2020-2021学年八年级数学人教版下册《第18章平行四边形》章末综合能力提升训练（word附答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年八年级数学人教版下册《第18章平行四边形》章末综合能力提升训练（word附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 384.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-09 07:13:19 | ||
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文档简介
2021年度人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》章末综合能力提升训练（附答案）
1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（ ）
A．30°
B．70°
C．30°或60°
D．40°或70°
2．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（ ）
A．15°
B．30°
C．40°
D．50°
3．下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若∠EAC＝15°，则∠COE＝（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．30°
6．如图，正方形ABCD的边长为1，取AB中点E，取BC中点F，连接DE，AF，DE与AF交于点O．连接OC，则OC＝（ ）
A．1
B．
C．
D．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）
A．10
B．9.6
C．4.8
D．2.4
8．两本长方形的书按如图所示方式叠放在一起，则∠3+∠2+2∠1＝（ ）
A．360°
B．540°
C．720°
D．以上案均不对
9．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是
．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是
．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝
．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝26，BG＝10，则CF的长为
．
13．如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为
．
14．在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，与此同时点Q从点C出发，以acm/秒的速度沿CD向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，当a＝
时，△ABP与△PQC全等．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，若AE＝1，则EF的长为
．
16．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝
s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝8，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为
．
18．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔距离均为a，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为
．
19．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为
平方单位．
20．在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为
．
21．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为
．
22．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，证明下列结论①∠AED＝∠CED，②△ABE≌△AHD，③HF＝AB，④H是BF中点，⑤BC﹣CF＝2HE．其中正确的结论有
．
23．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；
（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．
24．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AB＝6，DE＝3，求?ABCD的周长．
25．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，E为BC的中点．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB＝4，AC＝6，求DE的长．
26．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝6，求AB的长．
27．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
28．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若AB⊥BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，则BC＝
．
29．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线与点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
30．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4，E为边CD上一点，CE＝7，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，判断△PAE是否为直角三角形，说明理由；
（2）是否存在这样的t，使EA平分∠PED？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故选：C．
2．解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，
在△BCF和△DCF中，
∵，
∴△BCF≌△DCF（SAS）
∴∠CBF＝∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°
∴∠ABF＝∠BAF＝50°
∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°
∴∠CDF＝30°．
故选：B．
3．解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意；
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABE＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
又∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝45°+15°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，
又∵∠BAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝＝75°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故选：A．
6．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠DAE＝90°，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAD＝∠DAF+∠DAO＝90°，
∴∠ADE+∠DAO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵E、F分别为AB，BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∵AB＝BC，
∴AE＝BF，
过C作CG⊥DE于G，
∵∠OAD+∠ADO＝∠ADO+∠CDG＝90°，
∴∠OAD＝∠CDG，
在△ADO和△DCG中，
，
∴△ADO≌△DCG（AAS），
∴AO＝DG，
∵tan∠ADE＝＝＝，
∴DO＝2AO＝2DG，
∴DG＝OG，
∴CG为DO的垂直平分线，
∴OC＝DC＝1，
故选：A．
7．解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝＝4.8．
故选：C．
8．解：过B作BN∥EH，
∵四边形EFGH是长方形，矩形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝90°，∠A＝∠H＝90°，EH∥FG，
∴EH∥BN∥FG，
∴∠HIB+∠IBN＝180°，∠BQG+∠CBN＝180°，
∴∠HIB+∠IBN+∠BQG+∠CBN＝360°，
∴∠HIB+∠ABC+∠BQG＝360°，
∴∠HIB+∠BQG＝360°﹣90°＝270°，
∵∠3＝∠HIB，∠1＝∠BQG，
∴∠1+∠3＝270°，
∵∠3＝∠A+∠AMI，∠2＝∠H+∠HMD，∠AMI＝∠DMH，∠A＝∠H＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴∠3+∠2+2∠1＝∠3+∠3+2∠1＝2（∠3+∠1）＝2×270°＝540°，
故选：B．
9．解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PF＝BC，PE＝AD，又AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝30°，
∴∠EPF＝120°，
故答案为：120°．
10．解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E．
∵A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4．
∵ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°．
∴∠DAE＝∠AB0．
在△ABO和△DAE中，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE＝OB＝4．
