2020-2021学年人教版八年级下册第十九章一次函数与动点最值问题学案（word版试题无答案）

一次函数提优综合——最值与数形结合
一次函数与动点最值问题
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1.关于x的一次函数y＝k(x－m)＋n或y＝kx－km＋n一定过定点(m，n).
2.直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
3.利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值.
4.利用平方数，绝对值，算术平方根的非负性求最值.
【板块一】过定点的直线
题型一
定点动直线
【例1】(1)一次函数y＝kx一定经过点_________；若一次函数的图象经过原点，那么该一次函数的解析式可设为_________.
(2)一次函数y＝kx＋2一定经过点_________；若一次函数的图象经过点(0，－4)，那么该一次函数的解析式可设为_________；
(3)一次函数y＝kx－2k＋1一定经过点_________；若一次函数的图象经过点(－2，4)，该一次函数的解析式可设为_________.
题型二
动点定直线
【例2】利用坐标判断点在定直线上.
(1)点P(m，m＋2)一定在直线_________上；
(2)点P(m＋1，2m－3)一定在直线_________上.
针对练习1
1.过定点的动直线的应用:
已知一次函数y＝2kx－k＋2.
(1)其图象过定点_________；
(2)直线y＝2kx－k＋2和直线y＝4x的交点是_________；
(3)若0＜k＜2，不等式2kx－k＋2≤4x的解集是_________；
(4)当x＝1时，y＜0，则k的取值范围是_________；
(5)若A(，3)，B(4，－3)，该一次函数的图象与线段AB有交点，则k的取值范围是_________.
2.动点在定直线上的应用:
直线AB：y＝2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，C(1，0)，点P为直线AB上一点，将线段PC绕点C顺时针旋转90°，得CQ.
(1)若点P横坐标为－1时，求点Q坐标；
(2)若点P横坐标为m，试用含m的式子表示点Q的坐标；
(3)当点P在直线AB上运动时，则点Q总在直线l上运动，求直线l的解析式.
【板块二】直线型动点最值问题
题型三
点到直线的距离最短
方法技巧
利用垂线段最短，可求定点到直线型动点的最小值问题.
【例1】点P是x轴上一点，A(0，4)，将线段PA绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，求OQ的最小值.
【例2】如图，A(4，0)，△OAB为等边三角形，点C为x轴上一动点，以BC为边在直线BC的右侧作等边△BCD，连接OD.
(1)点D在某一确定的函数图象上运动，其解析式为_________；
(2)OD的最小值为_________.
题型四
两线段或多线段的和差最值问题
方法技巧
利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求两线段或多线段的和差最大值或最小值；在平面直角坐标系中，常作一个定点的对称点，然后连接这一对称点与另一定点，求最值.这一方法也叫化折为直.
【例3】如图，A(－4，2)，B(－1，1)，在x轴上找一点P，使△PAB的周长最小，求这个最小值及点P的坐标.
【例4】如图，A(－4，2)，B(－1，1)，在x轴上找一点P，使|PA－PB|的值最大，并求此时点P的坐标.
针对练习2
1.一次函数y＝k(x－1)＋3k－4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点O到该直线的距离的最大值是_________；
2.如图，B(0，3)，点A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC，连接OC.
(1)设A(a，0)，用含a的式子表示点C坐标_________；
(2)点C在某一确定的函数图象上运动，其解析式为_________；
(3)OC长度的最小值为_________.
3.如图，A(0，2)，点B为x轴上一动点，将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得线段AC，线段OC的最小值是_________.
第2题
第3题
第4题
第5题
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点M为AB的中点，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ME，点D在运动的过程中，ME的最小值为(
)
A.2
B.2
C.4
D.4
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连接AE，则AE的最小值为_________.
6.如图，直线y＝x＋4与坐标轴交于点A，B，点C(－3，m)在直线AB上，在y轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，求这个最小值及点P的坐标.
【板块三】动点的运动路径(轨迹)问题
方法技巧
动点的运动路径问题解题方法:1.选取三个或多个特殊点探索三个或多个特殊位置，一般选取起点，终点，和另外的特殊点探索；2.根据这些特殊点的位置猜想运动路径，然后验证.现阶段多用全等转换求值.
