2020-2021学年八年级数学苏科版下册 9.4矩形 菱形 正方形同步基础培优训练题（Word版含答案）

2020-2021学年苏科版数学八年级下册第九章
9.4矩形
菱形
正方形同步基础培优训练题
一、单选题
1．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（
）
①平行四边形；②菱形；③任意四边形；④对角线互相垂直的四边形
A．①③
B．②③
C．③④
D．②④
2．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE=CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE=DF；④∠BCE=∠CDF，只选其中一个添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，恰好使的D落在边BC上的点F处，如果∠BAF=60°，则∠DAE的大小为（
）
A．10°
B．15
°
C．20
°
D．25°
5．如图，菱形对角线，交于点，，过点作交的延长线于点．若菱形的面积为4，则菱形的边长为（
）
A．
B．2
C．
D．4
6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（　　）
A．
B．+1
C．
D．
7．如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形的位置，旋转角为，若则＝（
）
A．10°
B．20°
C．25°
D．30°
8．如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（
）
A．10
B．13
C．17
D．20
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OEBD交AD于点E，已知AB2，，则AE的长为（
）
A．1.5
B．2
C．2.5
D．
10．如图，矩形纸片，，，点在边上．将沿折叠，点落在点处．、分别交于点、，且．则的长为（
）
A．2
B．
C．
D．
11．如图，在矩形ABCD中，在CD上取点E，连接AE，在AE，AB上分别取点F，G，连接DF，GF，，将沿FD翻折，点A落在BC边的处，若，且，，的长是（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（
）
A．≤AM＜6
B．≤AM＜12
C．≤AM＜12
D．≤AM＜6
二、填空题
13．若菱形的一个内角为60°，周长为16，则其面积为_____．
14．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=45°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为____________．
15．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是_____．
16．边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．
17．如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AEBD于点E，若则______度．
18．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，BC＝6，DE平分∠ADC交BC于点E，G为AB上一动点，H、F是AD边上的两动点（点F在点H的右边），连接GH、EF，若∠AGH＝∠FED＝α，将△AGH沿GH翻折得到△A'GH，若GA'的延长线恰好经过点F，且GF的长度为5，连接CF、CA'，则△A'CF的面积S△A'CF＝_____．
三、解答题
19．如图，是矩形的一条对角线．
（1）作的垂直平分线，分别交，于点、．垂足为点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：．
20．如图，四边形是正方形，为上一点，连接，延长至点，使得，过点作，垂足为，求证：．
21．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．
22．如图，已知菱形的对角线，交于点，分别过点，作，的垂线，两垂线交于点．
（1）请判断四边形的形状并给出证明；
（2）若四边形的面积为12，点是四边形对角线的中点，且，请计算四边形的周长．
23．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG＝CG；
（2）将图①中BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
24．如图，在菱形中，分别过点作的垂线，过点作的垂线交于点．
（1）如图1，若，连接，求证：；
（2）如图2，若，点是延长线上的一点，点为延长线上的一点，且．连接，交的延长线于点，连接．试猜想线段的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，在上取一点，使得，已知为直线上一点，连接，连接，当最小时，直接写出的值．
参考答案
1．D
解：顺次连接一个四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形，
若四边形的对角线互相垂直，则所得平行四边形为矩形，则满足条件的是②④，
2．C
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB//CD，
∴∠B=∠DCF，
①添加BE=CF，
在△BCE和△CDF中
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
②添加CE⊥AB，DF⊥BC，
则∠CEB=∠F=90°，
在△BCE和△CDF中
，
∴△BCE≌△CDF（AAS），
③∵添加CE=DF，
不能确定△BCE≌△CDF；
④添加∠BCE=∠CDF，
在△BCE和△CDF中
，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
故选：C．
3．A
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，
∵对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，
∴BO＝DO，EF⊥BD，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴EO＝FO，
∵BO＝DO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∴BE＝DE，
∵AB＝5，AD＝12，∠A＝90°，
∴BD＝13，
设DE＝x，则AE＝12﹣x，
在Rt△AEB中，AB2+AE2＝BE2，
即52+（12﹣x）2＝x2，
∴x，
∴BE＝DE，
在Rt△BEO中，OE，
∴EF＝2EO，
∴菱形BEDF的面积，
4．B
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∵是由沿AE折叠而来，且F点恰好落在BC上，
∴，
∵，
∴．
5．A
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AD∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝2∠ACB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴CE＝DC＝AD，
∴菱形ABCD的面积＝AD?CE＝AD?AD＝AD2＝4，
∴AD＝（负值舍去），
即菱形的边长为，
6．D
由题知：△AEF是边长为2的等边三角形，
∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∴∠BAE+∠DAF＝30°，
又AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，
∴∠BHE＝30°，AH＝HE，∴HE＝2BE＝AH，BH＝BE，∴AB＝（2+）BE，
∵AE2＝BE2+AB2，
∴4＝BE2+（2+）2×BE2，
∴BE＝(﹣1）＝，
∴AB＝（2+）BE＝，
7．B
如图所示：
