山东省郓城县高中2020-2021学年高二下学期3月开学收心考试数学试卷 Word版含解析

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郓城县高中2020-2021学年高二下学期3月开学收心考试
数学试题 2021年3月
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.已知直线l经过点P（﹣1，2），且倾斜角为135°，则直线l的方程为（　　）
A．x+y﹣3＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y+3＝0
2.若直线mx+2y﹣2＝0与直线x+（m﹣1）y+2＝0平行，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2或﹣1 D．2
3.圆心为点C（1，﹣1），且在直线4x﹣3y﹣2＝0上截得的弦长为2的圆的方程为（　　）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4
C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝4
4.若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则实数m＝（　　）
A．﹣24 B．﹣16 C．24 D．16
5.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则（　　）
A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1
6.数列的前项和为，若，则　　
A．1 B． C． D．
7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
8.已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，A、B两点是椭圆E上关于y轴对称的
点，若△ABF能构成一个内角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率e＝（　　）
B．
C．﹣1 D．2﹣
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分,部分选对得3分,错选得0分．
9.已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（　　）
A．x﹣y+2＝0 B．x+y﹣6＝0 C．x＝2 D．2x﹣y＝0
10.椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
11.若直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，则实数k的值可以为（　　）
A．2 B．1 C． D．
12.已知F1，F2椭圆的左右焦点，|F1F2|＝4，点在椭圆
C上，P是椭圆C上的动点，则的值可以为（　　）
A．4 B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．
异面直线与所成角的余弦值为 ．
14.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
15.过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．
16.直线y＝kx+k与焦点在y轴上的椭圆+＝1总有两个公共点，则实数m的取值范围
是　 　．
三、解答题：本大题共题，共分.
17.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．
18.已知等差数列的前项和为，，；各项均为正数的等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．
19.已知椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，设直线y＝x+2交椭圆C于A、B两点．求：
（Ⅰ）椭圆C的标准方程；（Ⅱ）弦AB的中点坐标及弦长．
20.如图，平面，，，，，．
（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求线段的长．
21.已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C交于A，B，与x轴的交点为P.
（Ⅰ）若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；（Ⅱ）若＝3，求|AB|.
22.设点M和N分别是椭圆C：＝1（a＞0）上不同的两点，线段MN最长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线MN过点Q（0，2），且＞0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．
2021年2月收心考试数学答案
1.解：∵直线l的倾斜角为135°，∴斜率＝tan135°＝﹣1，
又直线l过点（﹣1，2），∴直线的点斜式为y﹣2＝﹣1（x+1），即x+y﹣1＝0．故选：B．
2.，所以m＝2．故选：D．
3.解：圆心C到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离d＝，
又圆截直线4x﹣3y﹣2＝0所得的弦长为2，∴圆的半径r＝．
则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：D．
4.解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径为R＝2，
圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，圆心为（3，4），半径r＝
若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则有|C1C2|＝＝5＝2+，
解可得m＝16，故选：D．
5.解：设等比数列的公比为q，∵a5﹣a3＝12，∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），∴q＝2，
∴a1q4﹣a1q2＝12，∴12a1＝12，∴a1＝1，
∴2n﹣1，an＝2n﹣1，∴2﹣21﹣n，故选：B．
6.解：数列的前项和为，，
所以：．故选：．
7.解：选B，由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，a＝4，b＝3，双曲线的标准方程为－＝1.
8.解：如图，设椭圆E的右焦点为F'，连接BF'，则四边形FABF'为等腰梯形，其中，∴，，，
∴在焦点三角形△FF′B中，，
即椭圆E的离心率为．故选：C．
9.解：当直线l过原点时，直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；
当直线l不过原点时，设直线方程为x+y＝m，则m＝2+4＝6，
∴直线方程为x+y﹣6＝0．∴直线l的方程可能为2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0．故选：BD．
10.解：根据题意，要求椭圆经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，分2种情况讨论：
①椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝，此时椭圆的方程为，
②椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，则a＝6，此时椭圆的方程为；故选AC．
11.解：如图：原点O到直线直线l的方程为kx﹣y+．
的距离d＝，解得k＝0或k＝．
由图可知，要使直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，
则实数k的取值范围是．故选：BCD．
12.解：由题意c＝2，＝1，a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝4，椭圆方程为,
可得F1（﹣2，0），设P（x，y）则：，所以可得：x2＝8﹣2y2，
则＝（2﹣x，﹣y）（﹣2﹣x，﹣y）＝x2﹣4+y2﹣＝
又∈[﹣2，2]，所以当y＝时，取最大值，当y＝时取最小值，故选：BC．
13.解：以A为原点建系，则，1，，，，，
，．异面直线与所成角的余弦值为．
14.解：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
15.解：因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点 A(a，b)，c＝4且＝4，
解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
16.解：直线y＝kx+k恒过（﹣1，0），直线y＝kx+k与焦点在y轴上的椭圆+＝1总有
两个公共点，可得 解得m∈（1，4）．故答案为：（1，4）．
17.解:（Ⅰ）由题意，设等差数列的公差为，则，，
，，成等比数列，，即，整理，得，
解得（舍去），或，，．
（Ⅱ）由（1）知，设，
故
．
18.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，解得．；
设等比数列的公比为，由题意得，解得．；
（Ⅱ）．令的前项和为，
则，
两式作差可得：，
．.
19.解：（Ⅰ）∵椭圆C的焦点为F1（）和 F2（），长轴长为6，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝2，a＝3，∴b＝1，∴椭圆C的标准方程.
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x0，y0）
由消去y，得10x2+36x+27＝0，∴，，
∴，∵，∴弦AB的中点坐标为（，），
＝＝．
20.解：（Ⅰ）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．
设，则，2，．所以，，．
设为平面的法向量，则，令，得．
．直线与平面所成角的正弦值为；
（Ⅱ）解：设为平面的法向量，则，可得，
由题意，解得．符合题意．线段的长为．
21.解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
（Ⅰ）由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－. 所以l的方程为y＝x－.
（Ⅱ）由＝3可得y1＝－3y2.由得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.
22.解：（Ⅰ）因为线段MN最长为4，所以4＝2a，即a＝2，所以椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）由题意知，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx+2，
联立，整理得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，
由△＝（16k）2﹣4×（1+4k2）×12＝16（4k2﹣3）＞0，可得．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
因为，所以,
,解得
所以设,,
所以直线OP的斜率k'，又，
故OP的斜率的取值范围是．