9.2.3 向量的数量积-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册同步教案（学生版+教师版）

编号：004 课题:§9.2.3 向量的数量积
目标要求
1、理解并掌握向量数量积的性质和运算律．
2、理解并掌握向量数量积和投影向量．
3、会求向量的模．
4、会解决向量夹角与垂直问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量的模；
难点：向量夹角与垂直问题．
教学过程
基础知识点
1.向量的数量积
(1)定义:
条件 两个____________向量与,它们的夹角是θ
结论 把数量_____________叫作向量和的数量积(或内积)
记法 记作,即_____________
规定 零向量与任一向量的数量积为_____________
(2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.
(3)应用:①求向量的夹角;②研究向量的垂直问题;③求向量的模.
2.投影与投影向量
(1)变换:
变换 图示
设是两个非零向量, 过的起点A和终点B,分别作所
在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
(2)结论:称上述变换为向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量.
(3)计算:设与方向相同的单位向量为与的夹角为θ,则向量在向量上的
投影向量为__________.
3.向量数量积的性质
(1)条件:设是非零向量,它们的夹角是θ, 是与方向相同的单位向量.
(2)性质:①.
②.
③当与同向时, ;
当与反向时, .
特别地, 或.
④.
4.向量数量积的运算律
(1) .
(2) .
(3) .
【思考】
(1)对于向量,等式一定成立吗?
(2)若,则一定成立吗?
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 向量的数量积也可记作或.
B. 对于向量,若,则或.
C. 若,则和的夹角为锐角.
D. 向量在上的投影向量是一个模等于(θ是与的夹角),且与共线的一个向量.
题2.若向量满足,与的夹角为30°,则等于 ( )
A. B. C. D.
题3.已知为一单位向量, 与之间的夹角是120°,而在方向上的投影向量的模为2,则________.
关键能力·合作学习
类型一 向量数量积和投影向量(数学运算)
【题组训练】
题4.在△ABC中,∠A=60°, ，则的值为 ( )
A.-1 B. C. D.1
题5.已知等边△ABC的边长为2,则向量在向量方向上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
题6.已知向量与的夹角θ为120°,且,求:(1) ;(2) .
【解题策略】
1.向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
2.求投影向量的方法
(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量.
(2)首先根据题意确定向量的模,与同向的单位向量,及两向量与的夹角θ,然后依据公式计算.
【补偿训练】
题7.若,与的夹角θ=120°,则 ( )
A.1 B.-1 C.7 D.-7
题8.已知,且与的夹角θ为45°,则向量在向量上的投影为
________.
类型二 向量的模(数学运算)
【典例】题9.如图,在△ABC中, ,E是AD的中点,设.
(1)试用表示;
(2)若,且与的夹角为60°,求.
【解题策略】
1.求向量的模的依据和基本策略
(1)依据: 或,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
(2)基本策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方.
2.拓展公式
(1) .
(2) .
【跟踪训练】
题10.已知向量满足,则________.
题11.已知,向量与的夹角θ为,求.
【拓展延伸】
关于向量模的最值问题
解答此类问题通常分以下两步
(1)依据数量积及其运算性质,建立所求量关于某个变量的函数;
(2)利用有关函数的图象和性质求最值.
【拓展训练】
题12.已知与的夹角为60°, ，
若,则的最小值为________.
类型三 向量夹角与垂直问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 两向量夹角问题
【典例】题13.已知.
(1)求的值;
(2)求向量与夹角的余弦值.
【变式探究】
题14.已知“,且与的夹角为45°”,试求与的夹角
的余弦值.
角度2 两向量垂直问题
【典例】题15.已知向量的夹角为.
(1)求的值;
(2)若和垂直,求实数t的值.
【解题策略】
求向量夹角的基本步骤

