9.3.1平面向量基本定理-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册同步教案（学生版+教师版）

编号：005 课题:§9.3.1 平面向量基本定理
目标要求
1、理解并掌握平面向量基本定理和正交分解的概念．
2、平面向量基本定理的理解．
3、会用基底表示向量．
4、平面向量基本定理的综合应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：用基底表示向量；
难点：平面向量基本定理的综合应用．
教学过程
基础知识点
1.平面向量基本定理
(1)定理:
条件 是同一平面内两个________的向量, 是这一平面内的_______向量
结论 有且只有一对实数,使
有关 概念 若________,我们把叫作表示这一平面内所有向量的一组_______
(2)本质:向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的.
(3)应用:①用基底表示同一平面内的任一向量;②根据“唯一性”列方程(组)求未知数;③为引入向量的坐标表示奠定基础.
2.正交分解
对于分解,当所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量的正交分解.
【思考】
如果是共线向量,那么向量能否用表示?为什么?
(2)平面向量的基底是唯一的吗?

【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 基底中的向量可以为零向量.
B. 若是同一平面内两个不共线向量,则(为实数)可以表示该平面内所有向量.
C. 在梯形ABCD中,AD∥BC,则向量与可以构成一组基底.
D. 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.
题2.如图, 不共线,且，则________(用表示).

题3.已知向量不共线,实数x,y满足,则x=________,
y=________.
关键能力·合作学习
类型一 平面向量基本定理的理解(数学运算、逻辑推理)
【题组训练】
题4.设是平面内的一组基底,则下面的四组向量不能作为基底的是 ( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
题5.如果是某平面内一组基底,那么下列说法中不正确的是 ( )
①对于此平面内任一向量,使的实数对(λ,μ)有无穷多个;
②若实数λ,μ使得,则λ=μ=0;
③若向量与共线,则有且只有一个实数λ,使得;
④若,且,则.
A.①② B.①③ C.③④ D.②
题6.如图所示,平面内的两条直线和将平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不
包括边界),若，且点P落在第Ⅰ部分,则实数a,b满足 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0

【解题策略】
1.对基底的理解
两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.
2.对平面向量基本定理的理解
(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即,且.
(2)对于固定基底而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的.
【补偿训练】
题7.给出下列三种说法:
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
②一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
③零向量不可作为基底中的向量.
其中,说法正确的为 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
类型二 用基底表示向量(数学运算)
角度1 线性运算法
【典例】题8.如图,在△ABC中, ，若，
则 ( )
A.-3 B.3 C.2 D.-2
【变式探究】
题9. 如图,在△ABC中, ，若,求的值.

角度2 待定系数法
【典例】题10.已知是平面内两个不共线的向量, ,试用向量和表示.
【解题策略】
用基底表示向量的两种方法
(1)线性运算法
运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止.解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,找到已知向量和未知向量的关系.
(2) 待定系数法
首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式,然后通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求待定系数.
【题组训练】
题11.如图,在等腰梯形ABCD中,DC=AB,BC=CD=DA,DE⊥AC于点E,则 ( )

A. B. C. D.
题12.设是不共线的非零向量,且.
(1)证明: 可以作为一组基底;
(2)以为基底表示向量.
【拓展延伸】
方程组法表示向量
类比解方程组的方法,将所要表示的向量看成未知数,根据题目条件列出所要表示的向量的方程(组),解方程或方程组即得.
【拓展训练】
题13.如图所示,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知，试用表示.

【补偿训练】题14.如图,在△AOB中, ,设,而OM与BN相交于点P,试用表示向量.

类型三 平面向量基本定理的综合应用(数学运算)
【典例】题15.在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是线段CD上一点,满足,如图所示,设.

(1)用表示;
(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE?若存在,确定F点的位置,并求;
若不存在,请说明理由.



【解题策略】
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底.
(2)将相关的向量用基底中的向量表示,将几何问题转化为向量问题.
(3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解.
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
【跟踪训练】
题16.在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是________.


课堂检测·素养达标
题17.点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为基底的一组向量是 ( )

A. B. C. D.
题18.如图,在矩形ABCD中,若,则 ( )
A. B. C. D.

题19.如图,在正方形ABCD中,设，则以为基底时, 可表示为________,以为基底时,可表示为________.
题20.已知向量不共线,实数x,y满足,则x-y=
________.
题21.在平行四边形ABCD中, ,

(1)如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用分别表示.
(2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用表示.
编号：005 课题:§9.3.1 平面向量基本定理
目标要求
1、理解并掌握平面向量基本定理和正交分解的概念．
2、平面向量基本定理的理解．
3、会用基底表示向量．
4、平面向量基本定理的综合应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：用基底表示向量；
难点：平面向量基本定理的综合应用．
教学过程
基础知识点
1.平面向量基本定理
(1)定理:
条件 是同一平面内两个__不共线___的向量, 是这一平面内的__任一__向量
结论 有且只有一对实数,使__________
有关 概念 若__不共线___,我们把叫作表示这一平面内所有向量的一组_基底_
(2)本质:向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的.
(3)应用:①用基底表示同一平面内的任一向量;②根据“唯一性”列方程(组)求未知数;③为引入向量的坐标表示奠定基础.
2.正交分解
对于分解,当所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量的正交分解.
【思考】
(1)如果是共线向量,那么向量能否用表示?为什么?
提示:不一定,当与共线时可以表示,否则不能表示.
(2)平面向量的基底是唯一的吗?
提示:不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.

