2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册 第六章 6.4 平面向量的应用（余弦定理）同步练习及答案

高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 6.4 平面向量的应用（余弦定理）
一、单选题
1.在 △ABC 中， A=120° ， BC=6 ，则 △ABC 的面积的最大值为（?? ）
A.?12????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?332????????????????????????????????????????D.?33
2.在 ΔABC 中，若 3sinA+cosA=1 ， AB=2 ， AC=3 ，则边 BC 的长为（??? ）
A.?7???????????????????????????????????????B.?19???????????????????????????????????????C.?10???????????????????????????????????????D.?4
3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 b2=ac ， c=2a ，则 cosC= （??? ）．
A.?24?????????????????????????????????????B.?34?????????????????????????????????????C.?-24?????????????????????????????????????D.?-34
4.在 △ABC 中， A=60°?AB=2 ，且 △ABC 的面积为 32 ，则 BC 的长为（??? ）．
A.?32????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?23????????????????????????????????????????D.?3
5.△ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 △ABC 的面积是 63 ， B=π3 ， a=2c ，则 b= （? ?）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
6.在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，则C＝（ ??）
A.?60°??????????????????????????????????B.?120°??????????????????????????????????C.?30°??????????????????????????????????D.?45°或135°
7.在 △ABC 中， △ABC 的面积为S， 4S=3(a2+c2-b2) ， AB?BC=-2 ，且满足 sinA+sinC=2sinB ，则该三角形的外接圆的半径R为（??? ）
A.?433???????????????????????????????????????B.?233???????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????D.?2
8.△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2cosBsinA=sinC ，则 △ABC 的形状为（??? ）
A.?直角三角形????????????????????B.?等腰三角形????????????????????C.?等边三角形????????????????????D.?等腰直角三角形
9.△ABC 的三边满足 a2+b2=c2-3ab ，则 △ABC 的最大内角为（??? ）
A.?60°?????????????????????????????????????B.?90°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?150°
二、多选题
10.在 △ABC 中， AB=3 ， AC=1 ， B=π6 ，则角A的可能取值为（??? ）
A.?π6????????????????????????????????????????B.?π3????????????????????????????????????????C.?2π3????????????????????????????????????????D.?π2
11.在 △ABC 中，D在线段 AB 上，且 AD=5,BD=3 若 CB=2CD,cos∠CDB=-55 ，则（??? ）
A.?sin∠CDB=310?????????????????????????????????????????????B.?△ABC 的面积为8
C.?△ABC 的周长为 8+45????????????????????????????????D.?△ABC 为钝角三角形
三、填空题
12.在 △ABC 中，三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 a=2 ， b=3 ， c=4 ，则 cosA= ________.
13.已知 a ， b ， c 分别为 △ABC 的三个内角 A ， B ， C 的对边， a=c=5 ，且 a2-b2+bccosA=-725ac ， G 为 △ABC 的重心，则 |GA|= ________
14.已知△ ABC 中，角 A,?B,?C 所对的边分别为 a,?b,?c ， c=4 ， A=π3 ，且△ ABC 的面积为 3 ，则 b= ________； cosC= ________.
15.在 △ABC 中. AC=7，BC=2，B=60° .则 △ABC 的面积等于________．
16.在 △ABC 中内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，面积为 S ，且 a2+b2-c2=43S ，则 C 的值为________.
四、解答题
17.在 △ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 cosBb+cosCc=1a ，且 a=4,b>a>c ．
（1）求 bc 的值；
（2）若 △ABC 的面积 S=27 ，求 cosB ．
18.如图，在 △ABC 中， AB=2AC ， ∠BAC 的角平分线交 BC 于点 D ．
（1）求 S△ABDS△ADC 的值；
（2）若 AC=1,BD=2 ，求 AD 的长．
19.在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 a=2,a2+c2-b24acosA=tanAtanB .
（1）若 △ABC 的面积S满足 S=2cosA ，求 AB?CA 的值；
（2）若边 BC 上的中线为 AD ，求 AD 长的最小值.
20.设 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 4sin2A+4cosA=5 .
（Ⅰ）求角 A ；
（Ⅱ）若 ab-c=2sinA ，求角 B ， C .
