第9章平面向量综合复习-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册同步教案（学生版+教师版）

编号：010 课题:§9 平面向量综合复习
目标要求
1、理解并掌握向量的线性运算．
2、理解并掌握平面向量的数量积．
3、理解并掌握平面向量的平行与垂直问题．
4、理解并掌握向量的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：平面向量的平行与垂直问题；
难点：向量的应用．
教学过程
基础知识点
1.向量的定义:_______________;_________________是相等的向量.
2.向量的几何运算与代数运算：_向量满足向量三角形法则及平行四边形法则；大小用模计算，方向用角计算._.
3.设＝,＝，且，则
（ ，） ， ________ ＝ _______ ＝ __________.
_____________ .
() _______________ ＝0 .
的夹角为锐角 ___________ 表示 .
4.关于线段的定比分点公式
_①； ②； ③._
5.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为、、,
则△ABC的重心的坐标是（，）.
6.对于任意向量、，有.它有明显的几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和是它的邻边平方和的2倍.
★7.点的平移公式 ：
曲线＝０按向量平移后的曲线方程为
8．平面向量基本定理：_若存在一组非零常数x、y使得_成立，则在同一平面内.
考点整合·素养提升
题组训练一 向量的线性运算
题1.已知A,B,C三点在同一条直线l上,O为直线l外一点,若, 其中p,q,r∈,则p+q+r=________.
题2.设坐标平面上有三点分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向量,
若向量，那么是否存在实数m,使A,B,C三点共线?

【方法技巧】向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则:向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线
性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要
注意向量的大小和方向两个方面.
(2)求解策略:①向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,
一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧.
②字符表示下的线性运算的常用技巧:
首尾相接用加法的三角形法则,如;共起点两个向量作差用减法的
几何意义,如.
题组训练二 平面向量的数量积
题3.已知向量满足,则 ( )
A.4 B.3 C.2 D.0
题4.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,.若,
则________.

题5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数t满足，求t的值.
【方法技巧】
向量数量积的求解策略
(1)利用数量积的定义、运算律求解.
在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,
即,上述两公式以及这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.
(2)借助零向量.
即借助围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量,再合理地进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积.
(3)借助平行向量与垂直向量.
即借助向量的拆分,将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积,借助,则等解决问题.
(4)建立坐标系,利用坐标运算求解数量积.
题组训练三 平面向量的平行与垂直问题
题6.已知单位向量的夹角为45°,与垂直,则k=________.
题7.设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).
(1)若,求D点的坐标;
(2)设向量,若与平行,求实数k的值.
题8.已知A(-1,-1),B(sin θ,cos θ),C(2,5)三点共线,且.求tan θ.
【方法技巧】
1.证明共线问题常用的方法
(1)向量共线?存在唯一实数λ,使.
(2)向量共线?.
(3)向量与共线?.
(4)向量与共线?存在不全为零的实数,使.
2.证明平面向量垂直问题的常用方法
,其中.
题组训练四 向量的模、夹角问题
题9.已知平面向量与的夹角为60°,,则________.
题10.已知向量,其中.
求:(1)和的值;
(2) 与夹角θ的余弦值.
【方法技巧】
1.解决向量模的问题常用的策略
(1)应用公式:(其中);
(2)应用三角形或平行四边形法则;
(3)应用向量不等式;
(4)研究模的平方.
2.求向量的夹角
设非零向量,两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦
.
题组训练五 向量的应用
题11.已知向量满足条件.
求证:△P1P2P3是正三角形.
题12.平面内三个力作用于同一点,且处于平衡状态,已知的大小分
别为1 N, N, 与的夹角是45°,求的大小及与的夹角.
【方法技巧】
用向量法解决几何问题的步骤:
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系;
③把运算结果“翻译”成几何关系.
编号：010 课题:§9 平面向量综合复习
目标要求
1、理解并掌握向量的线性运算．
2、理解并掌握平面向量的数量积．
3、理解并掌握平面向量的平行与垂直问题．
4、理解并掌握向量的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：平面向量的平行与垂直问题；
难点：向量的应用．
教学过程
基础知识点
1.向量的定义:_大小相等_;_方向相同的向量_是相等的向量.
2.向量的几何运算与代数运算：_向量满足向量三角形法则及平行四边形法则；大小用模计算，方向用角计算._.
3.设＝,＝，且，则
（ ，） ， ＝ ＝
.
() ＝0 .
的夹角为锐角 表示 .
4.关于线段的定比分点公式
_①； ②； ③._
5.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为、、,
则△ABC的重心的坐标是（，）.
6.对于任意向量、，有.它有明显的几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和是它的邻边平方和的2倍.
★7.点的平移公式 ：
曲线＝０按向量平移后的曲线方程为
8．平面向量基本定理：_若存在一组非零常数x、y使得_成立，则在同一平面内.
考点整合·素养提升
题组训练一 向量的线性运算
题1.已知A,B,C三点在同一条直线l上,O为直线l外一点,若, 其中p,q,r∈,则p+q+r=________.
【解析】因为A,B,C三点在同一条直线l上,所以存在实数λ使,
所以. 因为,所以p=λ-1,q=1,r=-λ,p+q+r=0.
答案:0
题2.设坐标平面上有三点分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向量,
若向量，那么是否存在实数m,使A,B,C三点共线?
【解析】方法一:假设满足条件的m存在,由A,B,C三点共线,即,
所以存在实数λ,使,
所以解得m=-2,所以当m=-2时,A,B,C三点共线.
方法二:假设满足条件的m存在,由已知,
所以.
由A,B,C三点共线得,故1×m-1×(-2)=0,解得m=-2,
所以当m=-2时,A,B,C三点共线.
【方法技巧】向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则:向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线
性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要
注意向量的大小和方向两个方面.
(2)求解策略:①向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,
一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧.
②字符表示下的线性运算的常用技巧:
首尾相接用加法的三角形法则,如;共起点两个向量作差用减法的
几何意义,如.
题组训练二 平面向量的数量积
题3.已知向量满足,则 ( )
A.4 B.3 C.2 D.0
【解析】选B.因为,所以.
题4.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,.若,
则________.