∴OE＝AE+AO＝4+3＝7．
∴△OBD的面积＝OB?OE＝×4×7＝14．
故答案为：14．
11．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE＝DF＝AB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，
∵BE⊥AC，
∴EF＝BC＝3，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，
∴AB＝8，
故答案为：8．
12．解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，∠ABC＝90°，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴BD＝DF＝GF＝BG＝10，则AF＝AG﹣GF＝26﹣10＝16，AC＝2BD＝20，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即162+CF2＝202，
解得：CF＝12．
故答案是：12．
13．解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，
∴DE＝2MN＝6，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝22，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，
故答案为：38．
14．解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
有两种情况：①当BP＝CQ，AB＝PC＝6cm时，△ABP≌△PCQ，
此时BP＝CQ＝10﹣6＝4（cm），
∵点P运动的速度是2cm/s，
∴运动的时间是＝2（秒），
即2a＝4，
解得：a＝2；
②当BP＝PC，AB＝CQ＝6cm时，△ABP≌△PQC，
此时BP＝PC＝10＝5（cm），
∵点P运动的速度是2cm/s，
∴运动的时间是2.5秒，
即2.5a＝6，
解得：a＝2.4；
故答案为：2或2.4．
15．解：如图，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∠A＝∠DCM＝90°，
∴∠DCM+∠DCF＝180°，
∴点F，点C，点M三点共线，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝45°，
∴∠EDF＝∠FDM，
在△DEF和△DMF中，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，
∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
则EF的长为，
故答案为：．
16．解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
17．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝8，
∴BC＝＝＝，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝＝，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
18．解：过点C作EF⊥l2，交l1于点E，交l4于点F，如图：
∵直线l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
∴∠CED＝∠BFC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠DCE+∠BCF＝90°，
又∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF，
在△CDE和△BCF，
，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF＝CE＝2a，
∵CF＝a，
∴BC2＝（2a）2+a2＝5a2，
∴正方形ABCD的面积为5a2．
故答案为：5a2．
19．解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF?DG＝××4＝2．
故答案为：2．
20．解：∵CE⊥BA，∠B＝42°，
∴∠BCE＝48°，
∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，
∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，
∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝96°，
故答案为：96°．
21．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
22．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAH＝45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，AD＝AH，
∵AD＝AB＝AH，
∴AD＝AE，AB＝AH＝DH＝DC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝∠CED，
∴①正确；
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故②正确；
∴BE＝DH，
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠OHE＝∠AHB＝67.5°，
∴∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故③错误；
过H作HK⊥BC于K，
可知KC＝BC，HK＝KE，
由上知HE＝EC，
∴BC＝KE十EC，
又KE＝HK＝FC，HE＝EC，
故BC＝HK+HE，BC＝2HK+2HE＝FC+2HE
∴⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
23．（1）证明：在正方形ABCD中，
∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠EAG＝90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG；
（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．
于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．
在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN＝EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．
∴MN2＝BM2+NC2．
∵BM＝1，CN＝3，
∴MN2＝12+32，
∴MN＝．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠E＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠E＝∠CBE，
∴CB＝CE，
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵DE＝3，
∴BC＝CE＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为30．
25．（1）证明：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH，
∴BD＝HD，又E为BC的中点．
∴DE∥AC；
（2）解：∵△ADB≌△ADH，
∴AH＝AB＝4，
∴CH＝AC﹣AH＝2，
∵BD＝HD，又E为BC的中点，
∴DE＝CH＝1．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵BF＝BE，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝OA，
∴∠BAC＝∠OBA，
又∠BEF＝2∠BAC，
∴∠BEF＝2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝3，
∴AB＝＝9．
27．证明：（1）如图1：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，
则△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）当∠BAD＝2∠EAF时，仍有EF＝BE+FD，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
28．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠F＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵AB⊥BF，
∴CD⊥BF，
∴平行四边形CFDE是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，CD＝AB＝2，
∵四边形CFDE是正方形，
∴DE＝CE＝CD＝，BE＝EF＝CD＝2，∠DEC＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵AB⊥BF，
∴∠ABE＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∴AD＝＝＝，
∴BC＝，
故答案为：．
29．（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：由（1）得：△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC＝AB?AC＝×8×6＝24．
30．解：（1）过点P作PF⊥CD于点F，如图：
由题意得BP＝t，AP＝10﹣t，PF＝4，EF＝7﹣t．
当t＝1时，△PAE不是直角三角形，理由如下：
当t＝1时，
PE2＝PF2+EF2＝42+（7﹣t）2＝16+36＝52，AP2＝（10﹣t）2＝81，
∵在长方形ABCD中，AB＝10，CE＝7，
∴DC＝AB＝10，
∴DE＝DC﹣CE＝10﹣7＝3，
又AD＝4，
∴AE2＝32+42＝25，
∵81≠52+25，
∴AP2≠PE2+EA2，
∴△PAE不是直角三角形；
（2）存在这样的t，使EA平分∠PED，理由如下：
若EA平分∠PED，则∠AED＝∠PEA，
∵四边形ABCD为长方形，
∴CD∥AB，
∴∠AED＝∠EAP，
∴∠PEA＝∠EAP，
