第八章 一元二次方程专项训练 一元二次方程根与系数及根的判别式的应用（含答案）

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专项训练
一元二次方程根与系数及根的判别式的应用
一、选择题
1.一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A.m＞ B.m≤且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2
2.对于实数a，b，定义运算“＊”:a＊b＝a2-ab.例如:3＊2＝32-3×2＝3，则方程（x＋1）＊3＝-2的根的情况是（ ）
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
3.α，β是方程2x2-2x-3＝0的两根，则（α＋1）（β＋1）的值为（ ）
A.- B. C. D.
二、填空题
4.一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，则这个方程是________________.
5.若关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx＋k＝6有实数根，则k的最小整数值为_______.
6.设方程x2-mx-1＝0的两根分别为x1，x2，若|x1-x2|＝3，则m＝__________.
三、解答题
7.对于实数m，n，定义一种运算“※”:m※n＝mn＋n.
（1）求2※5与2※（-5）的值；
（2）如果关于x的方程x※（a※x）＝-有两个相等的实数根，求实数a的值.
8.已知关于x的一元二次方程x2-6x＋4m＋1＝0有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且|x1-x2|＝4，求m的值.
9.已知关于x的方程ax2＋2x-3＝0有实数根.
（1）求a的取值范围；
（2）若该方程有两个相等的实数根，求a的值及方程的根.
10.已知关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是方程的两根，且x12＋x22＋x1x2-17＝0，求m的值.
参考答案
一、选择题
1.B 2.D 3.B
二、填空题
4. 5. 3 6.
三、解答题
7.解析 （1）2※5＝2×5＋5＝15.
2※（-5） ＝2×（-5）＋（-5） ＝-15.
（2）x※（a※x） ＝x※［（a＋1）x］ ＝x（x＋1）（a＋1）＝-，
整理，得4（a＋1）x2＋4（a＋1）x＋1＝0.
∵关于x的方程x※（a※x）＝-有两个相等的实数根，
∴，解得a＝0.
8.解析（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x＋4m＋1＝0有实数根，
∴△＝（-6）2-4×1×（4m＋1）≥0，解得m≤2.
（2）∵方程x2-6x＋4m＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1，|x1-x2|＝4，∴（x1-x2）2＝（x1＋x2）2-4x1x2＝42，
∴36-4（4m＋1）＝16，解得m＝1.
9.解析（1）当a≠0时，原方程为一元二次方程，
∵原方程有实数根，∴△＝22-4·a·（-3）＝4＋12a≥0，
解得a≥-，此时a≥-，且a≠0.
当a＝0时，原方程变为2x-3＝0，是一元一次方程，有实数根.
综上，a的取值范围是a≥-.
（2）根据题意，得△＝22-4·a·（-3）＝0，解得a＝-.
原方程为-x2＋2x-3＝0，解得x1＝x2＝3.
10.解析（1）根据题意，得△＝（2m＋1）2-4（m2-1）＞0，
解得m＞-.故m的取值范围是m＞-.
（2）根据题意，得x1＋x2＝-（2m＋1），x1x2＝m2-1，
则x12＋x22＋x1x2-17＝（x1＋x2）2-x1x2-17＝［-（2m＋1）］2-（m2-1）-17＝0，
解得m1＝，m2＝-3，∵m＞-，∴m的值为.
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