2020-2021学年 苏科版八年级数学下册 第9章中心对称图形——平行四边形 章末综合能力提升训练（word解析版）

2020-2021年度苏科版八年级数学下册《第9章中心对称图形——平行四边形》
章末综合能力提升训练（附答案）
1．下列四个图案中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（　　）
①当AB＝BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形
④当AC＝BD时，它是正方形
A．①②
B．②
C．②④
D．③④
3．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（　　）
A．
B．2﹣2
C．2﹣
D．2
4．以下四张扑克牌的图案，中心对称图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC
B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC
D．AB∥CD，AD∥BC
6．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（　　）
A．12
B．11
C．10
D．9
7．如图，在?ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（　　）
A．4
B．8
C．8
D．10
8．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　）
A．2或8
B．或18
C．或2
D．2或18
9．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A＝33°，∠B＝30°，则∠ACE的大小是（　　）
A．63°
B．58°
C．54°
D．52°
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为（　　）
A．
B．4
C．2
D．5
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥CA，交BD的延长线于点E，若AB＝2，BC＝4，则DE的长为　
　．
12．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，连接CE、BE，点F、G分别为DE、BE的中点，连接FG，在△ADE旋转的过程中，当D、E、C三点共线时，线段FG的长为　
　．
13．如图，四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E做EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝3，则线段CD的长是　
　．
14．在长方形ABCD中，AB＝，BC＝4，CE＝CF，延长AB至点E，连接CE，CF平分∠ECD，则BE＝　
　．
15．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝　
　．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝　
　．
17．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是　
　．
18．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为　
　．
19．将边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°到FECG的位置（如图），EF与AD相交于点H，则HD的长为　
　.（结果保留根号）
20．如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC＝　
　．
21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．
22．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，过点D作DE∥AC与BC的延长线交于点E，连接AE交DC于F．
（1）求证：BC＝CE；
（2）连接BF，若∠DAF＝∠FBE，且AD＝2CF，求证：四边形ABCD是正方形．
24．如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形PECF为矩形；
（2）若正方形ABCD的边长为2，EC：FC＝1：3，求AP的值．
25．在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠FAE＝∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG．
（1）求证：四边形AFGH为菱形：
（2）若DH＝1．求四边形AFGH的面积．
26．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G；
（1）求证：BE＝CG．
（2）若BE＝2、DN＝3，求EN的长．
27．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，AF交于点M，分别延长AF，BC交于点N．
（1）求∠BMN的度数；
（2）求证：CM＝AD．
参考答案
1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．解：①若AB＝BC，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则?ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC＝90°，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC＝BD，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴DE＝DC＝2，
∴EC＝2，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝45°，
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEC＝∠AEC＝，
∴∠BEC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AEB＝∠BEC，
∴BC＝CE＝2，
∴AD＝BC＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2，
故选：B．
4．解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
6．解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝＝＝4，
∴BE＝8．
故选：C．
8．解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E＝∠D＝90°，
∵∠AD'B＝90°，
∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵，AD'＝AD，
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；
②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∵，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．
综上所知，DE＝2或18．
故选：D．
9．解：∵∠A＝33°，∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝33°+30°＝63°，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE＝63°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣63°﹣63°＝54°．
故选：C．
10．解：根据旋转可知：
∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝4，AB＝A′B，
根据勾股定理，得AB＝＝＝5，
∴A′B＝AB＝5，
∴AC′＝AB﹣BC′＝2，
在Rt△AA′C′中，根据勾股定理，得
AA′＝＝＝2．
故选：C．
11．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝＝2，
∴OD＝OC＝，
∵S△ADC＝×AD×DC＝×AC×DH，
∴2×4＝2×DH，
∴DH＝，
∴OH＝＝＝，
∴HC＝﹣＝，
∵CE⊥CA，DH⊥CA，
∴DE＝．
12．解：连接BD，
∵∠BAD＝90°﹣∠BAE，∠CAE＝90°﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）．
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝135°，
∴∠BDC＝135°﹣45°＝90°．
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，
∴DE＝2，BC＝3．
设BD＝x，则DC＝2+x，
在Rt△BDC中，利用勾股定理BD2+DC2＝BC2，
∴x2+（2+x）2＝18，解得x1＝﹣﹣（舍去），x2＝﹣+．
∵点F、G分别为DE、BE的中点，
∴FG＝BD＝．
故答案为：．
13．解：如图，连接AC，AE，BE，
