2020-2021学年人教版八年级数学下册18.1平行四边形经典好题专题提升训练（Word版，附答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版八年级数学下册18.1平行四边形经典好题专题提升训练（Word版，附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 318.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-08 00:07:50 | ||
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文档简介
2020-2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》经典好题专题提升训练（附答案）
1．如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．120°
B．100°
C．110°
D．90°
2．如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边作?ABED，则∠E的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．65°
D．70°
3．?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数比可能是（ ）
A．1：1：2：3
B．1：2：1：2
C．1：1：2：2
D．1：2：2：1
4．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．AB∥AD，AO＝CO
C．AB＝AD，BC＝CD
D．AB∥CD，AD＝BC
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（ ）
A．6.5
B．6
C．5.5
D．
6．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．4
7．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（ ）A．4.5
B．9
C．10
D．12
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．2
9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
10．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．22
B．26
C．22或26
D．13
11．如图，在?ABCD中，M是BC的中点，且AM＝5，BD＝12，AD＝，则?ABCD的面积为（ ）
A．20
B．40
C．62
D．72
12．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EP于D，BE＝3，DF＝1，则BC的长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
13．已知点A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3），以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是
．
14．如图，若?ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，?ABCD的面积为
cm2．
15．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是
．
16．?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为
cm．
17．在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD＝
．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为
．
19．如图，?ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为
．
20．如图，在?ABCD中，P为CD上一点，BC＝BP，BP平分∠ABC，∠ABD＝43°，则∠APB的度数是
度．
21．在?ABCD中，AB＝4，AD＝5，则AC2+BD2的值为
．
22．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为
平方单位．
23．平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为
．
24．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是
．
25．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
26．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且直线AB与DC之间的距离为4，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP+∠PAB，求AP的长度．
27．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．
28．如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DE＝EF，连接CF，CF∥AB．
（1）如图1，求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）如图2，若AB＝AC，请直接写出图中与线段CF相等的所有线段．
29．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．
30．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．
（1）求证：CD＝EF；
（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的周长．
31．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
32．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．
（1）如图1，求证：EG＝FC；
（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB＝∠1＝20°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．
故选：C．
2．解：∵∠C＝50°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵四边形ABED是平行四边形，
∴∠E＝∠A＝65°．
故选：C．
3．解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知B正确．
故选：B．
4．解：能判定四边形ABCD是平行四边形的是∠A＝∠C，∠B＝∠D，理由如下：
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：A．
5．解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
则BC＝＝＝12，
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE＝BC＝6，
故选：B．
6．解：连接OE，如图所示：
∵2AB＝BC＝4，
∴AB＝2，
∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，
∵以AC为斜边作Rt△ACE，
∴OE＝OA＝OC＝AC，
∵BE⊥DE，
∴OE＝OB＝OD＝BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝2，
故选：A．
7．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，
∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，
∴△DEF的周长＝++3＝9，
故选：B．
8．解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故选：D．
9．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．
10．解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，
根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，
当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；
当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，
故选：C．
11．解：过D作DE∥AM交BC的延长线于E．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵DE∥AM，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴AD＝ME，AM＝DE，
∵M是BC的中点，AD＝，
∴MB＝BC＝，
∴BE＝BM+ME＝13，
∵四边形AMED是平行四边形，
∴AM＝DE＝5，
∵BD＝12，
∴52+122＝132，
∴△DBE为直角三角形．
∴BE边上的高为
＝，
∴平行四边形ABCD的面积为×＝40．
故选：B．
12．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，BC＝2EF，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴ED＝EB＝3，
∴EF＝ED+DF＝4，
∴BC＝2EF＝8，故选：D．
13．解：如图，
以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1；
