9.3.2.2 向量数量积的坐标表示-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册同步教案（学生版+教师版）

编号：007 课题:§9.3.2.2 向量数量积的坐标表示
目标要求
1、理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及相关结论．
2、理解并掌握向量数量积的坐标运算．
3、理解并掌握向量模的问题．
4、理解并掌握向量夹角、垂直问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量模的问题；
难点：向量夹角、垂直问题．
教学过程
基础知识点
1.平面向量数量积的坐标表示
条件 向量
坐标表示
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的___乘积的和__
2.平面向量数量积的坐标表示的结论
(1)结论
条件 结论

表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为
向量
2.平面向量数量积的坐标表示的结论
(1)结论
条件 结论
都是非零向量, ,θ是与的夹角
(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.
(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.
【思考】
已知向量,则与共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么?
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A.向量的模等于向量坐标的平方和.
B.若向量,则.
C.两个非零向量同向时，有.
D.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.
题2.若向量,且,则实数m的值为________.
题3.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a与b的夹角为θ,则cos θ=______.
关键能力·合作学习
类型一 数量积的坐标运算(数学运算)
【题组训练】
题4.若,且,则x等于 ( )
A.3 B. C. D .-3
题5.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是线段BC上的点,且DE=BC,则的取值范围是 ( )

A. B. C. D
题6.若,则________;________.
【解题策略】
关于向量数量积的运算
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.
(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.
【补偿训练】
题7.已知向量,则k= ( )
A.-12 B.-6 C.6 D.12
题8.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最
小值是 ( )
A.-2 B. C. D.-1
类型二 向量模的问题(数学运算)
【典例】题9.已知向量.
求的坐标及模;(2)若,求.
【解题策略】
向量模的问题
(1)字母表示下的运算,利用将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.
(2)坐标表示下的运算,若,则.
【跟踪训练】
题10.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,,则 ________.
【补偿训练】
题11.已知,若,求的坐标及.
.
类型三 向量夹角、垂直问题(数学运算)
角度1 平面向量的夹角问题
【典例】题12.已知,若与的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围.
【变式探究】
题13.已知,与的夹角θ为锐角,求实数λ的取值范围.
角度2 平面向量的垂直问题
【典例】题14.已知向量,向量.
(1)求向量的坐标;
(2)若,求实数k的值.
【解题策略】
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式求夹角余弦值.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.
2.涉及非零向量垂直问题时,一般借助来解决.
【拓展延伸】
1.线段垂直的坐标关系
设是坐标平面内的三个点,则.
2.向量共线的条件
由可知,若θ=0°或180°,则cos θ=±1,则有
,利用此结论也可以判断两向量是否共线.
【拓展训练】
题15.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
题16.已知向量,若,则实数λ= ( )
A. B. C.-2 D.2
题17.已知向量.
(1)求的值;
(2)求向量与夹角的余弦值.
【补偿训练】
题18.已知,当k为何值时,
(1)与垂直;
(2)与的夹角为120°.
备选类型 用向量解代数问题(数学建模)
【典例】题19.求函数的最大值.
【解题策略】
向量法巧解代数问题
向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题.
【跟踪训练】
题20.已知a,b,m,n∈,设,其中mn≠0,用向量方法求证:.
课堂检测·素养达标
题21.设,则 ( )
A.12 B.0 C.-3 D.-11
题22.已知平面向量，则向量的模是 ( )
A. B. C. D.5
题23.已知向量,且,则m=______.
题24.已知,则夹角的余弦值等于________.
题25.已知.
求.

编号：007 课题:§9.3.2.2 向量数量积的坐标表示
目标要求
1、理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及相关结论．
2、理解并掌握向量数量积的坐标运算．
3、理解并掌握向量模的问题．
4、理解并掌握向量夹角、垂直问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量模的问题；
难点：向量夹角、垂直问题．
教学过程
基础知识点
1.平面向量数量积的坐标表示
条件 向量
坐标表示
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的___乘积的和__
2.平面向量数量积的坐标表示的结论
(1)结论
条件 结论

表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为
向量
2.平面向量数量积的坐标表示的结论
(1)结论
条件 结论
都是非零向量, ,θ是与的夹角
(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.
(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.
【思考】
已知向量,则与共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么?
提示:与共线的单位向量是,则，
其中正号、负号分别表示与同向和反向;
易知和垂直,
所以与垂直的单位向量的坐标是.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A.向量的模等于向量坐标的平方和.
B.若向量,则.
C.两个非零向量同向时，有.
D.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.
【答案】选ABD
提示:A×.向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.
B×. .
C√. 两个非零向量同向时，夹角为，有.
D×. 当两个向量方向相反时,它们的夹角θ=180°满足cos θ=-1<0.
题2.若向量,且,则实数m的值为________.
【解析】因为,所以,解得.
答案:
题3.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a与b的夹角为θ,则cos θ=______.
【解析】.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 数量积的坐标运算(数学运算)
【题组训练】
题4.若,且,则x等于 ( )
A.3 B. C. D .-3
【解析】选C.因为,
所以.
题5.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是线段BC上的点,且DE=BC,则的取值范围是 ( )

A. B. C. D
【解析】选A.如图所示,以BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角
坐标系,则A(0,1),B(-1,0),C(1,0),设D(x,0),
则，据此有，
则，
据此可知当时, 取得最小值;
当或时，取得最大值，
所以的取值范围是.

