2020-2021学年八年级数学人教版下册《第18章平行四边形》章末综合优生辅导训练（word附答案）

2021年度人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》章末综合优生辅导训练（附答案）
1．下列说法不正确的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
2．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　）
A．20°
B．22.5°
C．25°
D．30°
3．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（　　）
A．∠BAC＝∠DCA
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠ADB
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若∠EAC＝15°，则∠COE＝（　　）
A．45°
B．60°
C．75°
D．30°
5．如图，正方形ABCD的边长为1，取AB中点E，取BC中点F，连接DE，AF，DE与AF交于点O．连接OC，则OC＝（　　）
A．1
B．
C．
D．
6．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EP于D，BE＝3，DF＝1，则BC的长为（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
7．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，有以下四个结论：
①BE+DF＝EF；
②BM2+DN2＝MN2
③若AB＝3，BE＝1，则BN＝3；
④若CE＝2，则DN＝，其中正确的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，点A、E、F、C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AB＝CD．则当点E、F不重合时，BD与EF的关系是　
　．
9．如图平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为24cm，则△DEO的周长是　
　cm．
10．如图，在?ABCD中，P为CD上一点，BC＝BP，BP平分∠ABC，∠ABD＝43°，则∠APB的度数是　
　度．
11．正方形ABCD的边长为，点P为对角线AC上一个动点，PE⊥AB，PF⊥CB，垂足分别是E，F．当P在AC上移动时，线段EF的最小值是　
　．
12．如图，点E为正方形ABCD外一点，ED＝CD，AE与BD相交于点F．若∠CDE＝52°，则∠DCF＝　
　°．
13．如图，E，F，M分别是正方形ABCD三边的中点，CE与DF交于N，连接AM，AN，MN对于下列四个结论：①AM∥CE；②DF⊥CE；③AN＝BC；④∠AND＝∠CMN．其中正确的是　
　.（填序号）
14．点C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边向上方作正方形ACDE，正方形CBGF，连接AD，AD，BF的中点M，N，若AB＝4，则MN的最小值为　
　．
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，要使四边形ABCD为矩形，还需补充的条件可以是：　
　（写1个即可）．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F都在CD上，点P在AD上，连接PE，若EF＝PE，∠FBP＝∠ABP，2∠APB+∠DPE＝180°，则线段AP的长为　
　．
17．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A在x轴正半轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，对角线OB，AC相交于点E，则点E的坐标为　
　．
18．如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且CH＝4，则EG的长是　
　．
19．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　
　秒后其中一个新四边形为平行四边形．
20．如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．
21．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝6，求AB的长．
22．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．
（1）求证：BD＝DE；
（2）求DM的长．
23．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
25．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．
（1）若AB＝2，点E是BC的中点，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②判断线段CE与EB的数量关系并说明理由．
26．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接DE，过点A作AM⊥DE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）直接写出OE与OF的数量关系：　
　；
（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥DE于点M，AM交BD的延长线于点F，其他条件不变．试探究OE与OF的数量关系，并说明理由．
27．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，AF交于点M，分别延长AF，BC交于点N．
（1）求∠BMN的度数；
（2）求证：CM＝AD．
参考答案
1．解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，
∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABE＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
又∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝45°+15°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，
又∵∠BAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝＝75°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故选：A．
