2020-2021学年苏科版八年级下册 第9章：中心对称图形——平行四边形 重难点题型训练试卷(二)（Word版含答案）

八年级下册
第9章：中心对称图形——平行四边形
重难点题型训练（二）
1．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE＝OF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）线段OE满足什么条件时，四边形BEDF为矩形（不必证明）．
2．如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CEDF为正方形；
（2）若AC＝6，BC＝8，求CE的长．
3．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE．与BF相交于O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝6，CE＝3，求ABCD的面积．
4．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
（1）求证：AO＝BO；
（2）求证：∠HEB＝∠HNB；
（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值．
5．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，M和N分别为OB，OC的中点，连接ED，EM，MN，ND．
（1）求的值；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEMN是矩形？给出你的结论并证明．
（3）若四边形DEMN是正方形，则等于　
　．
6．如图，四边形AOBC为正方形，E为AC的中点，连接OE，OE＝．
（1）求点C的坐标；
（2）F为AC上一点，∠FOB＝2∠AOE，
①求点F的坐标；
②作点A关于OF的对称点H，连接AH和BH，则∠AHB的度数为　
　；BH的长度为　
　．（直接写出结果）
7．如图，矩形OABC中，A（﹣2，3），C（6，4），AB交y轴于D．
（1）求证：OC＝2OA；
（2）求点B的坐标；
（3）求点D的坐标．
8．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（3）若点O为AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，CE交BA的延长线于F．
（1）若CE平分∠BCD，证明：BC＝BF．
（2）若E为AD中点，证明：AF＝AB．
10．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数．
11．已知正方形ABCD中，点E和点G分别在边AD和BC上，连接AG交BE于点F，交BD于点K，若∠AKD＝∠FBG．
（1）如图1，求证：∠BAG＝∠EBD；
（2）如图2，连接DF并延长交AB于点H，若BH＝FH＝1，求DE长．
12．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，点F是BD的中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若∠BED＝90°，求∠BCD的度数．
（3）若∠BED＝α，直接写出∠BCD的度数．（用含α的代数式表示）
13．如图，AB∥CD，∠ACB＝90°，E是AB的中点，CE＝CD，DE和AC相交于点F．
求证：（1）DE⊥AC；
（2）∠ACD＝∠ACE．
14．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．
（1）若EF＝5，BC＝12，求△EFM的周长；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，求∠FME的度数．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AB＝6，AC＝10，点P为线段BC上一点，求BP长为多少时△DEP为等腰三角形？
参考答案
1．（1）证明：连接BE、DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO，
∵OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE；
（2）解：当OE＝DO时，四边形BEDF为矩形．
2．（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形FCED是矩形，
又∵∠A，∠B的平分线交于D点，
∴DF＝DE＝DN，
∴矩形FCED是正方形；
（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
∴AB＝10，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DF＝DE＝DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，
则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，
故EC＝＝2．
3．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝6，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝3，
∴BE＝，
∵S菱形ABEF＝?AE?BF＝BE?FG，
∴GF＝3，
∴S平行四边形ABCD＝BC?FG＝27．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BCO，
∵AB＝BE，
∴AD＝BE，
∴△ADO≌△BEO（ASA），
∴AO＝BO；
（2）证明：延长BC至F，且使CF＝BE，连接AF、DF，如图1所示：
