角形
平行四边形
矩形
直角三角形
平行四边形与三角形的联系
A
B
C
D
O
A
B
C
O
在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系吗？
探究直角三角形的性质
矩形ABCD
Rt△ABC
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
A
B
C
O
∵
OA=OC，DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∠ABC=90°，∴□ABCD是矩形．
∴AC=BD．又
，
∴
．
证明：延长BO至点D，使得DO=BO，连接AD，CD．
D
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是斜边AC上的中线．
求证：
A
B
C
O
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
∵
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
BO是斜边AC上的中线，
∴
解：∵∠ACD=3∠BCD，∠ACB=90°，
∴∠ACD=67.5°．
又CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ACD=22.5°．
∵∠ACB=90°，点E是斜边AB的中点，
∴AE=CE．
∴∠ECA=∠A=22.5°．
∴∠ECD=∠ACD-∠ECA=45°．
C
A
E
D
B
练习
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？
矩形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
矩形是轴对称图形．
对称轴是对边中点连线所在的直线．
探究矩形的轴对称性
课堂总结
构
造
转
化
直角
直角
平行四边形
三角形
矩形
直角三角形
构
造
转
化
课后作业
1.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为
120°,求这个矩形的边长（结果保留小数点后两位）．
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A，∠B的度数．
课后作业
C
B
D
O
x
y
3.如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别为（0，0），（b，0），（0，d），求点C的坐标．
再
见