课时素养评价一 回
归
分
析
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.工人月绩效工资y(单位:元)关于劳动生产率x(单位:千元)的回归方程为y=650+80x,下列说法中正确的个数是
( )
①劳动生产率为1
000元时,绩效工资为730元;
②劳动生产率提高1
000元,则绩效工资提高80元;
③劳动生产率提高1
000元,则绩效工资提高730元;
④当月绩效工资为810元时,劳动生产率约为2
000元.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.代入方程计算可判断①②④正确.
【补偿训练】
若线性回归方程中的回归系数b=0,则相关系数为( )
A.r=1
B.r=-1
C.r=0
D.无法确定
【解析】选C.当b=0时,即=0
?xiyi-n
=0,
所以r==0.
2.某化工厂为预测某产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系,现取了8对观测值,计算得xi=52,yi=228,=478,xiyi=1
849,则y与x的线性回归方程是
( )
A.y=11.47+2.62x
B.y=-11.47+2.62x
C.y=2.62+11.47x
D.y=11.47-2.62x
【解析】选A.由题中数据得=6.5,=28.5,
所以b===≈2.62,
a=-b≈28.5-2.62×6.5=11.47,
所以y与x的线性回归方程是y=2.62x+11.47.
3.对两个变量x,y进行线性回归分析,计算得到相关系数r=-0.996
2,则下列说法中正确的是
( )
A.x与y正相关
B.x与y具有较强的线性相关关系
C.x与y几乎不具有线性相关关系
D.x与y的线性相关关系还需进一步确定
【解析】选B.x与y负相关,|r|非常接近1,所以相关性很强.
4.对于指数曲线y=aebx,令U=ln
y,c=ln
a,经过非线性回归分析后,可转化的形式为
( )
A.U=c+bx
B.U=b+cx
C.y=c+bx
D.y=b+cx
【解析】选A.由y=aebx得ln
y=ln(aebx),
所以ln
y=ln
a+ln
ebx,
所以ln
y=ln
a+bx,所以U=c+bx.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位:千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析,结果如下:
=,=71,=79,xiyi=1
481.
b=≈-1.818
2,
a=71-(-1.818
2)×≈77.36,
则销量每增加1
000箱,单位成本下降________元.?
【解析】由题意可得,y=-1.818
2x+77.36,销量每增加1千箱,则单位成本下降1.818
2元.
答案:1.818
2
6.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄y(单位:千元)的数据资料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,=720,家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a,若该居民区某家庭的月储蓄为2千元,预测该家庭的月收入为________千元.(附:线性回归方程y=bx+a中,b=,a=-b)?
【解析】由题意知,n=10,=xi=8,
=yi=2,
b===0.3,
a=-b=2-0.3×8=-0.4.
所以线性回归方程为y=0.3x-0.4,
当y=2时,x=8.
答案:8
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.测得某10对父子体重(单位:kg)如下:
父x
60
62
64
65
66
67
68
70
72
74
儿y
63.6
65.2
66
65.5
66.9
67.1
67.4
68.3
70.1
70
对变量y与x进行相关性检验.
【解析】=66.8,=67.01,
xiyi=44
842.4.
=44
794,=44
941.93.
r=
=
=≈0.980
4.
r的值接近于1,所以y与x之间具有较强的线性相关关系.
8.某商场经营一批进价是30元/台的小商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(x取整数)(元)与日销售量y(台)之间有如下关系:
x
35
40
45
50
y
56
41
28
11
(1)画出散点图,并判断y与x是否具有线性相关关系.
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字).
(3)设经营此商品的日销售利润为P元,根据(2)写出P关于x的函数关系式,并预测当销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润.
【解析】(1)散点图如图所示,从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近,因此两个变量具有线性相关关系.
(2)因为=×(35+40+45+50)=42.5,
=×(56+41+28+11)=34,xiyi=35×56+40×41+45×28+50×11=5
410,
=352+402+452+502=7
350,
所以b===≈-3.所以a=-b=34-(-3)×42.5=161.5.
所以y=161.5-3x.
(3)依题意有P=(161.5-3x)(x-30)
=-3x2+251.5x-4
845
=-3+-4
845.
所以当x=≈42时,P有最大值,约为426元.
故预测当销售单价为42元时,能获得最大日销售利润.
(15分钟·30分)
1.(5分)散点图在回归分析中的作用是
( )
A.查找个体个数
B.比较个体数据大小关系
C.探究个体分类
D.粗略判断变量是否相关
【解析】选D.散点图的作用是粗略判断两变量是否相关.
