七年级数学5.1.2 垂线
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第五章 相交线与平行线
5.1.2 垂线
重庆市开县西街中学 罗堂喜
5.1 相交线
创设情境
跳水运动员的入水姿势
b b b
a a a
水平面
无水花 水花小 水花大
入水方向
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
一、垂直的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
例如、 如图，a、b互相垂直,O叫垂足，a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
b
a
O
1、垂直的定义
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角即可。
α
b
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
O
2、垂直的记法和读法：
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为： a⊥b或b⊥a, 读作a垂直于b或b垂直于a
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
3.垂直的书写形式：
∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，如下图所示，你能再举出其他例子吗？
二、生活中的垂直
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
某些标志等
某些建筑物等
1、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=125°,
求∠COE的度数.
A
C
E
B
D
O
1
）
简析：
∠COE=∠COB－∠EOB
＝∠1－90°
=125 °－90 °
= 35°
思考：还有其他方法吗？
三、应用举例
2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=75°,求∠EOD的度数.
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义).
∴ ∠EOD=∠EOB+∠BOD
=90°+75°=165°.
A
C
E
B
D
O
1
(
解:
∵ AB⊥OE （已知）,
∵∠BOD=∠1=75°（对顶角相等）,
3、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
∵BO⊥AC于O点
1
2
A
B
C
D
O
）
)
（已知）
∵∠ABC=90°( )
∠1=60° （ ）
已知
∴∠ABO=30°
解：
（已知）
∴∠BOC=90°
∴∠BOD=30°
（互余的定义）
（互余的定义）
已知
（垂直的定义）
又∵∠2=∠1
∴∠2=60°
（等量代换）
四、垂线的画法
问题：
怎么样画垂线？
一条直线的垂线有无数条.
1、 已知一条直线，你能画出它的垂线吗？能画多少条？
o
1. 放
2. 靠
3. 移
4. 画
过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2、过直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
o
1. 放
2. 靠
3. 移
4. 画
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3、 过直线外一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：
垂线的性质1：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
E
E
E
4、 如图，请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线.
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
P
请你画图，把这个问题转化为数学问题.
思考： 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
五、垂线段及点到直线的距离
如图PO⊥l ，我们称PO为点P到直线l 的垂线段.
∟
P
0
A
B
C
D
E
F
l
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.即：
垂线的性质2：
垂线段最短
∟
P
0
A
B
C
D
E
F
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
如图，线段PO的长度即为点
P 到直线 l 的距离.
点到直线的距离
0
.
注意：距离是个数量.
P
.
∟
l
∟
∟
∟
∟
（1）AB与AC互相垂直；
（2）AD与AC互相垂直；
（3）点C到AB的垂线段是线段AB；
（4）点A到BC的距离是线段AD;
（5）线段AB的长度是点B到AC的距离；
（6）线段AB是点B到AC的距离.
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
巩固运用
1.如图，∠BAC = 90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论：
B
2．下面判断两条直线垂直的方法正确个数是 [ ]
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．
(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．
(3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．
(4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．
A．4 B．3 C．2 D．1
A
3．两条直线相交所成的四个角中，下列条 件中能判定两条直线垂直的是 [ ]
A．有两个角相等 B．有两对角相等
C．有三个角相等 D．有四对邻补角
4．两个角的平分线相互垂直的有 [ ]
A．两角互补； B．两角互为对顶角；
C．两角都是直角； D．两角为邻补角
C
D
4 ．课本P5练习2
中考链接
(2010宁波)如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是（ ）
B
A.125° B.135° C.145° D.155°
1.若直线m、n相交于点O，
∠1＝90°，则__________。
2.若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD＝____。
3.如图，BO⊥AO，∠BOC
与∠BOA的度数之比为1:5，
那么∠COA＝_____,
∠BOC的补角为______度。
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162
当堂测试
4.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ ）.
A B C D
C
当堂测试
5. △ABC中，∠C=90°， △ABC的三条边AB、BC、CA哪条边最长？为什么？
A
B
C
1．垂线的定义；
2．垂线的性质1：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
3．垂线的性质2：垂线段最短;
4. 点到直线的距离.
反思总结
方法归纳
2
利用垂直概念和性质可以解决一类求角度的问题。
1．阅读本节课的教材.
2．习题5.1第3、4、5、6、9、10题.
