2020-2021学年人教版八年级下册 18.1.2 第三课时 三角形的中位线数学课件（39张ppt）

(共39张PPT)
数
学
人教˙八年级（下册）
18
平行四边形
18.1.2
平行四边形的判定
第三课时
三角形的中位线
课时目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理。
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题。
情景导入
平行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
?AB∥CD,
AD∥BC
?AB=CD,
AD=BC
?AB∥CD,
AD=BC
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
AO=CO,DO=BO
判定
性质
探究新知
三角形的中位线定理
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.
探究新知
问题1
一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2
三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.
A
B
C
D
E
F
探究新知
问题3
如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
探究新知
平行
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
线段相等
分析1：
D
E
猜想：
三角形的中位线平行于三角形的
第三边且等于第三边的一半．
如何证明你的猜想？
角
平行四边形
或
探究新知
分析2：
D
E
互相平分
构造
平行四边形
倍长DE
探究新知
证明：
D
E
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC
．
∵AE=EC，DE=EF
，
∴四边形ADCF是平行四边形．
F
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF
AD
,
∴CF
BD
,
又∵
，
∴DF
BC
．
∴DE∥BC，
．
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，
求证：
探究新知
D
E
证明：延长DE到F，使EF=DE．
F
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE=∠F，AD=CF,
连接FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
证法2：
∴BD
CF．
又∵
，
∴DF
BC
．
∴DE∥BC，
．
∴CF
AD
,
探究新知
归纳总结
D
E
符号语言：
△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
则DE∥BC，DE=
BC．
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
探究新知
重要发现：
①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
A
B
C
D
E
F
探究新知
例1
如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
探究新知
例2
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
探究新知
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=
AB，PN=
DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180°?130°)÷
2
=25°．
探究新知
例3
如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
探究新知
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
F
恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
巩固练习
1.
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1）
若DE=5，则BC=
．
（2）
若∠B=65°，则∠ADE=
°．
（3）
若DE+BC=12，则BC=
．
10
65
8
巩固练习
2.如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为______m．
N
M
40
探究新知
三角形的中位线的与平行四边形的综合运用
例4
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
四边形问题
分析：
探究新知
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴
EF∥HG,
EF=HG.
∴EF∥AC,
HG∥AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
探究新知
【变式题】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
探究新知
证明：如图，连接BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线，
FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH=
BD，FG∥BD且FG=
BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
探究新知
证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥
BC，DE=
BC.
∵CF=
BC，
∴DE=FC；
例5
如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=
BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
探究新知
（2）求EF的长．
解：∵DE∥FC，DE=FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴EF=DC=
．
巩固练习
1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（　　）
A.8
B.10
C.12
D.16
D
巩固练习
2.如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．
解：∵?ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=
CD，
∴OE=
BC，
∴△DOE的周长为OD+OE+DE=
（BD+BC+CD）=15，
即△DOE的周长为15．
巩固练习
1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（　　）
A.1
B.2
C.4
D.8
C
巩固练习
2.如图，在?ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（　　）
A.2
B.3
C.4
D.5
C
巩固练习
3.如图，点
D、E、F
分别是
△ABC
的三边AB、BC、AC的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B=
°；
（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△
DEF的周长为
.
50
15
A
B
C
D
F
E
巩固练习
4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、
BD、
AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是
.
A
B
D
C
E
F
G
H
11
巩固练习
5.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于
点F，E为BC的中点，求DE的长．
解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴AB=AF=6，BD=DF，
∴CF=AC-AF=4，
∵BD=DF，E为BC的中点，
∴DE=
CF=2．
巩固练习
6.如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
巩固练习
解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵CE＝DC，
∴AB＝CE,
∴△ABF≌△ECF(ASA)，
∴BF＝CF.∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB∥OF，AB＝2OF.
巩固练习
7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
巩固练习
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴
∴EG∥AC,
FG∥BD,
G
课堂小结
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
谢谢观看