2.(5分)某同学根据一组x,y的样本数据,求出线性回归方程y=bx+a和相关系数r,下列说法正确的是
( )
A.y与x不是函数关系
B.y与x是函数关系
C.r只能大于0
D.|r|越接近1,两个变量相关关系越弱
【解析】选B.由两变量x,y具有线性相关关系,可知y与x是函数关系,故A错误;求出线性回归方程y=bx+a,其中y与x是函数关系,故B正确;相关系数可能大于0,也可能小于0,故C错误;|r|越接近1,两个变量相关关系越强,故D错误.
3.(5分)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
若x与y具有线性相关关系,则线性回归方程为__________.?
【解析】xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158,==9,==4,
=62+82+102+122=344,
b===0.7,
a=-b=4-0.7×9=-2.3,
故线性回归方程为y=0.7x-2.3.
答案:y=0.7x-2.3
4.(5分)某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温,其数据如表:
时间
二月上旬
二月中旬
二月下旬
三月上旬
旬平均气温x(℃)
3
8
12
17
旬销售量y(件)
55
m
33
24
由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b=-2,样本中心点为(10,38).
(1)表中数据m=________.?
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22
℃,据此估计,该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为________.?
【解析】(1)由=38,得m=40.
(2)由a=-b得a=58,
故y=-2x+58,当x=22时,y=14,
故三月中旬的销售量约为14件.
答案:(1)40 (2)14件
5.(10分)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示:
身高x(cm)
60
70
80
90
100
110
体重y(kg)
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x(cm)
120
130
140
150
160
170
体重y(kg)
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)试建立y与x之间的回归方程.
(2)如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高175
cm、体重82
kg的在校男生体重是否正常?
【解析】(1)根据题表中的数据画出散点图如图所示.
由图可看出,样本点分布在某条指数函数曲线y=c1的周围,于是令z=ln
y,得下表:
x
60
70
80
90
100
110
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
x
120
130
140
150
160
170
z
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
作出散点图如图所示:
由表中数据可得z与x之间的回归直线方程为
z=0.692
7+0.020x,则有y=e0.692
7+0.020x.
(2)当x=175时,预报平均体重为y=e0.6
927+0.020×175≈66.2,
因为66.2×1.2=79.44<82,所以这个男生偏胖.
1.“关注夕阳,爱老敬老”——某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.表中记录了第x年(2013是第一年)与捐赠的现金y(万元)的对应数据,由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程y=mx+0.35,则预测2019年捐赠的现金大约是
( )
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
A.5万元
B.5.2万元
C.5.25万元
D.5.5万元
【解析】选C.由已知得,==4.5,
==3.5,所以样本中心点的坐标为(4.5,3.5),代入y=mx+0.35,得3.5=4.5m+0.35,即m=0.7,所以y=0.7x+0.35,取x=7,得y=0.7×7+0.35=5.25.
预测2019年捐赠的现金大约是5.25万元.
2.已知某校5个学生的数学和物理成绩如表所示:
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学xi
80
75
70
65
60
物理yi
70
66
68
64
62
(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时,把这5名学生的物理成绩搞乱了,数学成绩没出现问题,问:恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少?
(2)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用x表示数学成绩,用y表示物理成绩,求y与x的回归方程.
(3)利用残差分析回归方程的拟合效果,若残差和在(-0.1,0.1)范围内,则称回归方程为“优拟方程”,问:该回归方程是否为“优拟方程”?
参考数据和公式:y=bx+a,其中b=,
a=-b;xiyi=23
190,=24
750,残差和公式:[yi-(a+bxi)].
【解析】(1)记事件A为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”,
则P(A)==.
(2)因为==70,
==66,
b==0.36,
a=66-0.36×70=40.8,
所以回归直线方程为
y=0.36x+40.8.
(3)x1=80,y1=69.6,
x2=75,y2=67.8.
x3=70,y3=66.
x4=65,y4=64.2.
x5=60,y5=62.4.
[yi-(a+bxi)]=(70-69.6)+(66-67.8)+(68-66)+(64-64.2)+(62-62.4)=0.4+
(-1.8)+2-0.2-0.4=0.
因为0∈(-0.1,0.1),
所以该方程为“优拟方程”.
