8.6 一元二次方程的应用课件（共25张PPT）
文档属性
| 名称 | 8.6 一元二次方程的应用课件（共25张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-07 15:08:02 | ||
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文档简介
第八章 一元二次方程
6 一元二次方程的应用
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤
列一元二次方程解应用题的一般步骤
审
读懂题目，弄清题意，明确已知量和未知量以及它们之间的数量关系
设
设出未知数
列
找出相等关系，列出方程
解
解方程，求出未知数的值
验
检验方程的解是否符合实际意义
答
写出答案
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤
列一元二次方程解应用题的一般步骤
审
设
列
解
验
答
例1 如图所示，幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度.
分析 设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，根据地面正中间铺设地毯的面积为18 m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之并检验即可得出结论.
分析 设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，根据地面正中间铺设地毯的面积为18 m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之并检验即可得出结论.
解析 设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，
依题意，得（8-2x）（5-2x）＝18，
整理，得2x2-13x＋11＝0，解得x1＝1.x2＝ .
∵5-2x＞0，∴x＜ ，∴x＝1.
答:四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m.
分析 设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，根据地面正中间铺设地毯的面积为18 m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之并检验即可得出结论.
解析 设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，
依题意，得（8-2x）（5-2x）＝18，
整理，得2x2-13x＋11＝0，解得x1＝1.x2＝ .
∵5-2x＞0，∴x＜ ，∴x＝1.
答:四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m.
点拨 本题应注意对方程的解进行检验.
知识点二 平均增长（降低）率问题
增长率
问题
降低率
问题
知识点二 平均增长（降低）率问题
增长率
问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a（1＋x），两次增长后的值为a（1＋x）2，……，依次类推，n次增长后的值为a（1＋x）n
降低率
问题
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为a（1-x），两次降低后的值为a（1-x）2，……，依次类推，n次降低后的值为a（1-x）n
例2 为深化国际疫情防控合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率.
例2 为深化国际疫情防控合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率.
分析 设该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为x，根据该企业2020年3月及5月的出口订单额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
例2 为深化国际疫情防控合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率.
解析 设该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为x，
依题意，得1000（1＋x）2＝1440，
解得x1＝0.2＝20％，x2＝-2.2（不符合题意，舍去）答:该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为20％.
解题归纳
对于一元二次方程的实际应用—平均增长（或降低）率问题，设基数为a，平均增长（或降低）率为x，增长（或降低）的次数为n，增长（或降低）后的量为b，则表达式为a（1＋x）n＝b（或a（1-x）n＝b）.
知识点三 销售问题
在解决与销售有关的问题时，常常涉及如下关系:
利润＝售价-进价；
；
售价＝进价×（1＋利润率）；
总利润＝总售价-总成本＝单个利润×总销售量.
例3 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过65元.（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
例3 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过65元.（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
分析（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是［100-2（x-50）］件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
解析 （1）(60-40)×[100-(60-50)×2]＝1600（元）.
答:每天的销售利润为1600元.
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是［100-2（x-50）］件，
依题意，得（x-40）［100-2（x-50）］＝1350，
整理，得x2-140x＋4675＝0，
解得x1＝55，x2＝85（不符合题意，舍去）
答:每件工艺品售价应为55元.
解析 （1）(60-40)×[100-(60-50)×2]＝1600（元）.
答:每天的销售利润为1600元.
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是［100-2（x-50）］件，
依题意，得（x-40）［100-2（x-50）］＝1350，
整理，得x2-140x＋4675＝0，
解得x1＝55，x2＝85（不符合题意，舍去）
答:每件工艺品售价应为55元.
解题总结 解答销售利润问题时，要注意:若单价降低，则销售量需加上每天增加的量；若单价提高，则销售量需要减去每天减少的量.
知识点四 与直角三角形有关的问题
解决与直角三角形有关的一元二次方程的问题时，通常利用三边满足勾股定理求解或利用直角三角形的面积等知识来解答.
例4 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当一点停止移动时，另一点也停止移动如果P，Q分别从A，B同时出发，那么（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）几秒后，PQ的长度为2 cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？并说明理由.
解析 设P，Q的移动时间为t秒，则O≤t≤ ，
（1）根据题意得 （5-t）·2t＝4，整理得t2-5t＋4＝0，解得t＝1或t＝4（舍去）.
答:1秒后，△PBQ的面积等于4cm2.
（2）因为PQ＝2 ，且PQ2＝BP2＋BQ2，
所以40＝（5-t）2＋（2t）2，
解得t＝-1（舍去）或t＝3.
答:3秒后，PQ的长度为2 cm.
（3）不能理由如下:令S△PQB＝7，即 BP·BQ＝7，
即 （5-t）·2t＝7，整理得t2-5t＋7＝0.
因为b2-4ac＝25-28＝-3＜0，所以原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2.
经典例题
题型 甬道问题
例 改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
解析 设小路的宽应为x m，
根据题意得（16-2x）（9-x）＝112，
解得x1＝1，x2＝16.
∵16＞9，∴x＝16（不符合题意，舍去），
∴x＝1.
答:小路的宽应为1m.
解析 设小路的宽应为x m，
根据题意得（16-2x）（9-x）＝112，
解得x1＝1，x2＝16.
∵16＞9，∴x＝16（不符合题意，舍去），
∴x＝1.
答:小路的宽应为1m.