则BF＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠DEC＝∠AFB，
∵EB＝CF，BN＝CN，
∴N为EF的中点，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN∥AF，
∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB；
（3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示：
则∠PBQ＝90°，
∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠EBQ＝∠ABP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠BEQ，
∵AP⊥DE，∠BAD＝90°，
由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP，
∴∠BEQ＝∠BAP，
在△BEQ和△BAP中，，
∴△BEQ≌△BAP（ASA），
∴PA＝QE，QB＝PB，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PB，
∴＝＝．
5．（1）解：∵D、E、M、N分别为AC、AB、OB、OC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，MN∥BC，MN＝BC，
∴DE∥MN，DE＝MN，
∴四边形EMND为平行四边形，
∴OM＝OD，
∵OM＝BM，
∴OB＝2OM＝2OD，
∴＝2；
（2）当AB＝AC时，四边形DEMN为矩形，
理由如下：∵D、E为AC、AB的中点，
∴AD＝AC，AE＝AB，
∴AD＝AE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（AAS），
∴BD＝CE，
∵OD＝OM＝BM，
∴MD＝BD，同理EN＝EC，
∴MD＝EN，
∴四边形DEMN为矩形；
（3）设DE＝x，
∴BC＝2x，
∵四边形DEMN是正方形，
∴OE＝OD，OE⊥OD，
∴OE＝OD＝x，OB＝x，
∴BE＝＝x，
∴AB＝x，
则＝＝，
故答案为：．
6．解：（1）∵四边形AOBC为正方形，
∴OA＝AC＝CB＝BO，∠OAC＝∠ACB＝∠CBO＝∠BOA＝90°，
∵E为AC的中点，
∴AE＝EC＝x，则AC＝AO＝2x，
在Rt△AOE中：，解得：x＝1，
∴OA＝AC＝2，
∴C（2，2）．
（2）①取BC中点M，延长OM交AC延长线于点N，
∵OA＝OB，∠OAE＝∠OBM，AE＝BM，
∴△AOE≌△OBM（SAS），
∴∠AOE＝∠BOM
又∵∠FOB＝2∠AOE，
∴∠FOM＝∠BOM＝∠AOE，
又∵CN∥OB，
∴∠BOM＝∠CNM，
∴∠FOM＝∠FNO，
∴FO＝FN，
∵BM＝MC，∠MCN＝∠MBO＝90°，∠BOM＝∠CNM，
∴△CMN≌△BMO（AAS），
∴CN＝OB＝2，
设CF＝x，则AF＝2﹣x，NF＝2+x＝FO，
在Rt△AOF中：AF2+AO2＝OF2，
∴（2﹣x）2+22＝（2+x）2，解得：x＝0.5，
∴F（1.5，2）．
②如图2，连接OH，AB，则AB＝AC＝2．
∵A与H关于AF对称，
∴∠AOF＝∠HOF，OH＝OA＝OB，OF垂直平分AH，
作OP⊥BH于P，则∠BOP＝∠HOP，
∵∠AOH+∠BOH＝∠AOB＝90°，
∴∠FOP＝45°，
∵∠OQH＝∠OPH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣∠FOP＝135°，
∵F（1.5，2），
∴AF＝1.5，
∴OF＝2.5，
∴AH＝2AQ＝＝＝，
作BN⊥AH于N，则∠BHN＝∠HBN＝45°，
∴BN＝HN＝x，
∴BH＝x，AN＝AH+HN＝+x，
在Rt△ANB中：AB2＝AN2+BN2，
∴8＝+x2，解得，（舍），
∴BH＝．
7．解：（1）过A作AM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，
∵A（﹣2，3），C（6，4），
∴AM＝3ON＝6，
∵矩形OABC中，∠AOC＝90°，
∴∠MAO+∠AOM＝∠AOM+∠CON＝90°，
∴∠MAO＝∠CON，
∴△AOM∽△OCN，
∴，
∴OC＝2OA；
（2）过B作BH⊥x轴于H，过C作CE⊥BH于E，
则△AOM≌△BCE（AAS），
∴BE＝AM＝3，CE＝OM＝2，
∴BH＝3+4＝7，OH＝6﹣2＝4，
∴B（4，7）；
（3）过A作AG⊥y轴于G，
∴OG＝AM＝3，
∵∠OAD＝90°，
∴AO2＝OG?OD，
∴AM2+OM2＝13＝3×OD，
∴OD＝，
∴D（0，）．
8．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠ECF＝∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，
∴EF＝＝10，
∴OC＝EF＝5；
（3）当△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．
证明：∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵由（1）知OE＝OF，
∴AO＝EO＝CO＝FO，
∴?AECF为矩形，
又∵MN∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠AOE＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥EF．
∴四边形AECF是正方形．
∴当△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．
