2020-2021学年八年级数学人教版下册《18.2特殊的平行四边形》易错题型优生辅导训练（word版，附答案）

2021年人教版八年级数学下册《18.2特殊的平行四边形》易错题型优生辅导训练（附答案）
1．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于BD．其中正确结论的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．如图，点E，F是正方形ABCD内的两个点，AB＝13，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，线段EF的长为（　　）
A．7 B．7 C． D．
3．在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个的面积分别是a、b、c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　）
A．a+b+c B．a+c C．a+2b+c D．a﹣b+c
4．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN＝（　　）
A．1 B． C． D．1+
5．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
6．下列说法中错误的是（　　）
A．矩形的四个角相等
B．菱形的四条边相等
C．正方形的对角线互相平分且垂直
D．菱形的对角线相等
7．如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（　　）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
8．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD、DC上的点，BE⊥AF，若图中阴影部分的面积为8，则正方形的面积是（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
9．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（　　）
A． B． C．2 D．1
10．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2＝（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
11．已知点P为正方形ABCD所在平面上的一点，且AP＝AD，连接AP、BP、DP，则∠BPD的度数等于　 　．
12．将七个边长都为1的正方形如图所示摆放，点A1、A2、A3、A4、A5、A6分别是六个正方形的中心，则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是　 　．
13．在正方形ABCD中，点O为正方形的中心，直线m经过点O，过A、B两点作直线m的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，若AE＝2，BF＝5，则EF长为　 　．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC，BC为边长，在三角形外作正方形ACFG和正方形BCED，AH⊥DE，分别交DE，BC于点H，P．若BP＝2，CP＝4，则正方形ACFG的面积为　 　．
15．已知正方形ABCD，作等边三角形ADE，则∠AEB＝　 　．
16．过正方形ABCD的顶点A作直线l，过点B，D作l的垂线，垂足分别为点F，E，若DE＝1，BF＝2，则AB的长度为　 　．
17．已知边长为4的正方形OABC在直角坐标系中，OA与y轴的夹角为30°，则点B的坐标是　 　．
18．如图，正方形ABCD中，点M是边BC异于点B、C的一点，AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连接AK、MK．下列结论：①EF＝AM；②AE＝DF+BM；③BK＝；④∠AKM＝90°．其中正确的结论有　 　个．
19．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G，若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小　 　．
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝，OC＝，则另一直角边BC的长为　 　．
22．如图是由四块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形．已知其中的两块，一块长为5cm，宽为2cm；一块长为4cm，宽为1cm，则大正方形的面积为　 　cm2．
23．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF
（1）求证：AE＝AF；
（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．
24．如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，DF∥AE，AF与CD相交于点G．
（1）如图1，当∠AEC＝120°，AE＝4时，求FG的长；
（2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH＝AE，DH与AF、AE，分别交于点M、N，求证：AE＝AH+DG．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；
（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．
26．已知：如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请证明你的结论
27．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．
（1）证明∠ABE＝∠ACF；
（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
（3）求MN的长．
28．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．
（1）如图1，若PB＝a，AB＝3a，求线段MN的长度；
（2）用等式表示ME、EF、NF之间的数量关系并证明．