5．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠DAE＝90°，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAD＝∠DAF+∠DAO＝90°，
∴∠ADE+∠DAO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵E、F分别为AB，BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∵AB＝BC，
∴AE＝BF，
过C作CG⊥DE于G，
∵∠OAD+∠ADO＝∠ADO+∠CDG＝90°，
∴∠OAD＝∠CDG，
在△ADO和△DCG中，
，
∴△ADO≌△DCG（AAS），
∴AO＝DG，
∵tan∠ADE＝＝＝，
∴DO＝2AO＝2DG，
∴DG＝OG，
∴CG为DO的垂直平分线，
∴OC＝DC＝1，
故选：A．
6．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，BC＝2EF，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴ED＝EB＝3，
∴EF＝ED+DF＝4，
∴BC＝2EF＝8，
故选：D．
7．解：①延长CB，截取BI＝DF，连接AI，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABE＝∠ADC＝90°，
∴∠ABI＝90°，
在△ADF和△ABI中，
，
∴△ADF≌△ABI（SAS），
∴∠BAI＝∠DAF，AI＝AF，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠BAI+∠BAE＝45°，即∠EAI＝45°，
∴∠EAI＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AIE≌△AFE（SAS），
∴IE＝FE，即DE+BF＝EF，故①正确；
②过B作BD的垂线，截取BH＝ND，连接AH，HM，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠ABH＝45°＝∠ADN，
在△ADN和△ABH中，
，
∴△ADN≌△ABH（SAS），
∴∠DAN＝∠BAH，AN＝AH，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠DAN+∠BAM＝∠BAH+∠BAM＝45°，
∴∠MAN＝∠HAM＝45°，
在△AHM和△ANM中，
，
∴△AHM≌△ANM（SAS），
∴MH＝MN，
在Rt△BHM中，HM2＝BH2+BM2，
∴MN2＝BM2+DN2，故②正确；
③连接AC，过E作EH⊥AC于点H，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠ADB＝∠CAD＝45°，AB＝BC＝3，
∴∠HEC＝∠HCE＝45°，
∵BE＝1，
∴CE＝2，
∴EH＝，
∴BE≠HE，
∵∠BAE≠∠CAE，
∵∠EAF＝∠CAD＝45°，
∴∠CAE＝∠DAF，
∴∠BAE≠∠DAF，
∴∠EAF+∠BAE≠∠ADN+∠DAF，
∵∠BAN＝∠EAF+∠BAE，∠BNA＝≠∠ADN+∠DAF，
∴∠BAN≠∠BNA，
∴AB≠BN，
∵AB＝3，
∴BN≠3，故③错误；
④过点D作DG⊥BD过N作NG∥BC，与DG交于点G，连接CG，与AF的延长线交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°
∴∠CDG＝∠ADC＝45°，NG⊥CD，
∴∠DNG＝∠DGN＝45°，
∴DN＝DG，
∵∠ADN＝∠CDG＝45°，
∴△ADN≌△CDG（SAS），
∴∠DAN＝∠DCG，
∵∠DAN+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CFH，
∴∠HCF+∠CFH＝90°，
∴∠CHF＝90°，
∵∠CBD＝∠EAF＝45°，
∴∠ABE+∠ANE＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ANE＝90°＝∠CHF，
∴EN∥CG，
∴四边形CENG为平行四边形，
∴NG＝EC＝2，
∴DN＝，故④正确，
故选：C．
8．解：已知AE＝CF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AB＝CD且点E、F不重合，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°，
又已知AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴DE＝BF，
∠DOE＝∠BOF，
∴△DOE≌△BOF，
∴OE＝OF，OB＝OD，
∴BD和EF互相平分．
故答案为：互相平分．
9．解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴DC＝2OE，
∵△BCD的周长为：DC+BC+BD＝2OE+2DE+2OD＝24（cm），
∴OE+DE+OD＝12（cm），
则△DEO的周长是12cm．
故答案为：12．
10．证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD＝BC，
∴∠ABP＝∠BPC，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠BPC＝∠CBP，
∵BC＝BP，
∴∠BPC＝∠C，
∴∠CBP＝∠BPC＝∠C，
∴BC＝BP＝PC，
∴△BPC是等边三角形，
∴∠BPC＝∠PBC＝∠ABP＝∠BAD＝60°，
∴四边形DPBA是等腰梯形，
∴∠PAB＝∠ABD＝43°，
∴∠APB＝180°﹣60°﹣43°＝77°．
故答案为：77．
11．解：连接BP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴四边形PEBF是矩形，
∴EF＝BP，
当BP⊥AC时，BP最小，
此时，P是对角线AC、BD的交点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠PBC＝45°，BP＝CP，
在Rt△BPC中，BP2+CP2＝BC2，
即，
解得：BP＝1，
∴EF＝1，
故答案为：1．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝∠BDC＝45°，
∵DC＝DE，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADE＝90°+52°＝142°，
∴∠DAE＝19°，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF＝19°，
故答案为：19．
13．解：∵E，F，M分别是正方形ABCD三边的中点，
∴AE＝BE＝BF＝CF＝DM＝CM，CD∥AB，
