2020-2021学年七年级数学苏科版下册-7.2探索平行线的性质提优训练（word版含答案)

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7.2
探索平行线的性质
提优训练
一、单选题
1．（2019·云南玉溪市·七年级期中）如图，若，，，则的度数为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·武汉市江夏区大方学校七年级月考）如图，ABCD为一长条形纸带，AB//CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠CFE=2∠CFD′，则∠AEF的度数是（　　　）
A．60°
B．70°
C．72°
D．75°
3．（2020·河北邯郸市·育华中学七年级月考）如图，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，EF是经过点O且平行于BC的直线，则∠BOC的度数为（　　）
A．125°
B．120°
C．115°
D．100°
4．（2020·河北邯郸市·育华中学七年级月考）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝120°，∠AOF的度数是（　　）
A．20°
B．30°
C．40°
D．60°
5．（2020·河北邯郸市·育华中学七年级月考）如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　）
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
6．（2021·西安市浐灞第一中学八年级期末）如图，，那么图中与∠AFE相等的角的个数是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
7．（2020·河北邯郸市·育华中学七年级月考）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　）
A．50°、130°
B．都是10°
C．50°、130°或10°、10°
D．以上都不对
8．（2020·石家庄市第二十七中学七年级期中）①如图1,AB∥CD,则∠A
+∠E
+∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E
=∠A
+∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A
+∠E－∠1=180°
；
④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C
+∠P.以上结论正确的个数是(
)
A．、1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．（2016·浙江杭州市·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·浙江七年级期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺
绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为（
）
A．45°，75°，120°，165°
B．45°，60°，105°，135°
C．15°，60°，105°，135°
D．30°，60°，90°，120°
二、填空题
11．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则______．
12．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，直线，直线与直线、相交，若，则的度数为______度．
13．（2021·全国九年级专题练习）设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于________．
14．（2018·四川省巴中中学七年级期中）将一副三角板按如图位置放置，有下列结论：①∠1=∠3；②若∠2=30°，则有AC//DE；③若∠2=30°，则有∠4=∠C；④若∠2=30°，则有AB⊥DE，其中正确的有_____________．（填序号）
15．（2021·浙江宁波市·七年级期末）一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为（）．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为______．
16．（2021·普定县第二中学七年级月考）如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4
=540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n
=__________
°．
17．（2020·山东潍坊市·七年级期中）如图，
已知，，，则_________
18．（2019·江苏南京市·七年级期中）一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点重合，若固定三角形，将三角形绕点顺时针旋转一周，共有
_________次
出现三角形的一边与三角形AOB的某一边平行．
19．（2019·内蒙古呼和浩特市·七年级期中）如果的两边分别平行于的两边，且比的2倍少，则________．
20．（2018·南京外国语学校七年级期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为，
第二次操作，分别作和的平分线，交点为，
第三次操作，分别作和的平分线，交点为，
…
第次操作，分别作和的平分线，交点为．
若度，那等于__________度．
三、解答题
21．（2021·福州三牧中学七年级期末）如图，已知四边形ABCD中，∠D=100°，AC
平分∠BCD．且∠ACB=40°．∠BAC=70°．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠DAC和∠B的度数．
22．（2021·广东深圳市·八年级期末）如图，在ABC的三边上有D，E，F三点，点G在线段DF上，∠1与∠2互补，∠3=∠C．
（1）若∠C=40°，求∠BFD的度数；
（2）判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
23．（2019·安阳市第十中学七年级期中）如图，，，．将求的过程填写完整．
解：∵，（已知）
∴________（
）
又∵（
）
∴（
）
∴________（
）
∴________（
）
又∵，（
）
∴________．
24．（2019·内蒙古呼伦贝尔市·七年级期末）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（　
　）
∴∠2＝∠　
　（　
　）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠　
（等量代换）
∴EF∥CD（　
）
∴∠AEF＝∠　
　（　
）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF＝90°（垂直定义）
∴∠ADC＝90°（等量代换）
∴CD⊥AB（　
）
25．（2018·四川省巴中中学七年级期中）如图，AB//CD，点M为两直线之间一点．
（1）如图1，若∠AEM与∠CFM的平分线交于点N，若∠EMF=88°，求∠ENF的度数．
（2）如图2，若∠AEM与∠CFM的平分线交于点N，∠EMF与∠ENF有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，若∠AEM的平分线与∠DFM的平分线所在的直线交于点N，请直接写出∠EMF与∠ENF之间的数量关系：
．
26．（2020·广东珠海市·七年级期末）已知，直线AB//CD，∠EFG＝90°．
（1）如图1，点F在AB上，FG与CD交于点N，若∠EFB＝65°，则∠FNC＝　
　°；
（2）如图2，点F在AB与CD之间，EF与AB交于点M，FG与CD交于点N．∠AMF的平分线MH与∠CNF的平分线NH交于点H．
①若∠EMB＝α，求∠FNC（用含α的式子表示）；
②求∠MHN的度数．
27．（2021·湖南长沙市·师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯
P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．