布置作业
第五章 相交线与平行线
5.1.2 垂线
重庆市开县西街中学 罗堂喜
5.1 相交线
创设情境
跳水运动员的入水姿势
b b b
a a a
水平面
无水花 水花小 水花大
入水方向
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
一、垂直的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
例如、 如图，a、b互相垂直,O叫垂足，a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
b
a
O
1、垂直的定义
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角即可。
α
b
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
O
2、垂直的记法和读法：
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为： a⊥b或b⊥a, 读作a垂直于b或b垂直于a
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
3.垂直的书写形式：
∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，如下图所示，你能再举出其他例子吗？
二、生活中的垂直
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
某些标志等
某些建筑物等
1、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=125°,
求∠COE的度数.
A
C
E
B
D
O
1
）
简析：
∠COE=∠COB－∠EOB
＝∠1－90°
=125 °－90 °
= 35°
思考：还有其他方法吗？
三、应用举例
2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=75°,求∠EOD的度数.
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义).
∴ ∠EOD=∠EOB+∠BOD
=90°+75°=165°.
A
C
E
B
D
O
1
(
解:
∵ AB⊥OE （已知）,
∵∠BOD=∠1=75°（对顶角相等）,
3、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
∵BO⊥AC于O点
1
2
A
B
C
D
O
）
)
（已知）
∵∠ABC=90°( )
∠1=60° （ ）
已知
∴∠ABO=30°
解：
（已知）
∴∠BOC=90°
∴∠BOD=30°
（互余的定义）
（互余的定义）
已知
（垂直的定义）
又∵∠2=∠1
∴∠2=60°
（等量代换）
四、垂线的画法
问题：
怎么样画垂线？
一条直线的垂线有无数条.
1、 已知一条直线，你能画出它的垂线吗？能画多少条？
o
1. 放
2. 靠
3. 移
4. 画
过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2、过直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
o
1. 放
2. 靠
3. 移
4. 画
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3、 过直线外一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：
垂线的性质1：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
E
E
E
4、 如图，请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线.
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
P
请你画图，把这个问题转化为数学问题.
思考： 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
五、垂线段及点到直线的距离
如图PO⊥l ，我们称PO为点P到直线l 的垂线段.
∟
P
0
A
B
C
D
E
F
l
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.即：
垂线的性质2：
垂线段最短
∟
P
0
A
B
C
D
E
F
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
如图，线段PO的长度即为点
P 到直线 l 的距离.
点到直线的距离
0
.
注意：距离是个数量.
P
.
∟
l
∟
∟
∟
∟
（1）AB与AC互相垂直；
（2）AD与AC互相垂直；
（3）点C到AB的垂线段是线段AB；
（4）点A到BC的距离是线段AD;
（5）线段AB的长度是点B到AC的距离；
（6）线段AB是点B到AC的距离.
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
巩固运用
1.如图，∠BAC = 90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论：
B
2．下面判断两条直线垂直的方法正确个数是 [ ]
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．
(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．
(3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．
(4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．
A．4 B．3 C．2 D．1
A
3．两条直线相交所成的四个角中，下列条 件中能判定两条直线垂直的是 [ ]
A．有两个角相等 B．有两对角相等
C．有三个角相等 D．有四对邻补角
4．两个角的平分线相互垂直的有 [ ]
A．两角互补； B．两角互为对顶角；
C．两角都是直角； D．两角为邻补角
C
D
4 ．课本P5练习2
中考链接
(2010宁波)如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是（ ）
B
A.125° B.135° C.145° D.155°
1.若直线m、n相交于点O，
∠1＝90°，则__________。
2.若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD＝____。
3.如图，BO⊥AO，∠BOC
与∠BOA的度数之比为1:5，
那么∠COA＝_____,
∠BOC的补角为______度。
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162
当堂测试
4.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ ）.
A B C D
C
当堂测试
5. △ABC中，∠C=90°， △ABC的三条边AB、BC、CA哪条边最长？为什么？
A
B
C
1．垂线的定义；
2．垂线的性质1：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
3．垂线的性质2：垂线段最短;
4. 点到直线的距离.
反思总结
方法归纳
2
利用垂直概念和性质可以解决一类求角度的问题。
1．阅读本节课的教材.
2．习题5.1第3、4、5、6、9、10题.
布置作业