【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 基底中的向量可以为零向量.
B. 若是同一平面内两个不共线向量,则(为实数)可以表示该平面内所有向量.
C. 在梯形ABCD中,AD∥BC,则向量与可以构成一组基底.
D. 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.
【答案】选BC
提示:A×. 与任意向量是共线的,所以基底中的向量不能为零向量.
B√.根据平面向量基本定理知,平面内任一向量都可以由向量线性表示.
C√.易知与不共线,所以与可以构成一组基底.
D×.一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.
题2.如图, 不共线,且，则________(用表示).

【解析】由已知，得，整理,得
答案:
题3.已知向量不共线,实数x,y满足,则x=________,
y=________.
【解析】因为向量不共线,所以根据平面向量基本定理可由,得x-2=5,且y-1=2,解得x=7,且y=3.
答案:7 3
关键能力·合作学习
类型一 平面向量基本定理的理解(数学运算、逻辑推理)
【题组训练】
题4.设是平面内的一组基底,则下面的四组向量不能作为基底的是 ( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【解析】选D.因为是平面内的一组基底,所以不共线,而,则根据向量共线定理可得, ,根据基底的条件,选项D不能作为基底.
题5.如果是某平面内一组基底,那么下列说法中不正确的是 ( )
①对于此平面内任一向量,使的实数对(λ,μ)有无穷多个;
②若实数λ,μ使得,则λ=μ=0;
③若向量与共线,则有且只有一个实数λ,使得;
④若,且,则.
A.①② B.①③ C.③④ D.②
【解析】选B.①错误,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么平面
内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.
②正确,由及λ,μ的唯一性可知λ=μ=0;
③错误,当两向量均为零向量,即时,这样的λ有无数个.
④正确,因为,所以存在实数μ,使得,所以,又
不共线,所以.
题6.如图所示,平面内的两条直线和将平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不
包括边界),若，且点P落在第Ⅰ部分,则实数a,b满足 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0

【解析】选C.当点P落在第Ⅰ部分时, 按向量与分解时,一个与反向,
一个与同向,故a<0,b>0.
【解题策略】
1.对基底的理解
两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.
2.对平面向量基本定理的理解
(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即,且.
(2)对于固定基底而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的.
【补偿训练】
题7.给出下列三种说法:
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
②一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
③零向量不可作为基底中的向量.
其中,说法正确的为 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【解析】选B.根据基底的概念,可知②③正确.
类型二 用基底表示向量(数学运算)
角度1 线性运算法
【典例】题8.如图,在△ABC中, ，若，
则 ( )
A.-3 B.3 C.2 D.-2
【思路导引】由设计解题思路.

【解析】选B.因为.
又因为，所以
所以
又，且与不共线,
所以，则.
【变式探究】
题9. 如图,在△ABC中, ，若,求的值.

【解析】由，得，
所以，所以.
又因为，所以.
又，且与不共线，
所以.则.
角度2 待定系数法
【典例】题10.已知是平面内两个不共线的向量, ,试用向量和表示.
【思路导引】设,根据\不共线,列方程组求x,y.
【解析】因为不共线,所以可设,
则.
又因为不共线,所以解得x=1,y=-2,所以.
【解题策略】
用基底表示向量的两种方法
(1)线性运算法
运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止.解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,找到已知向量和未知向量的关系.
(2) 待定系数法
首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式,然后通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求待定系数.
【题组训练】
题11.如图,在等腰梯形ABCD中,DC=AB,BC=CD=DA,DE⊥AC于点E,则 ( )

A. B. C. D.
【解析】选A.因为CD=DA,DE⊥AC,所以E是AC 的中点,所以，
又因为DC∥AB,DC=AB,所以，
所以.
题12.设是不共线的非零向量,且.
(1)证明: 可以作为一组基底;
(2)以为基底表示向量.
【解析】(1)假设,则.
由不共线,得所以λ不存在.
故与不共线,可以作为一组基底.
(2)设,
则,
所以解得
所以.
【拓展延伸】
方程组法表示向量
类比解方程组的方法,将所要表示的向量看成未知数,根据题目条件列出所要表示的向量的方程(组),解方程或方程组即得.
【拓展训练】
题13.如图所示,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知，试用表示.

【解析】设，
则

由①②得解得
即.
【补偿训练】题14.如图,在△AOB中, ,设,而OM与BN相交于点P,试用表示向量.

【解析】.
因为与共线,令,则.
又设.
所以所以 所以.
类型三 平面向量基本定理的综合应用(数学运算)
【典例】题15.在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是线段CD上一点,满足,如图所示,设.

(1)用表示;
(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE?若存在,确定F点的位置,并求;
若不存在,请说明理由.





【解题策略】
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底.
(2)将相关的向量用基底中的向量表示,将几何问题转化为向量问题.
(3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解.
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
【跟踪训练】
题16.在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是________.

【解析】作AE⊥BC,交BC于点E.
设,因为C,D,B三点共线,所以,
解得,所以AD=3=AC,所以CD=2·AC·cos C=.
答案:

课堂检测·素养达标
题17.点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为基底的一组向量是 ( )

A. B. C. D.
【解析】选B.由题图可知,与,与,与共线,不能作为基底, 与不共线,可作为基底.
题18.如图,在矩形ABCD中,若,则 ( )
A. B. C. D.

【解析】选A.
.
题19.如图,在正方形ABCD中,设，则以为基底时, 可表示为________,以为基底时,可表示为________.
【解析】以为基底时,由平行四边形法则得.
以为基底时,将平移,使B与A重合,再由三角形法则或平行四边形法则得.
答案:

题20.已知向量不共线,实数x,y满足,则x-y=
________.
【解析】由平面向量基本定理,
得所以所以x-y=3.
答案:3
题21.在平行四边形ABCD中, ,

(1)如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用分别表示.
(2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用表示.
【解析】(1) ，

(2) ，因为O是BD的中点,G是DO的中点,
所以,所以.