21.在 △ABC 中，角 A ， B ，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为 S 且满足 S=34(a2+c2-b2) ， b=21 .
（1）求角 B 的大小；
（2）当 a+c=9 时，求 a ， c 的值.
答案部分
一、单选题
1. D 2. B 3. C 4. D 5. C 6. A 7. B 8. B 9. D
二、多选题
10. A,D 11. B,C,D
三、填空题
12. 78
13. 17
14. 1；-1313
15. 332
16. π6
四、解答题
17. （1）解：由已知和余弦定理得 a2+c2-b22acb+a2+b2-c22abc=1a ，
所以 a2+a2=2bc ，由 a=4 得 bc=16 ；
（2）解： S=12bcsinA=12×16sinA=27 ，
所以 sinA=74 ，因为 b>a>c ，所以 cosA=1-sin2A=34 ，
由余弦定理 cosA=b2+c2-a22cb=b2+c2-1632=34 ，
所以 b2+c2=40 ，又 bc=16 ，所以 b=42,c=22 ，
所以 cosB=a2+c2-b22ca=42+(22)2-(42)22×4×22=-24 .
18. （1）解：∵ AD 为 ∠BAC 的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD ，即 sin∠BAD=sin∠CAD ，
∴ S△ABDS△ADC=12AB?ADsin∠BAD12AC?ADsin∠CAD =ABAC ，
又∵ AB=2AC ，∴ S△ABDS△ADC=2 ．
（2）解：由（1）知 S△ABDS△ADC=ABAC=2 ，而 S△ABDS△ADC=12BC?h12CD?h=BCCD ，
∴ABAC=BDCD=2 且 AC=1,BD=2 ，
∴ AB=2,CD=22 ，
∵ ∠BAD=∠CAD ，∴ cos∠BAD=cos∠CAD ，
在 △ABD 中， cos∠BAD=AB2+AD2-BD22AB?AD =4+AD2-22×2×AD=2+AD24AD ，
在 △ACD 中， cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC?AD =1+AD2-122×1×AD=12+AD22AD ，
∴ 2+AD24AD=12+AD22AD ，∴ AD=1 ．
19. （1）解：因为 a2+c2-b24acosA=tanAtanB ，
所以 2accosB4acosA=tanAtanB ，
∴bc=2a=4 .
∵S=12bcsinA=2sinA=2cosA ，
∴tanA=1 ，
又 A∈(0,π),?∴A=π4 ，
∴AB?CA=bccos(π-π4)=-22 .
（2）解：在 △ABD 和 △ACD 中，分别由余弦定理可得 cos∠ADB=AD2+1-c22AD ， cos∠ADC=AD2+1-b22AD ，
∴AD2+1-c22AD=-AD2+1-b22AD ，
整理得 2AD2+2=b2+c2 ，
∴2AD2+2?2bc=8 ，
即 AD?3 ，当且仅当 b=c=2 时，取等号，
即 AD 长的最小值为 3 .
20. 解：（Ⅰ）因为 4sin2A+4cosA=5 ，
所以 4-4cos2A+4cosA=5 ， 4cos2A-4cosA+1=0 ，
解得 cosA=12 ，
因为 0（Ⅱ）因为 A=π3 ，所以由余弦定理得 cosA=b2+c2-a22bc=12 ， sinA=32 ，
得 b2+c2-a2=bc ①，
又 ab-c=2sinA ，得 b-c=33a ②，
将②代入①得： b2+c2-3(b-c)2=bc ，
即 2b2+2c2-5bc=0 ，而 b>c ，解得 b=2c ，
所以 a=3c ，
故 b2=a2+c2 ，
得 △ABC 是直角三角形，且角 B 是直角，
所以 B=π2 ， C=π6 .
21. （1）解：由 S=34(a2+c2-b2) ，
得： 12acsinB=34×2accosB ，
化简得 sinB=3cosB ，∴ tanB=3 ，
又 0（2）解：由（1）及余弦定理得： 21=a2+c2-2accos60° ，
∴ a2+c2-ac=21 ，与 a+c=9 联立：
{a2+c2-ac=21a+c=9 ，
解之得： {a=5c=4 或 {a=4c=5