29．如图，已知在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，F为AB延长线上一点，连接AE、EF、CF，且满足△ABE≌△CBF．
（1）若∠BAE＝20°，求∠EFC的度数；
（2）试判断AE与CF之间的位置关系，并说明理由．
30．如图1，点E是边长为2的正方形ABCD的边BC的中点，DF⊥AE于F
（1）求DF的长度；
（2）如图2，作CH⊥DF于H，求证：点H为DF的中点；
（3）直接写出四边形ECHF的面积．
参考答案
1．解：如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H
∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，∠BCD＝90°
∴四边形PECF为矩形
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP
由正方形为轴对称图形
∴AP＝PC，∠BAP＝∠ECP
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP
故①④成立
∵PF∥BC
∴∠AGP＝90°
∴∠BAP+∠APG＝90°
∵∠APG＝∠HPF
∴∠BAP+∠HPF＝90°
∴AP⊥EF
故②成立
由EF＝PC
∴当PC最小时，EF最小
则当PC⊥BD即PC＝时，EF的最小值等于BD
故⑤正确
通过分类讨论作图可知，满足△APD是等腰三角形的点P一共有三个，则③错误．
故选：B．
2．解：如图，延长AE交DF于G，
∵AB＝13，AE＝5，BE＝12，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得，△DFC是直角三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAE+∠DAG＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠BAE＝∠DCF，
又∵∠DCF+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DCF＝∠ADG，
∴∠BAE＝∠ADG，
∵∠BAE+∠DAG＝90°，
∴∠ADG+∠DAG＝90°，
∴∠DGA＝90°，即△AGD是直角三角形，
在△AGD和△BAE中，
，
∴△AGD≌△BAE（ASA），
∴AG＝BE＝12，DG＝AE＝5，
∴EG＝12﹣5＝7，
同理可得：GF＝7，
∴Rt△EFG中，EF＝＝7，
故选：B．
3．解：
∵∠ACB+∠DCE＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠BAC，
∵AC＝CE，∠ABC＝∠CDE
∴△ABC≌△CDE，
∴BC＝DE，
在直角△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即，AB2+DE2＝AC2，
∵S3＝AB2，S4＝DE2
∴S3+S4＝c
同理S1+S2＝a
故可得S1+S2+S3+S4＝a+c，
故选：B．
4．解：连接BP，作EH⊥BC，则PM、PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，
S△BCE＝1﹣﹣S△CDE，
∵DE＝BD﹣BE＝，△CDE中CD边上的高为DE?sin∠CDE＝（），
∵S△CDE＝CD×（）＝﹣；
S△BCE＝1﹣﹣S△CDE＝；
又∵S△BCE＝S△BPE+S△BPC＝?BC?（PM+PN）
∴PM+PN＝＝．
故选：C．
5．解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，
∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD＝∠AMB＝60°
故选：B．
6．解：A．矩形的四个角相等，本选项正确； B．菱形的四条边相等，本选项正确；
C．正方形的对角线互相平分且垂直，本选项正确；
D．菱形的对角线不一定相等，本选项错误；
故选：D．
7．解：如图，连接AG．
∵E、F分别是AP、GP的中点，
∴EF为△APG的中位线，
∴EF＝AG，AG为定值．
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
8．解：∵BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
又∵∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴S△ABE+S△BCF＝S△ADF+S△BCF＝S正方形ABCD，
∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S正方形ABCD＝S正方形ABCD，
∵阴影部分的面积为8，
∴正方形ABCD的面积＝2×8＝16．
故选：B．
9．解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH＝45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∵AM＝，
∴AH＝MH＝1，
∵CM平分∠ACB，∠ACB＝45°，∠MBC＝90°
∴∠ACM＝∠BCM＝22.5°，BM＝MH＝1，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BMC＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠BNM＝∠ONC＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠BNM＝∠BMN，
∴BN＝BM＝1，
故选：D．
10．解：∵AB∥CD
∴∠BED＝∠B＝60°
∵△CHE的外角和为360°
∴∠1+90°+∠2+60°+60°×2＝360°
∴∠1+∠2＝90°
故选：A．
11．解：有两种情况：
①P在正方形ABCD内时，如图：
∵正方形ABCD，AP＝AD，
∴AB＝AP＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABP＝∠APB，∠APD＝∠ADP，
∵∠BAP+∠ABP+∠APB＝180°，∠ADP+∠APD+∠DAP＝180°，
∴2∠APB+2∠APD＝180°﹣∠BAP+180°﹣∠DAP＝180°+180°﹣90°＝270°，
∴∠BPD＝135°；
②P在正方形ABCD外时，如图：有2点，
∠PAD为锐角时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，AP＝AD，