∴PE＝PA＝10﹣t，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝90°，
又∵在长方形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴四边形PADF为长方形，
∴PF＝AD＝4，
在Rt△PEF中，EP2＝EF2+PF2，
∴（10﹣t）2＝42+（7﹣t）2，
解得：t＝
1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（ ）
A．30°
B．70°
C．30°或60°
D．40°或70°
2．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（ ）
A．15°
B．30°
C．40°
D．50°
3．下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若∠EAC＝15°，则∠COE＝（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．30°
6．如图，正方形ABCD的边长为1，取AB中点E，取BC中点F，连接DE，AF，DE与AF交于点O．连接OC，则OC＝（ ）
A．1
B．
C．
D．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）
A．10
B．9.6
C．4.8
D．2.4
8．两本长方形的书按如图所示方式叠放在一起，则∠3+∠2+2∠1＝（ ）
A．360°
B．540°
C．720°
D．以上案均不对
9．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是
．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是
．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝
．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝26，BG＝10，则CF的长为
．
13．如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为
．
14．在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，与此同时点Q从点C出发，以acm/秒的速度沿CD向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，当a＝
时，△ABP与△PQC全等．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，若AE＝1，则EF的长为
．
16．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝
s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝8，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为
．
18．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔距离均为a，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为
．
19．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为
平方单位．
20．在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为
．
21．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为
．
22．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，证明下列结论①∠AED＝∠CED，②△ABE≌△AHD，③HF＝AB，④H是BF中点，⑤BC﹣CF＝2HE．其中正确的结论有
．
23．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；
（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．
24．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AB＝6，DE＝3，求?ABCD的周长．
25．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，E为BC的中点．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB＝4，AC＝6，求DE的长．
26．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝6，求AB的长．
27．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
28．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若AB⊥BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，则BC＝
．
29．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线与点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
30．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4，E为边CD上一点，CE＝7，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，判断△PAE是否为直角三角形，说明理由；
（2）是否存在这样的t，使EA平分∠PED？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故选：C．
2．解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，
在△BCF和△DCF中，
∵，
∴△BCF≌△DCF（SAS）
∴∠CBF＝∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°
∴∠ABF＝∠BAF＝50°
∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°
∴∠CDF＝30°．
故选：B．
3．解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意；
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABE＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
又∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝45°+15°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，
又∵∠BAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝＝75°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故选：A．
6．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠DAE＝90°，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAD＝∠DAF+∠DAO＝90°，
∴∠ADE+∠DAO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵E、F分别为AB，BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∵AB＝BC，
∴AE＝BF，
过C作CG⊥DE于G，
∵∠OAD+∠ADO＝∠ADO+∠CDG＝90°，
∴∠OAD＝∠CDG，
在△ADO和△DCG中，
，
∴△ADO≌△DCG（AAS），
∴AO＝DG，
∵tan∠ADE＝＝＝，
∴DO＝2AO＝2DG，
∴DG＝OG，
∴CG为DO的垂直平分线，
∴OC＝DC＝1，
故选：A．
7．解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝＝4.8．
故选：C．
8．解：过B作BN∥EH，
∵四边形EFGH是长方形，矩形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝90°，∠A＝∠H＝90°，EH∥FG，
∴EH∥BN∥FG，
∴∠HIB+∠IBN＝180°，∠BQG+∠CBN＝180°，
∴∠HIB+∠IBN+∠BQG+∠CBN＝360°，
∴∠HIB+∠ABC+∠BQG＝360°，
∴∠HIB+∠BQG＝360°﹣90°＝270°，
∵∠3＝∠HIB，∠1＝∠BQG，
∴∠1+∠3＝270°，
∵∠3＝∠A+∠AMI，∠2＝∠H+∠HMD，∠AMI＝∠DMH，∠A＝∠H＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴∠3+∠2+2∠1＝∠3+∠3+2∠1＝2（∠3+∠1）＝2×270°＝540°，
故选：B．
9．解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PF＝BC，PE＝AD，又AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝30°，
∴∠EPF＝120°，
故答案为：120°．
10．解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E．
∵A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4．
∵ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°．
∴∠DAE＝∠AB0．
在△ABO和△DAE中，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE＝OB＝4．
∴OE＝AE+AO＝4+3＝7．
∴△OBD的面积＝OB?OE＝×4×7＝14．
故答案为：14．
11．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE＝DF＝AB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，
∵BE⊥AC，