（1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；
（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ；
（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？
28．（2020·浙江七年级期末）（1）如图1，已知直线，且和，分别交于，两点，点在上，则，，之间的等量关系是______；如图2，点在处北偏东方向，在处的北偏西方向，则_____．
（2）如图3，和的平分线交于，交于点，，试在说明：；并探究与的数量关系．
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．B
5．D
6．B
7．C
8．C
9．C
10．A
11．85
12．135°
13．7或17
14．①②③④．
15．30°或45°或120°或135°或165°
16．
17．90°
18．
19．或
20．
21．（1）见解析；（2）∠DAC=40°，∠B=70°．
【详解】
解：（1）∵AC平分∠BCD，∠ACB=40°，
∴∠BCD=2∠ACB=80°，
∵∠D=100°，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，∠ACB=40°，
∴∠DAC=∠ACB=40°，
∵∠BAC=70°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=40°+70°=110°，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠DAB=180°-110°=70°．
22．（1）40°；（2）DE∥BC，见解析
【详解】
（1）∵∠1与∠2互补，
∴AC∥DF
∴∠BFD=∠C
（2）DE∥BC．理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴AC∥DF
∴∠BFD=∠C
∵∠C=∠3，
∵∠BFD=∠3
∴DE∥BC
23．∠3；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补；已知；110°．
【详解】
解：∵EF∥AD（已知）
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠3（等量代换）
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠DGA=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠BAC=70°（已知）
∴∠AGD=110°．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补；已知；110°．
24．同位角相等，两直线平行；ACD；两直线平行，内错角相等；ACD；同位角相等，两直线平行；ADC；两直线平行，同位角相等；垂直定义
【详解】
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠ACD　（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ACD（等量代换）
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF＝90°（垂直定义）
∴∠ADC＝90°（等量代换）
∴CD⊥AB（垂直定义）
25．（1）44°；（2）∠EMF+2∠ENF
=360°，见解析；（3）∠ENF+=90°．
【详解】
解：（1）如图1，过点M作MG//AB，过点N作NH//AB，
∵AB//CD，
∴MG//NH//AB//CD，
∴∠1=∠5+∠6，∠2=∠3+∠4，∠6=∠7，∠4=∠8，
∴∠5+∠6+∠3+∠4
=∠1+∠2=∠EMF=88°，
∵∠AEM与∠CFM的平分线交于点N，
∴∠5=∠6，∠3=∠4，
∴∠4+∠6=44°，
∴∠7+∠8=44°，
∴∠ENF=44°；
（2）如图2，过点M作MG//AB，过点N作NH∥AB，
∵AB//CD，
∴MG//NH//AB//CD，
∴∠1=∠7，∠2=∠8，∠3=∠6，∠4=∠5，
∴∠EMF=∠7+∠8，∠ENF=∠5+∠6，
∵∠AEM与∠CFM的平分线交于点N，
∴，，
∴∠ENF=∠5+∠6=，
∴∠AEM+∠CFM=2∠ENF，
∵∠7=180°-∠AEM，∠8=180°-∠CFM，
∴∠EMF=∠7+∠8=360°-(∠AEM+∠CFM)，
∴∠EMF=360°-2∠ENF，
∴∠EMF+2∠ENF
=360°；
（3）如图3，过点M作MG//AB，过点N作NH∥AB，
∵AB//CD，
∴MG//NH//AB//CD，
∴∠1=∠6，∠2=∠MFD，∠3+∠4=∠5，
∵∠AEM与∠DFM的平分线交于点N，
∴，，
∴，，
∵∠3+∠4=，
∴∠3+，
∴∠3-=90°-=90°-，
∴∠ENF+=90°．
故答案为：∠ENF+=90°．
26．（1）25；（2）①∠FNC＝90°﹣α；②45°．
【详解】
（1）∵∠EFG＝90°，∠EFB＝65°，
∴∠BFD＝90°﹣65°＝25°，
∵AB//CD，
∴∠FNC＝∠BFD＝25°，
故答案为：25；
（2）①如图，过F作FP//AB，连接EG，
∵AB//CD，
∴AB//CD//FP，
∴∠MFP＝∠EMB＝α，
又∵∠EFG＝90°，
∴∠PFN＝90°﹣α，
∵FP//CD，
∴∠FNC＝∠PFN＝90°﹣α；
②如图，过F作FQ//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//FQ，
∴∠MFQ＝∠AMF，∠QFN＝∠CNF，
∴∠AMF+∠CNF＝∠MFQ+∠QFN＝∠EFG＝90°，
过H作HR//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//HR，
∴∠AMH＝∠MHR，∠HNC＝∠NHR，
又∵MH平分∠AMF，NH平分∠CNF，
∴∠AMH＝∠AMF，∠HNC＝∠CNF，
∴∠MHN＝∠MHR+∠NHR＝∠AMH+∠HNC＝（∠AMF+∠CNF）＝×90°＝45°．
27．（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18秒、45秒；（2）
；（3）当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直．
【详解】
解：（1）∵灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，
∴P灯照射一次需要的时间是：（秒）
Q灯照射一次需要的时间是：（秒）；
（2）∵转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚，
∴,
，
如下图示，过点作，
则有
∴，
，
∴，
∴；
（3）①当两灯开启时间小于18秒时，
如图1所示，
过点作，
则有
∵，，
∴，
∵两灯的光束互相垂直，
∴依题意可得：
解之得：；
②当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，
返回时，第一次与相遇，则如图2所示，
过点作，
则有
∴，
，
∵两灯的光束互相垂直，
∴依题意可得：
解之得：；
③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，
返回时，第二次与相遇，则如图3所示，
过点作，
则有
∵，，
∴，
∵两灯的光束互相垂直，
∴依题意可得：
解之得：；
综上所述，当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直．
28．（1）∠1+∠2=∠3，85°；（2）证明见解析，∠2+∠3=90°
【详解】
解：（1）如图1中，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1=∠CPM，∠2=∠MPD，
∴∠1+∠2=∠CPM+∠MPD=∠CPD=∠3．
由题可知：∠BAC=∠B+∠C，
∵∠B=40°，∠C=45°，
∴∠BAC=40°+45°=85°．
故答案为：∠1+∠2=∠3，85°．
（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠FDE；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BED=∠DEF=90°；
∴∠3+∠FDE=90°；
∴∠2+∠3=90°．
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