【解析】

答案:
题5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数t满足，求t的值.
【解析】(1)由已知得,,
所以.
所以.
故所求的两条对角线的长分别为.
(2)由已知,由,得
(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,即(-2)·(3+2t)+(-1)·(5+t)=0.
从而5t=-11,所以.
【方法技巧】
向量数量积的求解策略
(1)利用数量积的定义、运算律求解.
在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,
即,上述两公式以及这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.
(2)借助零向量.
即借助围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量,再合理地进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积.
(3)借助平行向量与垂直向量.
即借助向量的拆分,将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积,借助,则等解决问题.
(4)建立坐标系,利用坐标运算求解数量积.
题组训练三 平面向量的平行与垂直问题
题6.已知单位向量的夹角为45°,与垂直,则k=________.
【解析】由题意可得:,由向量垂直的充要条件可得，即:,解得.
答案:
题7.设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).
(1)若,求D点的坐标;
(2)设向量,若与平行,求实数k的值.
【解析】(1)设D(x,y).因为,所以(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1),
化为(1,-5)=(x-4,y-1),所以，解得所以D(5,-4).
(2)因为,
所以.
因为与平行,
所以7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得.
题8.已知A(-1,-1),B(sin θ,cos θ),C(2,5)三点共线,且.求tan θ.
【解析】由已知得,(sin θ+1,cos θ+1),(3,6).又因为A,B,C三点共线,
所以与共线,3(cos θ+1)-6(sin θ+1)=0,即cos θ-2sin θ=1,
两边平方得cos2θ-4sin θcos θ+4sin2θ=sin2θ+cos2θ,
即3sin2θ=4sin θcos θ.因为,所以cos θ≠0,sin θ≠0,所以.
【方法技巧】
1.证明共线问题常用的方法
(1)向量共线?存在唯一实数λ,使.
(2)向量共线?.
(3)向量与共线?.
(4)向量与共线?存在不全为零的实数,使.
2.证明平面向量垂直问题的常用方法
,其中.
题组训练四 向量的模、夹角问题
题9.已知平面向量与的夹角为60°,,则________.
【解析】由已知得,.
所以.
答案:
题10.已知向量,其中.
求:(1)和的值;
(2) 与夹角θ的余弦值.
【解析】由已知得,.
(1).
(2).
【方法技巧】
1.解决向量模的问题常用的策略
(1)应用公式:(其中);
(2)应用三角形或平行四边形法则;
(3)应用向量不等式;
(4)研究模的平方.
2.求向量的夹角
设非零向量,两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦
.
题组训练五 向量的应用
题11.已知向量满足条件.
求证:△P1P2P3是正三角形.
【解析】

所以∠P1OP2=120°,
所以
同理得
故△P1P2P3是正三角形.
题12.平面内三个力作用于同一点,且处于平衡状态,已知的大小分
别为1 N, N, 与的夹角是45°,求的大小及与的夹角.
【解析】如图所示,按向量加法的平行四边形法则作的合力,
则.因为与的夹角是45°,
所以
,
所以,即的大小为N.

设与的夹角为θ,.
又因为，
所以,即.
又因为0°≤θ≤180°所以θ=30°, 与的夹角为150°,故的大小为N,
与的夹角为150°.
【方法技巧】
用向量法解决几何问题的步骤:
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系;
③把运算结果“翻译”成几何关系.