题6.若,则________;________.
【解析】因为,
所以.
因为,
所以.
答案:(-16,-8) (-8,-12)
【解题策略】
关于向量数量积的运算
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.
(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.
【补偿训练】
题7.已知向量,则k= ( )
A.-12 B.-6 C.6 D.12
【解析】选D. ,由,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.
题8.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最
小值是 ( )
A.-2 B. C. D.-1
【解析】选B.以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图,可知A(0,),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则
，

所以.
所以，
当点P的坐标为时, 取得最小值为.
类型二 向量模的问题(数学运算)
【典例】题9.已知向量.
(1)求的坐标及模;(2)若,求.
四步 内 容
理解 题意 条件: .
(2)若,
结论:(1)a-2b的坐标及模;(2)|c|.
思路 探求 (1)先运用线性运算求的坐标,再用公式求模;(2)先运用线性运算求 的坐标,再用公式求模
书写 表达 (1).
(2) ,
所以,
所以.
①注意向量书写规范,向量与坐标之间用等号;
②注意求模不要忽略根号.
题后 反思 在中,前面的是数值, 相当于数乘运算.
【解题策略】
向量模的问题
(1)字母表示下的运算,利用将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.
(2)坐标表示下的运算,若,则.
【跟踪训练】
题10.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,,则 ________.
【解析】因为在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线, ,所
以,
所以,则.
答案:
【补偿训练】
题11.已知,若,求的坐标及.
【解析】设,则由,得.
由,可知2x+3y=0,解方程组
得或所以或,
所以或,所以.
类型三 向量夹角、垂直问题(数学运算)
角度1 平面向量的夹角问题
【典例】题12.已知,若与的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围.
【思路导引】的夹角θ为钝角等价于且θ≠180°.
【解析】因为,所以.
因为的夹角θ为钝角,所以即
所以λ<1且λ≠-1.
所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
【变式探究】
题13.已知,与的夹角θ为锐角,求实数λ的取值范围.
【解析】由已知得, .
因为与的夹角为锐角,所以cos θ>0且cos θ≠1,所以且不同向.
由,得,由与同向得λ=2.
所以实数λ的取值范围为.
角度2 平面向量的垂直问题
【典例】题14.已知向量,向量.
(1)求向量的坐标;
(2)若,求实数k的值.
【思路导引】(1)根据向量的坐标运算可得出答案;
(2)根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程得出答案.
【解析】(1)因为,所以，
.
(2)因为,所以,即，
解得.
【解题策略】
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式求夹角余弦值.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.
2.涉及非零向量垂直问题时,一般借助来解决.
【拓展延伸】
1.线段垂直的坐标关系
设是坐标平面内的三个点,则.
2.向量共线的条件
由可知,若θ=0°或180°,则cos θ=±1,则有
,利用此结论也可以判断两向量是否共线.
【拓展训练】
题15.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
【解析】选A.由题设知(0+2)(6+2)+(5-1)(-3-1)=0,所以,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.
【题组训练】
题16.已知向量,若,则实数λ= ( )
A. B. C.-2 D.2
【解析】选C.因为,所以，
又,所以,
即，解得λ=-2.
题17.已知向量.
(1)求的值;
(2)求向量与夹角的余弦值.
【解析】(1)因为,所以;
(2)由(1)知,
所以.
【补偿训练】
题18.已知,当k为何值时,
(1)与垂直;
(2)与的夹角为120°.
【解析】因为,,
,.
(1)因为与垂直,所以k-3k-6=0,所以k=-3,
即当k=-3时,与垂直.
(2)因为，，
，
因为与的夹角为120°,所以，
即，
化简整理,得,解得.
即当时,与的夹角为120°.
备选类型 用向量解代数问题(数学建模)
【典例】题19.求函数的最大值.
【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似,建立向量模型求解.
【解析】设，则，
因为，所以,
又因为,所以,
当且仅当共线时,等号成立,即，解得，
当时,的最大值为39,
即函数的最大值为39.
【解题策略】
向量法巧解代数问题
向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题.
【跟踪训练】
题20.已知a,b,m,n∈,设,其中mn≠0,用向量方法求证:.
【证明】设,且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°),
则,
因为,
所以,又,
所以,所以,
又0°≤θ≤180°,所以θ=0°或180°,即,
所以an-bm=0,又mn≠0,所以.
课堂检测·素养达标
题21.设,则 ( )
A.12 B.0 C.-3 D.-11
【解析】选C.因为,
所以,所以.
题22.已知平面向量，则向量的模是 ( )
A. B. C. D.5
【解析】选C.因为向量，
所以，所以.
题23.已知向量,且,则m=______.
【解析】因为向量,所以,即-4×6+3m=0,m=8.
答案:8
题24.已知,则夹角的余弦值等于________.
【解析】因为,所以.又,
设与的夹角为θ,所以.
答案:
题25.已知.
求.
【解析】因为,
所以,
所以,
,
,
.