解题总结
解决甬道问题，可以用平移的知识将分散的图形合并在一起，然后利用面积公式列出方程求解.
6 一元二次方程的应用
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤
列一元二次方程解应用题的一般步骤
审
读懂题目，弄清题意，明确已知量和未知量以及它们之间的数量关系
设
设出未知数
列
找出相等关系，列出方程
解
解方程，求出未知数的值
验
检验方程的解是否符合实际意义
答
写出答案
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤
列一元二次方程解应用题的一般步骤
审
设
列
解
验
答
例1 如图所示，幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度.
分析 设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，根据地面正中间铺设地毯的面积为18 m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之并检验即可得出结论.
分析 设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，根据地面正中间铺设地毯的面积为18 m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之并检验即可得出结论.
解析 设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，
依题意，得（8-2x）（5-2x）＝18，
整理，得2x2-13x＋11＝0，解得x1＝1.x2＝ .
∵5-2x＞0，∴x＜ ，∴x＝1.
答:四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m.
分析 设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，根据地面正中间铺设地毯的面积为18 m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之并检验即可得出结论.
解析 设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，
依题意，得（8-2x）（5-2x）＝18，
整理，得2x2-13x＋11＝0，解得x1＝1.x2＝ .
∵5-2x＞0，∴x＜ ，∴x＝1.
答:四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m.
点拨 本题应注意对方程的解进行检验.
知识点二 平均增长（降低）率问题
增长率
问题
降低率
问题
知识点二 平均增长（降低）率问题
增长率
问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a（1＋x），两次增长后的值为a（1＋x）2，……，依次类推，n次增长后的值为a（1＋x）n
降低率
问题
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为a（1-x），两次降低后的值为a（1-x）2，……，依次类推，n次降低后的值为a（1-x）n
例2 为深化国际疫情防控合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率.
例2 为深化国际疫情防控合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率.
分析 设该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为x，根据该企业2020年3月及5月的出口订单额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
例2 为深化国际疫情防控合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率.
解析 设该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为x，
依题意，得1000（1＋x）2＝1440，
解得x1＝0.2＝20％，x2＝-2.2（不符合题意，舍去）答:该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为20％.
解题归纳
对于一元二次方程的实际应用—平均增长（或降低）率问题，设基数为a，平均增长（或降低）率为x，增长（或降低）的次数为n，增长（或降低）后的量为b，则表达式为a（1＋x）n＝b（或a（1-x）n＝b）.
知识点三 销售问题
在解决与销售有关的问题时，常常涉及如下关系:
利润＝售价-进价；
；
售价＝进价×（1＋利润率）；
总利润＝总售价-总成本＝单个利润×总销售量.
例3 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过65元.（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
例3 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过65元.（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
分析（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是［100-2（x-50）］件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
解析 （1）(60-40)×[100-(60-50)×2]＝1600（元）.
答:每天的销售利润为1600元.
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是［100-2（x-50）］件，
依题意，得（x-40）［100-2（x-50）］＝1350，
整理，得x2-140x＋4675＝0，
解得x1＝55，x2＝85（不符合题意，舍去）
答:每件工艺品售价应为55元.
解析 （1）(60-40)×[100-(60-50)×2]＝1600（元）.
答:每天的销售利润为1600元.
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是［100-2（x-50）］件，
依题意，得（x-40）［100-2（x-50）］＝1350，
整理，得x2-140x＋4675＝0，
解得x1＝55，x2＝85（不符合题意，舍去）
答:每件工艺品售价应为55元.
解题总结 解答销售利润问题时，要注意:若单价降低，则销售量需加上每天增加的量；若单价提高，则销售量需要减去每天减少的量.
知识点四 与直角三角形有关的问题
解决与直角三角形有关的一元二次方程的问题时，通常利用三边满足勾股定理求解或利用直角三角形的面积等知识来解答.
例4 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当一点停止移动时，另一点也停止移动如果P，Q分别从A，B同时出发，那么（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）几秒后，PQ的长度为2 cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？并说明理由.
解析 设P，Q的移动时间为t秒，则O≤t≤ ，
（1）根据题意得 （5-t）·2t＝4，整理得t2-5t＋4＝0，解得t＝1或t＝4（舍去）.
答:1秒后，△PBQ的面积等于4cm2.
（2）因为PQ＝2 ，且PQ2＝BP2＋BQ2，
所以40＝（5-t）2＋（2t）2，
解得t＝-1（舍去）或t＝3.
答:3秒后，PQ的长度为2 cm.
（3）不能理由如下:令S△PQB＝7，即 BP·BQ＝7，
即 （5-t）·2t＝7，整理得t2-5t＋7＝0.
因为b2-4ac＝25-28＝-3＜0，所以原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2.
经典例题
题型 甬道问题
例 改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
解析 设小路的宽应为x m，
根据题意得（16-2x）（9-x）＝112，
解得x1＝1，x2＝16.
∵16＞9，∴x＝16（不符合题意，舍去），
∴x＝1.
答:小路的宽应为1m.
解析 设小路的宽应为x m，
根据题意得（16-2x）（9-x）＝112，
解得x1＝1，x2＝16.
∵16＞9，∴x＝16（不符合题意，舍去），
∴x＝1.
答:小路的宽应为1m.
解题总结
解决甬道问题，可以用平移的知识将分散的图形合并在一起，然后利用面积公式列出方程求解.