2.向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是,利用数量积的运算代入,结合与向量的模、夹角相关的知识解题.
【题组训练】
题16.已知是单位向量,若,则与的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
题17.已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,则a与b的夹角θ的余弦值为( )
A. B. C. D.
题18.已知,且与λa-b垂直,则λ等于 ( )
A. B. C. D.1
【补偿训练】
题19.已知向量不共线,且,求证:.
课堂检测·素养达标
题20.已知向量和满足,和的夹角为135°,则为 ( )
A.12 B.3 C.6 D.3
题21.已知正方形ABCD的边长为2,则 ( )
A. B.3 C.4 D.
题22.已知向量满足,则________.
题23.已知向量满足,且,则与的夹角为____.
题24.已知,为单位向量,当向量的夹角θ分别等于60°,90°,120°时,求向量在向量上的投影向量.
编号：004 课题:§9.2.3 向量的数量积
目标要求
1、理解并掌握向量数量积的性质和运算律．
2、理解并掌握向量数量积和投影向量．
3、会求向量的模．
4、会解决向量夹角与垂直问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量的模；
难点：向量夹角与垂直问题．
教学过程
基础知识点
1.向量的数量积
(1)定义:
条件 两个__非零___向量与,它们的夹角是θ
结论 把数量_____________叫作向量和的数量积(或内积)
记法 记作,即_____________
规定 零向量与任一向量的数量积为__
(2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.
(3)应用:①求向量的夹角;②研究向量的垂直问题;③求向量的模.
2.投影与投影向量
(1)变换:
变换 图示
设是两个非零向量, 过的起点A和终点B,分别作所
在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
(2)结论:称上述变换为向向向量投影,__ ___叫作向量在向量上的投影向
量.
(3)计算:设与方向相同的单位向量为与的夹角为θ,则向量在向量上的
投影向量为__________.
3.向量数量积的性质
(1)条件:设是非零向量,它们的夹角是θ, 是与方向相同的单位向量.
(2)性质:①.
②.
③当与同向时, ;
当与反向时, .
特别地, 或.
④.
4.向量数量积的运算律
(1) .
(2) .
(3) .
【思考】
(1)对于向量,等式一定成立吗?
提示:不一定成立,因为若,其方向与相同或相反,而时其方向与相同或相反,而与方向不一定相同,故该等式不一定成立.
(2)若,则一定成立吗?
提示:不一定成立.在向量数量积的运算中,若,则,于是有或.因此,由不一定能得到.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 向量的数量积也可记作或.
B. 对于向量,若,则或.
C. 若,则和的夹角为锐角.
D. 向量在上的投影向量是一个模等于(θ是与的夹角),且与共线的一个向量.
【答案】选ABC
提示:A×.向量的数量积记作.
B×. ,还可能有.
C×.当向量与同向时, ,但是此时和的夹角为0°,不是锐角.
D√.由投影向量的概念可知此说法正确.
题2.若向量满足,与的夹角为30°,则等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.当与的夹角为30°时, .
题3.已知为一单位向量, 与之间的夹角是120°,而在方向上的投影向量的模为2,则________.
【解析】因为,所以,所以.
答案:4
关键能力·合作学习
类型一 向量数量积和投影向量(数学运算)
【题组训练】
题4.在△ABC中,∠A=60°, ，则的值为 ( )
A.-1 B. C. D.1
【解析】选A.因为在△ABC中,∠A=60°,所以与的夹角为120°,由数量积的定义可得.
题5.已知等边△ABC的边长为2,则向量在向量方向上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.在等边△ABC中,因为∠A=60°,所以向量在向量方向上的投影向量为,所以向量在向量方向上的投影向量为.
题6.已知向量与的夹角θ为120°,且,求:(1) ;(2) .
【解析】(1)由已知得.
(2) .
【解题策略】
1.向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
2.求投影向量的方法
(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量.
(2)首先根据题意确定向量的模,与同向的单位向量,及两向量与的夹角θ,然后依据公式计算.
【补偿训练】
题7.若,与的夹角θ=120°,则 ( )
A.1 B.-1 C.7 D.-7
【解析】选C. .
题8.已知,且与的夹角θ为45°,则向量在向量上的投影为
________.
【解析】由已知得向量在向量上的投影.
答案:
类型二 向量的模(数学运算)
【典例】题9.如图,在△ABC中, ,E是AD的中点,设.
(1)试用表示;
(2)若,且与的夹角为60°,求.

【解题策略】
1.求向量的模的依据和基本策略
(1)依据: 或,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
(2)基本策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方.
2.拓展公式
(1) .
(2) .
【跟踪训练】
题10.已知向量满足,则________.
【解析】由已知有将代入方程组,解得.
答案:
题11.已知,向量与的夹角θ为,求.
【解析】因为,夹角,
所以,
，所以.
【拓展延伸】
关于向量模的最值问题
解答此类问题通常分以下两步
(1)依据数量积及其运算性质,建立所求量关于某个变量的函数;
(2)利用有关函数的图象和性质求最值.
【拓展训练】
题12.已知与的夹角为60°, ，
若,则的最小值为________.
【解析】，由，得，所以，
最小值为12,所以的最小值为.
答案:
类型三 向量夹角与垂直问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 两向量夹角问题
【典例】题13.已知.
(1)求的值;
(2)求向量与夹角的余弦值.
【思路导引】(1)利用和数量积的运算律求值;
(2)根据数量积定义可得两个向量夹角余弦值的计算方法.
【解析】(1) .
因为,所以,所以.
(2)因为,
,
所以.令与的夹角为θ,则
即向量与夹角的余弦值是.
【变式探究】
题14.已知“,且与的夹角为45°”,试求与的夹角
的余弦值.
【解析】设与的夹角为θ,因为,且与的夹角为45°,
所以,
所以,
,且，
角度2 两向量垂直问题
【典例】题15.已知向量的夹角为.
(1)求的值;
(2)若和垂直,求实数t的值.
【思路导引】(1)依据数量积的定义求值;
(2)依据，求t.
【解析】(1);
(2)因为和垂直,所以,
即,所以2t-(2-t)-4=0,所以t=2.
【解题策略】
求向量夹角的基本步骤

2.向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是,利用数量积的运算代入,结合与向量的模、夹角相关的知识解题.
【题组训练】
题16.已知是单位向量,若,则与的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【解析】选B.因为,所以,即.又因为,所以.设与的夹角为θ,.
又因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
题17.已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,则a与b的夹角θ的余弦值为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.

题18.已知,且与λa-b垂直,则λ等于 ( )
A. B. C. D.1
【解析】选A.因为.
所以.
【补偿训练】
题19.已知向量不共线,且,求证:.
【证明】因为,所以,
即,所以.
所以.
又与不共线,,所以.
课堂检测·素养达标
题20.已知向量和满足,和的夹角为135°,则为 ( )
A.12 B.3 C.6 D.3
【解析】选C.因为,所以.
题21.已知正方形ABCD的边长为2,则 ( )
A. B.3 C.4 D.
【解析】选C.因为四边形ABCD 为正方形,
所以.
题22.已知向量满足,则________.
【解析】因为,所以,所以,
所以.
答案:
题23.已知向量满足,且,则与的夹角为____.
【解析】设与的夹角为θ,依题意有，所以
因为0≤θ≤π,故.
答案:
题24.已知,为单位向量,当向量的夹角θ分别等于60°,90°,120°时,求向量在向量上的投影向量.
【解析】当θ=60°时,向量在向量上的投影向量为.
当θ=90°时,向量在向量上的投影向量为.
当θ=120°时,向量在向量上的投影向量为.