以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2′；
以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（7，3）就是第四个顶点D3；
∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3），
故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3）．
14．解：∵?ABCD的周长为36cm，
∴AB+BC＝18cm①，
∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，
∴4AB＝5BC②，
由①②得：AB＝10cm，BC＝8cm，
∴?ABCD的面积为：AB?DE＝40（cm2）．
故答案为：40．
15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，
又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，
∴，
两个方程相加，得AB＝19（cm）．
故答案为：19．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∴OA＝AC＝，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2；
故答案为：2．
18．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，
∴∠CBH＝45°，BC＝4，
又∵∠H＝90°，
∴∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝4，
设AE＝x，则BE＝8﹣x，
∵EF垂直平分AC，
∴CE＝AE＝x，
∵在Rt△CEH中，CH2+EH2＝EC2，
∴42+（8﹣x+4）2＝x2，
解得x＝，
∴AE的长为．
故答案为：．
19．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣52°＝128°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD＝64°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝180°﹣64°＝116°；
故答案为：116°．
20．证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD＝BC，
∴∠ABP＝∠BPC，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠BPC＝∠CBP，
∵BC＝BP，
∴∠BPC＝∠C，
∴∠CBP＝∠BPC＝∠C，
∴BC＝BP＝PC，
∴△BPC是等边三角形，
∴∠BPC＝∠PBC＝∠ABP＝∠BAD＝60°，
∴四边形DPBA是等腰梯形，
∴∠PAB＝∠ABD＝43°，
∴∠APB＝180°﹣60°﹣43°＝77°．
故答案为：77．
21．解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
设BE＝CF＝x，AE＝DF＝y，
则
AC2+BD2＝（5﹣x）2+y2+（5+x）2+y2＝50+2x2+2y2＝50+2×42＝82．
故答案为：82．
22．解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF?DG＝××4＝2．
故答案为：2．
23．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．
由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，
∵AB＝12，BC＝26，AE＝8，
∴26×8＝12×AF，
∴AF＝，
即AB与CD间的距离为．
故答案是：．
24．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝2，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠OCD＝∠BAC，∠BCO＝∠DAC＝30°，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠OCD＝∠BAC＝75°﹣30°＝45°，
分三种情况：
①当点P在BC上，∠POC＝90°时，如图1所示：
∵∠BCO＝30°，
∴OP＝OC＝，CP＝2OP＝；
②当点P在BC上，∠OPC＝90°时，如图2所示：
∵∠BCO＝30°，
∴OP＝OC＝1，CP＝OP＝；
③当点P在CD上，∠OPC＝90°时，如图3所示：
∵∠OCD＝45°，
∴△OPC是等腰直角三角形，
∴CP＝OC＝；
综上所述，若△OPC是直角三角形，则CP的长是或或，
故答案为：或或．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
26．解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
∵BD＝CD，
∴BD＝BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN＝AM＝4，
又∵∠ABD＝∠MAP+∠PAB，∠ABD＝∠P+∠BAP，
∴∠P＝∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP＝AM＝8．
27．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，
∴AF＝BC，
在Rt△AFD和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），
∴DF＝AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，
∴DF＝AE，
又∵DF⊥AB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．
28．（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，
又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，且CF∥BD，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）解：与线段CF相等的所有线段为AD、BD、AE、CE；理由如下：
由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，
∵AB＝AC，
∴BD＝AD＝AE＝CE＝CF．
29．（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CD∥AB，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
，
∵∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又∵CD∥AB，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：
则∠CMB＝∠CMA＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∴∠B＝180°﹣135°＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BM＝CM，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+AM＝6，
解得：AM＝3﹣3，
∴AC＝2AM＝6﹣6．
30．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴EF＝BD，
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∴CD＝EF；
（2）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠DBE，
又∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，
∴∠FEB＝∠DBE，
∴∠FBE＝∠BEF，
∴BF＝EF，
∴BD＝EF＝BF＝ED，
又∵BD＝CD＝6，
∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，
∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．
31．（1）证明：∵D，E为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF；
（2）解：由（1）可知，DE∥BC，DE＝CF，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF＝DC，
在等边△ABC中，D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴CD＝BC?sin60°＝2，
∴EF＝2．
32．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝FC，
∵EG＝AE，
∴EG＝FC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，
∵EG＝AE，点E为OB的中点，
∴AG、OB互相平分，
∴四边形ABGO是平行四边形，
∴S△ABO＝S△BGO，
∴S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵OA＝OC，EG＝AE，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴BG∥AC，
∴四边形BOCG是平行四边形，
∴S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴GO∥AB，GO＝AB，
∵AB∥CD，
∴GO∥CD，GO＝CD，
∴四边形CDOG是平行四边形，