9．证明：（1）∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD＝∠FCB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠FCD＝∠BFC，
∴∠FCB＝∠BFC，
∴BC＝BF．
（2）∵E为AD中点，
∴DE＝AE，
在△DEC与△AEF中，
∴△DEC≌△AEF（AAS），
∴AF＝AB．
10．（1）证明：连接DE．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AE＝EB，
∴DE＝EB＝EA，
∵DG⊥EC，EG＝GC，
∴DE＝CD，
∴DC＝BE．
（2）设∠BCE＝x．
∵EB＝DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC＝x，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DEC+∠DCE＝2x，
∵∠AEC＝∠EBD+∠ECD，
∴66°＝3x，
∴x＝22°，
∴∠BCE＝22°．
11．（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵∠AKD＝∠FBG，
∴∠ABD+∠BAG＝∠DBC+∠EBD，
∴∠BAG＝∠EBD．
（2）解：如图2中，作EP∥BD交AB于P，连接PF．AF交AF于O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵EP∥BD，
∴∠APE＝∠ABD，∠AEP＝∠ADB，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴AP＝AE，
∵AB＝AD，
∴PB＝DE，
∵∠OFE＝∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠EBD＝45°，
∴∠APO＝∠EFO，∵∠AOP＝∠EOF，
∴△AOP∽△EOF，
∴＝，
∴＝，∵∠AOE＝∠POF，
∴△AOE∽△POF，
∴∠PEO＝∠AEO＝45°，
∴∠PFE＝∠BFP＝90°，
∵BH＝FH，
∴∠HBF＝∠HFB，
∵∠HFB+∠BPF＝90°，∠HFB+∠PFH＝90°，
∴∠HPF＝∠HFP，
∴FH＝PH＝BH＝1，
∴PB＝2，
∴DE＝PB＝2，
12．（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴DE＝AC，BE＝AC，
∴DE＝BE，
∵点F是BD的中点，
∴EF⊥BD；
（2）解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴DE＝AC＝EC，BE＝AC＝EC，
∴∠EDC＝∠DCE，∠EBC＝∠ECB，
∵在四边形DEBC中，∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC+∠DEB＝360°，
∵∠DEB＝90°，
∵∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC＝360°﹣∠DEB＝360°﹣90°＝270°，
∴2∠DCE+2∠ECB＝270°，
∴∠DCE+∠ECB＝135°，
即∠BCD＝135°；
（3）若∠BED＝α，则∠BCD＝180°﹣，
理由是：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴DE＝AC＝EC，BE＝AC＝EC，
∴∠EDC＝∠DCE，∠EBC＝∠ECB，
∵在四边形DEBC中，∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC+∠BED＝360°，
∵∠BED＝α，
∵∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC＝360°﹣∠BED＝360°﹣α，
∴2∠DCE+2∠ECB＝360°﹣α，
∴∠DCE+∠ECB＝180°﹣，
即∠BCD＝180α．
13．证明：（1）直角三角形ACB中，
∵CE是斜边AB的中线，
∴CE＝AE＝BE＝CD，
又∵AB∥CD，
∴BCDE为平行四边形，
∴BC∥DE，
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．
（2）∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠CAE．
由（1）知EC＝EA，
∴∠A＝∠ACE．
∴∠ACD＝∠ACE．
14．解：（1）∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，
∴ME＝MC＝BC＝×12＝6，
同理MF＝MB＝BC＝×12＝6，
∴△EFM的周长＝6+6+5＝17；
（2）∵MF＝MB，
∴∠ABC＝∠MFB＝50°，
同理∠ACB＝∠MEC＝70°，
∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∠EMC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠FME＝180°﹣80°﹣40°＝60°．
15．（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD＝AC，
∵DE是∠ADB的角平分线，
∴DE⊥AB，
又∵∠ABC＝90°，
∴DE∥BC；
（2）解：由（1）知，DE∥BC，
又点D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵AB＝6，AC＝10，
∴AE＝3，AD＝5，DE⊥AB，
∴DE＝＝＝4，
∵DE⊥AB，AD＝BD，
∴BE＝AE＝3，
①DE＝EP时，BP＝＝，
②DP＝EP时，BP＝DE＝×4＝2，
③DE＝DP时，过点D作DF⊥BC于F，
则DF＝BE＝3，
由勾股定理得，FP＝＝，
点P在F下边时，BP＝4﹣，
点P在F上边时，BP＝4+，
综上所述，BP的值为，2，4﹣，4+．