7.3.1离散型随机变量的均值—2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册第七章随机变量及其分布同步习题（Word含解析）

离散型随机变量的均值
1．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
0
1
2
P
0.3
3k
4k
随机变量η＝2ξ＋1，则η的数学期望是(　　)
A．1.1
B．3.2
C．11k
D．22k＋1
2．设随机变量X的分布列如下表所示：
X
－1
0
1
2
P
则E(X2)的值是(　　)
A．
B．
C．
D．
3．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1
000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1
000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定(　　)
A．甲比乙质量好
B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同
D．无法判定
4．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜，但其中只有一把钥匙可以打开保险柜，平均来说打开保险柜需要试开的次数为(　　)
A．n
B．
C．
D．2n
5．若离散型随机变量ξ的取值分别为m，n，且P(ξ＝m)＝n，P(ξ＝n)＝m，E(ξ)＝，则m2＋n2的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
6．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　)
A．
B．
C．
D．
7．李老师从课本上抄录了一个随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
1
2
3
P
！
？
！
请小王同学计算ξ的数学期望，尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同，则E(ξ)＝________．
8．一个射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6.现有4颗子弹，最后剩余的子弹数目ξ的数学期望为________．
9．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、均值；
(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．
10．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，乙厂执行标准B生产该产品，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的分布列如下表所示：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品，从该厂生产的产品中随机抽取10件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3，5，4，6，8，5，5，6，3，4，从这10件产品中随机抽取两件(不放回抽样)，求这两件产品中符合标准A的产品数ξ的分布列和数学期望．
能力提高
11．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p
则E(ξ)的最大值为(　　)
A．1
B．
C．
D．2
12．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(　　)
A．39元
B．37元
C．20元
D．元
13．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项，－140元为公差的等差数列，则参与该游戏获得奖金的数学期望为________元．
14．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品．用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受．抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数ξ的数学期望是________．
15．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业售出每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故
障时间x/年
01x>2
0x>2
轿车数量/辆
2
3
45
5
45
每辆利润/万元
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记出售一辆甲品牌轿车的利润为X1万元，出售一辆乙品牌轿车的利润为X2万元，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
16．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．2
1．解析：由0.3＋3k＋4k＝1，得k＝0.1，所以E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，所以E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×1.1＋1＝3.2.故选B.
答案：B
2．解析：依题意X2的分布列为
X2
0
1
4
P
∴E(X2)＝0×＋×＋1×＋4×＝.故选C.
答案：C
3．解析：E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7，
由于E(Y)>E(X)，故甲比乙质量好．故选A.
答案：A
4．解析：由题意得，每一位学生打开保险柜的概率为，所以打开保险柜需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×＋2×＋…＋n×＝.故选B.
答案：B
5．解析：由题意知，随机变量ξ的分布列为
ξ
m
n
P
n
m
所以
解得或
所以m2＋n2＝.
答案：C
6．解析：根据题意易知X＝0，1，2，3.分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.故选B.
答案：B
7．解析：设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1，
又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2×1＝2.
答案：2
8．解析：由题知，P(ξ＝0)＝0.4×0.4×0.4＝0.064，P(ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P(ξ＝3)＝0.6.
故最后剩余的子弹数目ξ的数学期望E(ξ)＝0×0.064＋1×0.096＋2×0.24＋3×0.6＝2.376.
答案：2.376
9．解析：(1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又E(ξ)＝，则a×＋4＝1，∴a＝－2.
10．解析：(1)由题意得
解得
(2)由题知ξ＝0，1，2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
所以符合标准A的产品数ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
11．解析：由p≥0，－p≥0得，0≤p≤，则E(ξ)＝p＋1≤.故选B.
答案：B
12．解析：记生产一件产品可获利ξ元，则随机变量ξ的分布列为
ξ
50
30
－20
P
0.6
0.3
0.1
∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37(元)，故选B.
答案：B
13．解析：由题意得，获得一、二、三等奖的概率分别为a1、2a1、4a1，由a1＋2a1＋4a1＝1，得a1＝，一、二、三等奖相应获得的奖金分别为700元，700－140＝560元，700－140×2＝420元，所以E(X)＝×700＋×560＋×420＝500元．
答案：500
14．解析：根据题意，用户抽检次数的可能取值为1，2，3，那么可知P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝，故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：
15．解析：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
(3)由(2)，得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元).
因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
16．解析：设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值为0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以0×＋1×＋2×＝，解得x＝3.故选A.
答案：A