∵EF＝2，BF＝3，
∴BE＝＝＝，
∵∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD＝，
故答案为：．
14．解：如图，延长CF，BA交于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于H，过点E作EM⊥CF于M，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝，BC＝4，
∴AB∥CD，AB＝CD＝，∠D＝∠ABC＝∠CBE＝90°，
∴∠DCF＝∠G，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE，FH＝DF，
∴∠G＝∠ECF，
∴EC＝EG，
∴∠ECG是等腰三角形，
∴CM＝MG，
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰三角形，
∵EM⊥CF，FH⊥CE，
∴EM和FH是等腰三角形腰上的高，
∴EM＝FH＝DF，
∴Rt△CDF≌Rt△CME（HL），
∴CM＝CD＝，
∴CG＝5，
Rt△CBG中，BG＝＝＝3，
设BE＝x，则EC＝EG＝3+x，
Rt△CBE中，（3+x）2＝x2+42，
解得：x＝，
∴BE＝．
故答案为：．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
16．解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF﹣5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
17．解：在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，
由勾股定理得：AB＝＝13，
∴正方形的面积是13×13＝169，
∵△AEB的面积是AE×BE＝×5×12＝30，
∴阴影部分的面积是169﹣30＝139，
故答案为：139．
18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝8，
同理DE＝DC＝8，
∵EF＝1，
∴AE＝AF﹣EF＝8﹣1＝7，
∴AD＝AE+DE＝7+8＝15，
故答案为15．
19．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝2，∠CDA＝90°，
∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CF＝2，∠CFE＝45°，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH＝DF＝CF﹣CD＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
20．解：根据作图过程可知：
AD＝AP＝PD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝∠ADP＝∠APD＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB＝AP，DP＝DC，
∴∠ABP＝∠APB＝∠DPC＝∠DCP＝75°，
∴∠BPC＝360°﹣60°﹣75°﹣75°＝150°．
故答案为：150°．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵EA⊥AO，DE⊥DO，
∴∠EAO＝∠DOA＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AODE是矩形，
∴∠AED＝90°，OA＝DE，OD＝AE，
∵四边形AODE的面积为12，
∴OA?OD＝12，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2＝25，
∴（OA+OD）2＝OA2+2OA?OD+OD2＝25+24＝49，
∴OA+OD＝7，
∴四边形AODE的周长为2（OA+OD）＝14．
22．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，
∴AF＝BC，
在Rt△AFD和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），
∴DF＝AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，
∴DF＝AE，
又∵DF⊥AB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．
23．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE，
∴BC＝CE；
（2）由（1）可知，四边形ACED是平行四边形，
∴DF＝CF＝CD＝AB，EF＝AF，
∵AD＝2CF，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
∵AD∥EC，
∴∠DAF＝∠FEC，
∵∠DAF＝∠FBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE＝FA，
∴∠FAB＝∠FBA，
∴∠FBA+∠FBE＝＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
24．证明：（1）在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥DC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠BCD＝∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴四边形PECF是矩形；
（2）如图，连接PC．
在正方形ABCD中，AB＝AC，∠ABD＝∠CBP＝45°，BP＝BP，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP，
由（1）知四边形PECF为矩形，得CP＝CF，
∴AP＝EF，
在正方形ABCD中，∠CDB＝45°，PF⊥DC，
∴PF＝DF，
在矩形PECF中，PF＝EC，
∴DF＝EC，
设EC＝x，则FC＝2﹣x，
∵EC：FC＝1：3，
∴x：（2﹣x）＝1：3，
解得：x＝0.5，
即EC＝0.5，FC＝1.5，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2，
得EF＝，
∴AP＝．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠FGA，
∵∠FAE＝∠DAE，
∴∠FGA＝∠FAE，
∴FA＝FG，
∵点E为CD中点，
∴DE＝CE，
∵∠ADE＝∠GCE＝90°，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AD＝CG，
同理：△DEH△CEF（AAS），
∴DH＝CF，
∵AH＝AD+DH，GF＝CG+CF，
∴AH∥FG，
∵AH∥FG，
∴四边形AFGH为平行四边形，
∵FA＝FG，
∴四边形AFGH为菱形；
（2）解：FC＝DH＝1，
设AB＝AD＝x，
由（1）知FC＝DH＝1，
∴AF＝AH＝AD+DH＝x+1，
BF＝BC﹣FC＝x﹣1，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，得
AF2＝AB2+BF2，
∴（x+1）2＝x2+（x﹣1）2，
解得x＝4，x＝0（舍去），
∴AF＝FG＝x+1＝5，
∴菱形AFGH的面积为：FG?DC＝5×4＝20．
26．（1）证明：∵EF⊥AE，FG⊥BC，四边形ABCD是正方形，
∴∠AEF＝∠ABE＝∠EGF＝90°，AB＝BC，
∴∠AEB+∠BAE＝∠AEB+∠GEF＝90°，
∴∠BAE＝∠GEF，
∵AE＝EF，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴AB＝EG＝BC，
∴BC﹣EC＝EG﹣EC，
即：BE＝CG；
（2）解：延长EB到到K，使得BK＝DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝∠ABKF＝90°，
∵DN＝BK，
∴△ADN≌△ABK（SAS），
∴AK＝AN，∠DAN＝∠BAK，
∵EA＝EF，∠AEF＝90，
∴∠EAF＝45°，
∴∠KAE＝∠BAK十∠BAE＝∠DAN十∠BAE＝45°，
∴∠EAK＝∠EAN＝45°，
又∵AE＝AE，
∴△EAK≌△EAN（SAS），
∴EK＝EN，
∵BE＝2、DN＝3，
∴EN＝EK＝EB+BK＝BE+DN＝2+3＝5．
27．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠D＝90°，
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴AE＝AD，DF＝CD，
∴AE＝DF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AF＝BE，∠AEB＝∠AFD，
在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠AEB＝90°，
∴∠AME＝90°，
∴AF⊥BE，
∴∠BMN＝90°；
（2）证明：∵DF＝CF，∠D＝∠FCN＝90°，∠AFD＝∠NFC，
在△ADF和△NCF中，
，
∴△ADF≌△NCF（ASA），
∴AD＝CN＝CD＝BC，
在直角△BMN中，BC＝CN，
∴CM＝BN＝BC＝AD．