∴∠ABP＝∠APB，∠ADP＝∠APD，
∴∠PAD＝180°﹣2∠APD＝180°﹣2∠APB﹣2∠BPD，
∠BAD+∠PAD＝∠BAP＝180°﹣2∠APB，
相减得：∠BAD＝2∠BPD，
∴∠BPD＝45°；
当∠P′AD为钝角时，
∵由正方形ABCD得出∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD＝AP，
∴∠AP′D＝∠ADP′，∠AP′B＝∠ABP′，
∴∠AP′D+∠AP′B+∠ABP′+∠ABD+∠ADB+∠ADP′＝180°，
∴2（∠AP′D+∠AP′B）+45°+45°＝180°，
∴∠BP′D＝45°．
故答案为：45°或135°．
12．解：连接BD和AA2，
∵四边形ABA2D和四边形A1EFC都是正方形，
∴DA1＝A1A2，∠A1DN＝∠A1A2M＝45°，
∠DA1A2＝∠NA1M＝90°，
∴∠DA1N＝∠A2A1M，
∵在△DA1N和△A2A1M中
∠A1DN＝∠A1A2M，DA1＝A1A2，∠DA1N＝∠A2A1M，
∴△DA1N≌△A2A1M，
即四边形MA1NA2的面积等于△DA1A2的面积，也等于正方形ABA2D的面积的，
同理得出，其余的阴影部分的面积都等于正方形面积的，
则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是6××12＝，
故答案为：．
13．解：如图，当直线m与线段AB不相交时，
∵AE⊥m，BF⊥m，∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠EAO＝90°＝∠AOE+∠BOF，∠AEO＝∠OFB，
∴∠EAO＝∠FOB，
又∵正方形ABCD中，AO＝OB，
∴△EAO≌△FOB，
∴AE＝OF＝2，BF＝EO＝5，
∴EF＝EO+FO＝5+2＝7；
如图，当直线m与线段AB相交时，
∵AE⊥m，BF⊥m，∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠EAO＝90°＝∠AOE+∠BOF，∠AEO＝∠OFB，
∴∠EAO＝∠FOB，
又∵正方形ABCD中，AO＝OB，
∴△EAO≌△FOB，
∴AE＝OF＝2，BF＝EO＝5，
∴EF＝EO﹣FO＝5﹣2＝3；
故答案为：3或7．
14．解：∵四边形BCED是正方形，
∴BC∥DE，
∵AH⊥DE，
∴AH⊥BC，
∴∠APB＝∠APC＝90°
设AP＝x，则AB2＝BP2+AP2＝22+x2＝4+x2，AC2＝AP2+PC2＝x2+42＝x2+16，
Rt△ABC中，BC2＝62＝AB2+AC2＝4+x2+x2+16，
x＝±2，
∴正方形ACFG的面积为：AC2＝PC2+AP2＝16+8＝24，
15．解：有两种情况：
①在正方形的外则，作等边三角形ADE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，∠BAE＝150°，
∴∠AEB＝∠ABE＝15°，
②在正方形ABCD的内侧，作等边三角形ADE，
∵正方形ABCD，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵△ADE等边三角形，
∴∠EAD＝60°，AD＝AE＝AB，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝75°．
故答案为：75°或15°．
16．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE+∠DAF＝90°，∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE．
在△ABF与△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE＝1，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得到：AB＝＝．
故答案为：．
17．解：作AD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，作BF⊥CE于F，如图，
∵OA与y轴的夹角为30°，
∴∠AOD＝60°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠COE＝30°，
在Rt△COE中，CE＝OC＝2，OE＝CE＝2，
∵∠OCE＝60°，∠BCO＝90°，
∴∠BCF＝30°，
∴BF＝BC＝2，CF＝BF＝2，
∴B（﹣2+2，2+2）．
故答案为：（﹣2+2，2+2）．
18．解：如图，作FG⊥AB于G，则AD＝GF＝AB，
∵AM⊥EF，
∴∠BAM＝∠GFE，
∵∠BAM＝∠GFE，∠ABM＝∠EGF，GF＝AB，
∴△ABM≌△FGE，
∴EF＝AM，
故①正确；
由题可得：AG＝DF，GE＝BM，
∴AE＝AG+GE＝DF+BM；
故②正确；
如图，过K作KQ⊥AB于Q，KT⊥BC于T，
∵∠KBQ＝45°，
∴△BQK是等腰直角三角形，
∴BK＝KQ＜AK，
故③错误；
∵DB平分∠ABC，
∴KQ＝KT，
又∵AM的垂直平分线交BD于K，
∴KA＝KM，
∴Rt△AQK≌Rt△MTK，
∴∠AKQ＝∠MKT，
又∵∠QKT＝∠MKT+∠MKQ＝90°，
∴∠AKQ+∠MKQ＝90°，
即∠AKM＝90°，
故④正确；
故答案为：3．
19．解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE＝90°，
又∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠EFB＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABE＝55°，
∴∠EBG＝90°﹣55°＝35°，
∴∠EGC＝∠EBG+∠BEF＝45°+35°＝80°．
故答案为：80°．
20．解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3，
故答案为：+3．
21．解：方法一，过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
又∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△OBF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
又∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF，