∴四边形AMCE是平行四边形，
∴AM∥CE，故①正确；
在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDF+∠DCN＝90°，
∴∠CND＝90°，
∴DF⊥CE，故②正确；
∵DF⊥CE，DM＝CM，
∴DM＝MN＝CM，
∵AM∥CE，
∴AM⊥DN，
∴AM垂直平分DN，
∴AD＝AN，
∴AN＝BC，故③正确；
∵AN＝BC，
∴∠ADN＝∠AND，
∵DM＝MN＝CM，
∴∠DNM＝∠NDM，∠MCN＝∠MNC，
∵∠ADN+∠CDN＝90°，∠CDN+∠DCN＝90°，
∴∠ADN＝∠DCN＝∠AND＝∠CNM，故④错误，
故答案为：①②③．
14．解：当点C为线段AB中点时，MN有最小值，如图，
∵AB＝4，
∴AC＝CB＝2，
∵四边形ACDE和四边形CBGF是正方形，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°，
∵M是AD中点，N是BF中点，
∴MN是△ABD的中位线，
∴MN＝AB＝2，
故答案为：2．
15．解：还需补充的条件可以是：∠ABC＝90°，理由如下：
∵AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
16．解：分别延长PE、BF，交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝6，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，
∵2∠APB+∠DPE＝180°，
∴∠APB＝∠GPB．
在△PAB和△PGB中，
，
∴△PAB≌△PGB（ASA），
∴PG＝PA，∠A＝∠G＝90°，
在△DPG和△EFG中，
，
∴△DPE≌△GFE（AAS），
∴DP＝DG，
∴PE+GE＝DE+EF，
即PG＝DF，
∴PG＝DF＝PA，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，
∴GF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣GF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，
∵∠C＝90°，
∴BC2+CF2＝BF2，
即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，
∴AP＝．
故答案为：．
17．解：过点E作EF⊥OA，垂足为F，
∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，
∴∠EOA＝∠AOC＝30°，∠OEA＝90°，
∵点A的坐标为（4，0），
∴AO＝4，
则AE＝OA＝2，
故OE＝＝＝2，
∴AO?EF＝AE?OE，
则4EF＝2×2，
解得：EF＝，
则OF＝＝＝3，
故点E的坐标为（3，）．
故答案为：（3，）．
18．解：连接CE、CG，如图所示：
∵四边形ACDE与四边形BCFG均是菱形，
∴∠DCE＝∠ACD，∠FCG＝∠BCF，
∵∠ACD+∠BCF＝180°，
∴∠DCE+∠FCG＝（∠ACD+∠BCF）＝×180°＝90°，
即∠ECG＝90°，
∵H是EG的中点，CH＝4，
∴EG＝2CH＝8
故答案为：8．
19．解：根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案是：4或5．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝DC，BE＝AB，
又∵在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边DC的中点，
∴BF＝DC＝DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵BF＝BE，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝OA，
∴∠BAC＝∠OBA，
又∠BEF＝2∠BAC，
∴∠BEF＝2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝3，
∴AB＝＝9．
22．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°．
在△ADB与△ADE中，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD＝DE．
（2）∵△ADB≌△ADE，
∴AE＝AB＝12，
∴EC＝AC﹣AE＝8．
∵M是BC的中点，BD＝DE，
∴DM＝EC＝4．
23．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
24．（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
25．解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴CE＝EB．
26．解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AM⊥DE，
∴∠AOD＝∠DOE＝∠AME＝90°，OA＝OD，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠AFO＝∠MEA，
在△AOF和△DOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE＝OF，
故答案为：OE＝OF；
（2）OE＝OF，
理由如下：
∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AM⊥DE，
∴∠AOD＝∠DOE＝∠AME＝90°，OA＝OD，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠AFO＝∠MEA，
在△AOF和△DOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE＝OF．
27．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠D＝90°，
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴AE＝AD，DF＝CD，
∴AE＝DF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AF＝BE，∠AEB＝∠AFD，
在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠AEB＝90°，
∴∠AME＝90°，
∴AF⊥BE，
∴∠BMN＝90°；
（2）证明：∵DF＝CF，∠D＝∠FCN＝90°，∠AFD＝∠NFC，
在△ADF和△NCF中，
，
∴△ADF≌△NCF（ASA），
∴AD＝CN＝CD＝BC，
在直角△BMN中，BC＝CN，
∴CM＝BN＝BC＝AD．