∴S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴EF＝BD＝OD，
∵四边形CDOG是平行四边形，
∴CG∥EF，CG＝OD，
∴EF＝CG，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD，
∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
1．如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．120°
B．100°
C．110°
D．90°
2．如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边作?ABED，则∠E的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．65°
D．70°
3．?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数比可能是（ ）
A．1：1：2：3
B．1：2：1：2
C．1：1：2：2
D．1：2：2：1
4．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．AB∥AD，AO＝CO
C．AB＝AD，BC＝CD
D．AB∥CD，AD＝BC
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（ ）
A．6.5
B．6
C．5.5
D．
6．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．4
7．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（ ）A．4.5
B．9
C．10
D．12
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．2
9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
10．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．22
B．26
C．22或26
D．13
11．如图，在?ABCD中，M是BC的中点，且AM＝5，BD＝12，AD＝，则?ABCD的面积为（ ）
A．20
B．40
C．62
D．72
12．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EP于D，BE＝3，DF＝1，则BC的长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
13．已知点A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3），以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是
．
14．如图，若?ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，?ABCD的面积为
cm2．
15．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是
．
16．?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为
cm．
17．在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD＝
．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为
．
19．如图，?ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为
．
20．如图，在?ABCD中，P为CD上一点，BC＝BP，BP平分∠ABC，∠ABD＝43°，则∠APB的度数是
度．
21．在?ABCD中，AB＝4，AD＝5，则AC2+BD2的值为
．
22．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为
平方单位．
23．平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为
．
24．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是
．
25．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
26．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且直线AB与DC之间的距离为4，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP+∠PAB，求AP的长度．
27．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．
28．如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DE＝EF，连接CF，CF∥AB．
（1）如图1，求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）如图2，若AB＝AC，请直接写出图中与线段CF相等的所有线段．
29．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．
30．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．
（1）求证：CD＝EF；
（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的周长．
31．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
32．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．
（1）如图1，求证：EG＝FC；
（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB＝∠1＝20°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．
故选：C．
2．解：∵∠C＝50°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵四边形ABED是平行四边形，
∴∠E＝∠A＝65°．
故选：C．
3．解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知B正确．
故选：B．
4．解：能判定四边形ABCD是平行四边形的是∠A＝∠C，∠B＝∠D，理由如下：
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：A．
5．解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
则BC＝＝＝12，
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE＝BC＝6，
故选：B．
6．解：连接OE，如图所示：
∵2AB＝BC＝4，
∴AB＝2，
∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，
∵以AC为斜边作Rt△ACE，
∴OE＝OA＝OC＝AC，
∵BE⊥DE，
∴OE＝OB＝OD＝BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝2，
故选：A．
7．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，
∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，
∴△DEF的周长＝++3＝9，
故选：B．
8．解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故选：D．
9．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．
10．解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，
根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，
当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；
当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，
故选：C．
11．解：过D作DE∥AM交BC的延长线于E．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵DE∥AM，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴AD＝ME，AM＝DE，
∵M是BC的中点，AD＝，
∴MB＝BC＝，
∴BE＝BM+ME＝13，
∵四边形AMED是平行四边形，
∴AM＝DE＝5，
∵BD＝12，
∴52+122＝132，
∴△DBE为直角三角形．
∴BE边上的高为
＝，
∴平行四边形ABCD的面积为×＝40．
故选：B．
12．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，BC＝2EF，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴ED＝EB＝3，
∴EF＝ED+DF＝4，
∴BC＝2EF＝8，故选：D．
13．解：如图，
以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1；
以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2′；
以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（7，3）就是第四个顶点D3；
∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3），