【例1】如图，直线AB：y＝
2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，C(1，0)，点P为直线AB上一点，将线段PC绕点C顺时针旋转90°得CQ.
(1)当点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为_________；
(2)线段OQ的最小值为_________.
【例2】如图，A(4，0)，B(0，4)，点P在线段AB上运动，PQ⊥PO且PQ＝PO.
(1)试说明点Q在某一确定的直线上；
(2)点M是OQ的中点，当点P从点A运动到点B时，求点M运动的路径长.
针对练习3
1.在平面直角坐标系中，A(0，4)，点B沿着某条路径运动，以点B为旋转中心，将点A逆时针旋转60°到点C(m，2).若－5≤m≤5，则点B运动的路径长为_________.
2.在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，C(0，b)，且a，b满足(a＋1)2＋＝0.
(1)直接写出：a＝_________，b＝_________；
(2)如图1，点B为x轴正半轴上的一点，BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE.若OE平分∠AEB，求直线BE的解析式；
(3)如图2，在(2)的条件下，点M为直线BE上的一动点，连接OM，将线段OM绕点M逆时针旋转90°，点O的对应点为N，当点M运动时，判断点N的运动路线是什么图形，并说明理由.
图1
图2
3.如图1，直线y＝－x＋3分别与y轴、x轴交于点A，B，点C的坐标为(－3，0)，点D为直线AB上的一动点，连接CD交y轴于点E.
(1)点B的坐标为_________，不等式－x＋3＞0的解集为_________；
(2)若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标；
(3)如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°，当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.
图1
图2
一次函数大综合——数形结合
1.已知点A(a，3)，点B(b，6)，点C(5，c)，AC⊥x轴，CB⊥y轴，点B在第二象限且到两坐标轴的距离相等.
(1)写出A，B，C三点的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)若点P为线段OB上的动点，当△BCP面积大于12小于16时，求点P的横坐标的取值范围.
2.
在平面直角坐标系中，A(a，b)，B(c，d)，且＋|b－d－6|＝0.
(1)直接写出a与c，b与d的关系式；
(2)如果b＝c＝0，点P(m，m＋6)，且m＞0，S△PAB＝4S△AOB，求点P的坐标；
(3)如果b＝3，连接AB交x轴于点Q.
①直接写出点Q的坐标(用含a的式子表示)；
②若S△AOB≤24，求a的取值范围.
3.
(2019黄陂区期末)如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于点B.AC⊥y轴于点C，点A(4a，3a)，且四边形ABOC的面积为48.
(1)如图1，直接写出点A的坐标为_________；
(2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴正半轴运动，同时，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，DE交线段AC于点F，设运动的时间为t秒，当S△AEF＜S△CDF时，求t的取值范围；
(3)如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接BN交y轴轴于点P，当OM＝3OP时，求点M的坐标.
4.
在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(a，6)，C(a－2，2).
(1)若a＝2，则△ABC的面积为_________；
(2)将线段BC向右平移m个单位，若△ABC的面积小于4，求m的取值范围；
(3)若点D(a＋8，8)，连结AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD有公共点，请直接写出n的取值范围_________.
5.在平面直角坐标系中，点A(a，b)，B(c，d)，且＋|b－d－4|＝0.
(1)如果a＝－1，b＝－3，求A，B两点的坐标；
(2)如果a＝－1，b＝－3，求直线AB与x轴的交点M以及与y轴的交点N的坐标；
(3)如果点A在x轴上方平行于x轴，且在到x轴距离等于2的直线上运动，若△ABO的面积不超过21，求a的取值范围.
6.如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，下表列举的是直线l上的点P(x，y)的取值情况:
(1)直线l上的点P(x，y)的横、纵坐标之间的数量关系是_________(直接写出结果)；
(2)若点P(－2，2)，点Q(q，0)，若以P，Q，O，B为顶点的四边形的面积大于5，求q的取值范围；
(3)已知坐标平面内第一象限的点M(m，n)，N(m＋4，n＋4)，若△PMN的面积是12，求m，n的数量关系.