根据旋转的性质知：∠D′=∠D=90°，∠DAD′=α，
∵，
∴．
∴．
∵∠DAD′=α，
∴．
8．D
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，
∵∠B′EC=∠DEA，
在△AED和△CEB′中，
，
∴△AED≌△CEB′（AAS）；
∴EA=EC，
∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC
=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C
=AD+DC+AB′+B′C
=3+7+7+3
=20，
故选：D．
9．A
解：连接BE，如图所示：
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE=DE，S△BOE=S△DOE=，
∴S△BDE=2S△BOE=，
∴DE?AB=，
又∵AB=2，
∴DE=，
∴BE=，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE==1.5，
故选：A．
10．B
∵四边形ABCD是矩形
∴，，
根据折叠的性质，得：，，
在与中
∴
∴，
∴
设，则
∴
∴
在中，由勾股定理得：
解得：
即
故选：B
11．A
解：连接
由折叠得，∠
∵
∴∠
∵
∴∠
∵∠
∴∠
∴△是等腰直角三角形，
∴
∵∠
∴
∴
∴
∴
故选：A．
12．A
解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长AM经过点P，
∴EF＝AP，AM＝EF＝PA，
当PA⊥CB时，PA＝，
∴AM的最小值为，
∵PA＜AC，
∴PA＜12，
∴AM＜6，
∴≤AM＜6，
故选：A．
13．
解：如图，∵菱形的周长为16，
∴边长AB＝BC＝16÷4＝4，
∵一个内角∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
过点A作AE⊥BC于点E，
则，
根据勾股定理，，
所以，菱形的面积为4×2＝．
故答案为：．
14．2
解：连接BE，如图：
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴
∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=4，
由
∴
∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
15．8．
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，
∵AE=CF=2，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE=DF=BE=BF，
∵AC=BD=8，OE=OF==2，
由勾股定理得：，
∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8，
故答案为：8．
16．2a2
解：阴影部分的面积＝大正方形的面积+小正方形的面积﹣直角三角形的面积
＝（2a）2+a2﹣?2a?3a
＝4a2+a2﹣3a2
＝2a2．
故答案为：2a2．
17．120
解：∵四边形是矩形
∴
∵AEBD，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴
故答案为：120．
18．
解：在矩形ABCD中，ED平分∠ADC
∴∠EDC=45°
∵∠DCE=90°
∴∠DEC=45°
∴△ECD是等腰直角三角形
∴EC=DC
∵BC=2AB=2DC
∴E为BC中点
∴
∵△翻折到△
∴△
∴∠
∴
∵∠
∠
∴△
∴△△△全等，
∴∠
∴
∴
∴
∴∠
∴∠，
∴
∴
．
19．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）证明：连接BE，
四边形为矩形，
，
．
垂直平分线段，
，
．
在和中，，
，
，
又，
BD垂直平分EF，
．
20．
证明：四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
．
21．
（1）证明：∵ABCD是菱形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠B＝∠D，
∵AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AD﹣AF，
∴BE＝DF，
在△BCE与△DCF中，∵，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE＝CF；
（2）结论是：BC＝CE．
理由如下：
∵ABCD是菱形，∠B＝80°，
∴∠A＝100°，
∵AE＝AF，
∴
由（1）知CE＝CF，∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，
∴∠CEB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠B＝∠CEB，
∴BC＝CE．
22．
解：（1）四边形是矩形．
理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）由（1）知，四边形是矩形，
∴．
∵点是矩形对角线的中点，
∴，
∴．
∵四边形的面积为12，
∴．
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
即四边形的周长为14．
23．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴CG＝FD，
同理，在Rt△DEF中，
EG＝FD，
∴CG＝EG．
（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．
证法：如图，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，
在△DAG与△DCG中，
∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG＝CG；
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG＝NG；
∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，
∴四边形AENM是矩形，
在矩形AENM中，AM＝EN，
在△AMG与△ENG中，
∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG＝EG，
∴EG＝CG．
（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N，
∵G为FD中点，
∴FG=GD，
∵MF∥CD，
∴∠FMG=∠DCG，∠GDC=∠GFM，
∴△CDG≌△MFG，
∴CD＝FM，
∵NF∥BC，
∴∠NFH+∠NHF=∠EHB+∠EBH，
又∵∠NHF=∠EBH，
∴∠NFH=∠EBH，
∴∠EFM＝∠EBC，
又∵BE=EF，
则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC
∵∠FEC+∠BEC＝90°，
∴∠FEC+∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG＝CG，EG⊥CG．
24
（1）如图，延长BA交DE于点M．
∵四边形ABCD为菱形，，
∴，
∵，
∴．
∴，．
∵
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
（2）如图，连接BD，取BF上一点N，使BN=DH，连接AN，EC，作于点O．
在和中，
∴，
∴，
由题意可知，
∵,
∴，
∴，
∴为等边三角形．
∴，
∴，，即．
在和中，，
∴．
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（3）取P关于DE的对称点，连接交DE于点Q，此时BQ+PQ最小，即为，
∵，
∴，
，
又∵，2AP=HP
∴点Q为BA延长线上的点，
∴，
∴，
∴．
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