∴OF＝CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC＝，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，
解得：CF＝OF＝1，
∴FB＝OM＝OF﹣FM＝1﹣＝，
则BC＝CF+BF＝1+＝．
方法二，把△AOC绕点O逆时针旋转90°，
则△COH为等腰直角三角形，BH＝AC＝，
∴CH＝OC＝2，
∴CB＝CH﹣BH＝，
故答案为：．
22．解：如图，设大正方形的边长为x，则
AB＝x﹣1﹣2＝x﹣3，BC＝4+5﹣x＝9﹣x，
∵AB＝BC，
∴x﹣3＝9﹣x，
解得x＝6，
∴大正方形的面积为36cm2．
故答案为：36．
23．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）AM⊥EF，AM＝EF，理由是：
由（1）得：△ABE≌△ADF，
∴∠FAD＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠DAB＝90°，
∴△FAE是直角三角形，
如图，过E作EN∥CD，交BD于N，
∴∠MNE＝∠MDF，∠MEN＝∠MFD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠NBE＝45°，
∴△NBE是等腰直角三角形，
∴EN＝BE＝DF，
在△MNE和△MDF中，
∵，
∴△MNE≌△MDF（ASA），
∴EM＝FM，
∵AE＝AF，
∴AM⊥EF，AM＝EF．
24．解：（1）∵∠AEC＝120°，
∴∠AEB＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴∠BAE＝30°，∠DAE＝∠AEB＝60°，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF＝30°，
Rt△ABE中，AE＝4，∠BAE＝30°，
∴BE＝2，AB＝AD＝2，
Rt△ADG中，∠DAG＝30°，
∴DG＝2，
∵DF∥AE，
∴∠F＝∠EAF＝30°，
∵∠AGD＝60°，
∴∠GDF＝∠F＝30°，
∴GF＝DG＝2；
（2）由（1）知：∠F＝∠DAF，
∴AD＝DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠B＝90°，
∵AE＝DH，
∴Rt△DAH≌Rt△ABE（HL），
∴∠BAE＝∠ADH，
∵∠BAE+∠DAE＝∠ADH+∠DAE＝90°，
∴∠AND＝90°，
∵DF∥AE，
∴∠HDF＝∠HNE＝90°，
∴∠MDG+∠GDF＝∠ADM+∠MDG＝90°，
∴∠ADM＝∠GDF，
∴△ADM≌△FDG（ASA），
∴DM＝DG，
∴∠DMG＝∠DGM，
∵AH∥DG，
∴∠HAM＝∠DGM，
∵∠AMH＝∠DMG，
∴∠HAM＝∠AMH，
∴AH＝HM，
∴DH＝HM+DM＝AH+DG＝AE．
25．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴CE＝AE，
过点E用EH垂直于AC于点H，
∴CH＝AH
∵AC＝6，
∴CE＝2
答：CE的长为2；
（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，
AF＝AF，CF＝GF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG，
∴四边形CEGF是菱形
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，AD＝CB，AB＝CD，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD．
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝DE，
∴平行四边形BEDF是菱形．
27．解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，
∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF；
（2）MN垂直平分EF．
证明：如图，连接EM、FM，
∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴EM＝FM＝BC，
∵N是EF的中点，
∴MN垂直平分EF；
（3）∵EF＝6，BC＝24，
∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，
由勾股定理得，MN＝＝＝3．
28．解：（1）如图所示，过N作NG⊥AB，交AB于点G． 则四边形AGND是矩形，所以NG＝AD＝AB＝3a，
∵MN⊥AP∴∠MNG＝∠PAB 且∠PBA＝∠NGMAB＝NG∴△ABP≌△NGM
∴MN＝AP＝＝
（2）如图所示，过P作PH∥AB，过F作ST∥AB，连接AF，PF
∵NM垂直平分AP，则AE＝PE，∠AEM＝∠PEH＝90°，
∵PH∥AB∴∠PHE＝∠MEA，∠HPE＝∠MAE
∴△AME≌△PHE
∴ME＝HE
∠TDF＝∠FBP＝45°
∴TD＝TF，FS＝BS
∵BS＝AT＝FS
∵点F在线段AP的垂直平分线上，
∴FP＝FA
∴Rt△FPS≌Rt△ATF
∴PS＝TF＝TD＝SC＝PS
∵PH∥TS∥CD
∴HF＝FN
∴ME+NF＝EF
29．解：（1）∵△ABE≌△CBF，
∴BE＝BF，∠BAE＝∠BCF＝20°，
又∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠BEF＝45°，
∴∠EFC＝∠BEF﹣∠BCF＝45°﹣20°＝25°；
（2）AE⊥CF．
如图，延长AE交CF于G，
∵∠BCF+∠AFG＝90°，∠BAE＝∠BCF，
∴∠BAE+∠AFG＝90°，
∴∠AGF＝90°，即AG⊥CF，
∴AE⊥CF．
30．解：（1）如图1，连接DE，
∵点E是边长为2的正方形ABCD的边BC的中点，
∴BE＝1，
∴Rt△ABE中，AE＝＝，
∵DF⊥AE，
∴×AE×DF＝×AD×AB，
∴DF＝＝＝；
（2）∵CH⊥DF，DF⊥AE，∠ADC＝90°，
∴∠AFD＝∠DHC＝90°，∠ADF+∠CDH＝90°＝∠DCH+∠CDH，
∴∠ADF＝∠DCH，
又∵AD＝DC，
∴△ADF≌△DCH，
∴DH＝AF，
又∵Rt△ADF中，AF＝＝，
∴DH＝＝DF，
∴点H为DF的中点；
（3）∵EF＝AE﹣AF＝，CH＝DF＝，FH＝DF＝，
∴四边形ECHF的面积＝（+）×＝．