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析
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.工人月绩效工资y(单位:元)关于劳动生产率x(单位:千元)的回归方程为y=650+80x,下列说法中正确的个数是
( )
①劳动生产率为1
000元时,绩效工资为730元;
②劳动生产率提高1
000元,则绩效工资提高80元;
③劳动生产率提高1
000元,则绩效工资提高730元;
④当月绩效工资为810元时,劳动生产率约为2
000元.
A.1
B.2
C.3
D.4
【补偿训练】
若线性回归方程中的回归系数b=0,则相关系数为( )
A.r=1
B.r=-1
C.r=0
D.无法确定
2.某化工厂为预测某产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系,现取了8对观测值,计算得xi=52,yi=228,=478,xiyi=1
849,则y与x的线性回归方程是
( )
A.y=11.47+2.62x
B.y=-11.47+2.62x
C.y=2.62+11.47x
D.y=11.47-2.62x
3.对两个变量x,y进行线性回归分析,计算得到相关系数r=-0.996
2,则下列说法中正确的是
( )
A.x与y正相关
B.x与y具有较强的线性相关关系
C.x与y几乎不具有线性相关关系
D.x与y的线性相关关系还需进一步确定
4.对于指数曲线y=aebx,令U=ln
y,c=ln
a,经过非线性回归分析后,可转化的形式为
( )
A.U=c+bx
B.U=b+cx
C.y=c+bx
D.y=b+cx
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位:千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析,结果如下:
=,=71,=79,xiyi=1
481.
b=≈-1.818
2,
a=71-(-1.818
2)×≈77.36,
则销量每增加1
000箱,单位成本下降________元.?
6.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄y(单位:千元)的数据资料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,=720,家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a,若该居民区某家庭的月储蓄为2千元,预测该家庭的月收入为________千元.(附:线性回归方程y=bx+a中,b=,a=-b)?
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.测得某10对父子体重(单位:kg)如下:
父x
60
62
64
65
66
67
68
70
72
74
儿y
63.6
65.2
66
65.5
66.9
67.1
67.4
68.3
70.1
70
对变量y与x进行相关性检验.
8.某商场经营一批进价是30元/台的小商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(x取整数)(元)与日销售量y(台)之间有如下关系:
x
35
40
45
50
y
56
41
28
11
(1)画出散点图,并判断y与x是否具有线性相关关系.
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字).
(3)设经营此商品的日销售利润为P元,根据(2)写出P关于x的函数关系式,并预测当销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润.
(15分钟·30分)
1.(5分)散点图在回归分析中的作用是
( )
A.查找个体个数
B.比较个体数据大小关系
C.探究个体分类
D.粗略判断变量是否相关
2.(5分)某同学根据一组x,y的样本数据,求出线性回归方程y=bx+a和相关系数r,下列说法正确的是
( )
A.y与x不是函数关系
B.y与x是函数关系
C.r只能大于0
D.|r|越接近1,两个变量相关关系越弱
3.(5分)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
若x与y具有线性相关关系,则线性回归方程为__________.?
4.(5分)某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温,其数据如表:
时间
二月上旬
二月中旬
二月下旬
三月上旬
旬平均气温x(℃)
3
8
12
17
旬销售量y(件)
55
m
33
24
由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b=-2,样本中心点为(10,38).
(1)表中数据m=________.?
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22
℃,据此估计,该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为________.?
5.(10分)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示:
身高x(cm)
60
70
80
90
100
110
体重y(kg)
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x(cm)
120
130
140
150
160
170
体重y(kg)
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)试建立y与x之间的回归方程.
(2)如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高175
cm、体重82
kg的在校男生体重是否正常?
1.“关注夕阳,爱老敬老”——某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.表中记录了第x年(2013是第一年)与捐赠的现金y(万元)的对应数据,由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程y=mx+0.35,则预测2019年捐赠的现金大约是
( )
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
A.5万元
B.5.2万元
C.5.25万元
D.5.5万元
2.已知某校5个学生的数学和物理成绩如表所示:
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学xi
80
75
70
65
60
物理yi
70
66
68
64
62
(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时,把这5名学生的物理成绩搞乱了,数学成绩没出现问题,问:恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少?
(2)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用x表示数学成绩,用y表示物理成绩,求y与x的回归方程.
(3)利用残差分析回归方程的拟合效果,若残差和在(-0.1,0.1)范围内,则称回归方程为“优拟方程”,问:该回归方程是否为“优拟方程”?
参考数据和公式:y=bx+a,其中b=,
a=-b;xiyi=23
190,=24
750,残差和公式:[yi-(a+bxi)].
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