∴EF＝BC＝3，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，
∴AB＝8，
故答案为：8．
12．解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，∠ABC＝90°，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴BD＝DF＝GF＝BG＝10，则AF＝AG﹣GF＝26﹣10＝16，AC＝2BD＝20，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即162+CF2＝202，
解得：CF＝12．
故答案是：12．
13．解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，
∴DE＝2MN＝6，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝22，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，
故答案为：38．
14．解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
有两种情况：①当BP＝CQ，AB＝PC＝6cm时，△ABP≌△PCQ，
此时BP＝CQ＝10﹣6＝4（cm），
∵点P运动的速度是2cm/s，
∴运动的时间是＝2（秒），
即2a＝4，
解得：a＝2；
②当BP＝PC，AB＝CQ＝6cm时，△ABP≌△PQC，
此时BP＝PC＝10＝5（cm），
∵点P运动的速度是2cm/s，
∴运动的时间是2.5秒，
即2.5a＝6，
解得：a＝2.4；
故答案为：2或2.4．
15．解：如图，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∠A＝∠DCM＝90°，
∴∠DCM+∠DCF＝180°，
∴点F，点C，点M三点共线，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝45°，
∴∠EDF＝∠FDM，
在△DEF和△DMF中，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，
∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
则EF的长为，
故答案为：．
16．解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
17．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝8，
∴BC＝＝＝，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝＝，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
18．解：过点C作EF⊥l2，交l1于点E，交l4于点F，如图：
∵直线l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
∴∠CED＝∠BFC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠DCE+∠BCF＝90°，
又∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF，
在△CDE和△BCF，
，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF＝CE＝2a，
∵CF＝a，
∴BC2＝（2a）2+a2＝5a2，
∴正方形ABCD的面积为5a2．
故答案为：5a2．
19．解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF?DG＝××4＝2．
故答案为：2．
20．解：∵CE⊥BA，∠B＝42°，
∴∠BCE＝48°，
∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，
∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，
∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝96°，
故答案为：96°．
21．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
22．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAH＝45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，AD＝AH，
∵AD＝AB＝AH，
∴AD＝AE，AB＝AH＝DH＝DC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝∠CED，
∴①正确；
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故②正确；
∴BE＝DH，
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠OHE＝∠AHB＝67.5°，
∴∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故③错误；
过H作HK⊥BC于K，
可知KC＝BC，HK＝KE，
由上知HE＝EC，
∴BC＝KE十EC，
又KE＝HK＝FC，HE＝EC，
故BC＝HK+HE，BC＝2HK+2HE＝FC+2HE
∴⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
23．（1）证明：在正方形ABCD中，
∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠EAG＝90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG；
（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．
于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．
在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN＝EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．
∴MN2＝BM2+NC2．
∵BM＝1，CN＝3，
∴MN2＝12+32，
∴MN＝．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠E＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠E＝∠CBE，
∴CB＝CE，
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵DE＝3，
∴BC＝CE＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为30．
25．（1）证明：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH，
∴BD＝HD，又E为BC的中点．
∴DE∥AC；
（2）解：∵△ADB≌△ADH，
∴AH＝AB＝4，
∴CH＝AC﹣AH＝2，
∵BD＝HD，又E为BC的中点，
∴DE＝CH＝1．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵BF＝BE，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝OA，
∴∠BAC＝∠OBA，
又∠BEF＝2∠BAC，
∴∠BEF＝2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝3，
∴AB＝＝9．
27．证明：（1）如图1：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，
则△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）当∠BAD＝2∠EAF时，仍有EF＝BE+FD，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
28．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠F＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵AB⊥BF，
∴CD⊥BF，
∴平行四边形CFDE是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，CD＝AB＝2，
∵四边形CFDE是正方形，
∴DE＝CE＝CD＝，BE＝EF＝CD＝2，∠DEC＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵AB⊥BF，
∴∠ABE＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∴AD＝＝＝，
∴BC＝，
故答案为：．
29．（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：由（1）得：△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC＝AB?AC＝×8×6＝24．
30．解：（1）过点P作PF⊥CD于点F，如图：
由题意得BP＝t，AP＝10﹣t，PF＝4，EF＝7﹣t．
当t＝1时，△PAE不是直角三角形，理由如下：
当t＝1时，
PE2＝PF2+EF2＝42+（7﹣t）2＝16+36＝52，AP2＝（10﹣t）2＝81，
∵在长方形ABCD中，AB＝10，CE＝7，
∴DC＝AB＝10，
∴DE＝DC﹣CE＝10﹣7＝3，
又AD＝4，
∴AE2＝32+42＝25，
∵81≠52+25，
∴AP2≠PE2+EA2，
∴△PAE不是直角三角形；
（2）存在这样的t，使EA平分∠PED，理由如下：
若EA平分∠PED，则∠AED＝∠PEA，
∵四边形ABCD为长方形，
∴CD∥AB，
∴∠AED＝∠EAP，
∴∠PEA＝∠EAP，
∴PE＝PA＝10﹣t，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝90°，
又∵在长方形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴四边形PADF为长方形，
∴PF＝AD＝4，
在Rt△PEF中，EP2＝EF2+PF2，
∴（10﹣t）2＝42+（7﹣t）2，
解得：t＝