2020-2021学年高中数学人教A版必修5第三章3.2 一元二次不等式及其解法（2）课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
3.2一元二次不等式及其解法（2）
——一元二次不等式恒成立问题
普通高中课程标准实验教科书
人民教育出版社
A版
数学
必修5
3.2一元二次不等式及其解法---恒成立问题的解决
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
?
?
?
方程ax2＋bx＋c=0
(a>0)
的根
有两相异实根
x1，x2(x1有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
复习：一元二次不等式的解集
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x1<
x?
?
一元二次不等式的解法---在R上的恒成立问题
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是：
探
究
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c
≥
0恒成立的条件是：
3.一元二次不等式ax2＋bx＋c
<
0恒成立的条件是：
4.一元二次不等式ax2＋bx＋c
≤
0恒成立的条件是：
O
x
y
一元二次不等式的解法---在R上的恒成立问题
例1　已知函数f?(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f?(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.
当m＝0时，f?(x)＝－1<0恒成立.
综上，－4解：
“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是(
)
1
2
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∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
A
在R上的恒成立问题---练习
练习1
解：
∴不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在x轴
方.
区间[a，b]
是不等式f(x)>0的解集的
.
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：
f(x)≤k恒成立?
≤k；
f(x)≥k恒成立?
≥k.
一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是:
上
子集
f(x)max
f(x)min
在给定区间上的恒成立问题
y
x
a
b
O
y=f(x)
例2　已知函数f?(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f?(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围.
一元二次不等式的解法---在给定区间上恒成立问题
解　要使f?(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即mx2－mx－1<
－m＋5,
【法一】令g(x)=mx2－mx+m－6,
x∈[1,3]，
只需求g(x)max即可
当m>0时，
g(x)的对称轴为
,
g(x)在[1,3]上是增函数，
故g(x)max＝g(3)，
即7m－6<0，
当m<0时，
g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)，
即m－6<0，
m<6，
所以m<0.
综上所述，m的取值范围是
mx2－mx+m－6<
0,在x∈[1,3]上恒成立.
当m＝0时，g(x)=－6<0恒成立；
若将“f?(x)<5－m恒成立”改为“f?(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？
例2　已知函数f?(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f?(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围.
一元二次不等式的解法---在给定区间上恒成立问题
解
要使f?(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即mx2－mx－1<
－m＋5,
mx2－mx+m－6<
0,在x∈[1,3]上恒成立.
【法二】
只需m变式练习
解　若f?(x)<5－m无解，即f?(x)≥5－m恒成立，
只需m≥ymax即可
即m
∈
[6，＋∞).
一元二次不等式及其解法---给定参数范围的恒成立问题
例3　若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.
解　设g(m)＝mx2－mx－1
＝(x2－x)m－1
其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，
解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
(1)若当x∈R时，f?(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2,2]时，f?(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4,6]时，f?(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
三类恒成立问题---跟踪训练
跟踪训练　函数f?(x)＝x2＋ax＋3.
解　∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2].
(1)若当x∈R时，f?(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
跟踪训练　函数f?(x)＝x2＋ax＋3.
解　由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，
则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2]).
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，
解得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2；
解得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2].
跟踪训练　函数f?(x)＝x2＋ax＋3.
(2)若当x∈[－2,2]时，f?(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4,6]时，f?(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
解　令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立.
跟踪训练　函数f?(x)＝x2＋ax＋3.
3.2一元二次不等式及其解法---恒成立问题的解决
借助二次函数图像
转化为求函数最值法
先分离参数，再转化为求函数最值
变换主元法