故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3）．
14．解：∵?ABCD的周长为36cm，
∴AB+BC＝18cm①，
∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，
∴4AB＝5BC②，
由①②得：AB＝10cm，BC＝8cm，
∴?ABCD的面积为：AB?DE＝40（cm2）．
故答案为：40．
15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，
又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，
∴，
两个方程相加，得AB＝19（cm）．
故答案为：19．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∴OA＝AC＝，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2；
故答案为：2．
18．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，
∴∠CBH＝45°，BC＝4，
又∵∠H＝90°，
∴∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝4，
设AE＝x，则BE＝8﹣x，
∵EF垂直平分AC，
∴CE＝AE＝x，
∵在Rt△CEH中，CH2+EH2＝EC2，
∴42+（8﹣x+4）2＝x2，
解得x＝，
∴AE的长为．
故答案为：．
19．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣52°＝128°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD＝64°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝180°﹣64°＝116°；
故答案为：116°．
20．证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD＝BC，
∴∠ABP＝∠BPC，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠BPC＝∠CBP，
∵BC＝BP，
∴∠BPC＝∠C，
∴∠CBP＝∠BPC＝∠C，
∴BC＝BP＝PC，
∴△BPC是等边三角形，
∴∠BPC＝∠PBC＝∠ABP＝∠BAD＝60°，
∴四边形DPBA是等腰梯形，
∴∠PAB＝∠ABD＝43°，
∴∠APB＝180°﹣60°﹣43°＝77°．
故答案为：77．
21．解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
设BE＝CF＝x，AE＝DF＝y，
则
AC2+BD2＝（5﹣x）2+y2+（5+x）2+y2＝50+2x2+2y2＝50+2×42＝82．
故答案为：82．
22．解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF?DG＝××4＝2．
故答案为：2．
23．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．
由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，
∵AB＝12，BC＝26，AE＝8，
∴26×8＝12×AF，
∴AF＝，
即AB与CD间的距离为．
故答案是：．
24．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝2，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠OCD＝∠BAC，∠BCO＝∠DAC＝30°，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠OCD＝∠BAC＝75°﹣30°＝45°，
分三种情况：
①当点P在BC上，∠POC＝90°时，如图1所示：
∵∠BCO＝30°，
∴OP＝OC＝，CP＝2OP＝；
②当点P在BC上，∠OPC＝90°时，如图2所示：
∵∠BCO＝30°，
∴OP＝OC＝1，CP＝OP＝；
③当点P在CD上，∠OPC＝90°时，如图3所示：
∵∠OCD＝45°，
∴△OPC是等腰直角三角形，
∴CP＝OC＝；
综上所述，若△OPC是直角三角形，则CP的长是或或，
故答案为：或或．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
26．解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
∵BD＝CD，
∴BD＝BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN＝AM＝4，
又∵∠ABD＝∠MAP+∠PAB，∠ABD＝∠P+∠BAP，
∴∠P＝∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP＝AM＝8．
27．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，
∴AF＝BC，
在Rt△AFD和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），
∴DF＝AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，
∴DF＝AE，
又∵DF⊥AB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．
28．（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，
又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，且CF∥BD，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）解：与线段CF相等的所有线段为AD、BD、AE、CE；理由如下：
由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，
∵AB＝AC，
∴BD＝AD＝AE＝CE＝CF．
29．（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CD∥AB，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
，
∵∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又∵CD∥AB，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：
则∠CMB＝∠CMA＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∴∠B＝180°﹣135°＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BM＝CM，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+AM＝6，
解得：AM＝3﹣3，
∴AC＝2AM＝6﹣6．
30．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴EF＝BD，
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∴CD＝EF；
（2）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠DBE，
又∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，
∴∠FEB＝∠DBE，
∴∠FBE＝∠BEF，
∴BF＝EF，
∴BD＝EF＝BF＝ED，
又∵BD＝CD＝6，
∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，
∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．
31．（1）证明：∵D，E为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF；
（2）解：由（1）可知，DE∥BC，DE＝CF，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF＝DC，
在等边△ABC中，D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴CD＝BC?sin60°＝2，
∴EF＝2．
32．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝FC，
∵EG＝AE，
∴EG＝FC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，
∵EG＝AE，点E为OB的中点，
∴AG、OB互相平分，
∴四边形ABGO是平行四边形，
∴S△ABO＝S△BGO，
∴S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵OA＝OC，EG＝AE，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴BG∥AC，
∴四边形BOCG是平行四边形，
∴S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴GO∥AB，GO＝AB，
∵AB∥CD，
∴GO∥CD，GO＝CD，
∴四边形CDOG是平行四边形，
∴S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴EF＝BD＝OD，
∵四边形CDOG是平行四边形，
∴CG∥EF，CG＝OD，
∴EF＝CG，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD，
∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．