2020-2021学年八年级数学苏科版下册 9.4矩形、菱形、正方形 同步练习（Word版 含答案）

9.4矩形、菱形、正方形
同步练习
一．选择题
1．下列说法中正确的是（　　）
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（　　）
A．OD＝OC
B．∠DAB＝90°
C．∠ODA＝∠OAD
D．AC⊥BD
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（　　）
A．30°
B．70°
C．30°或60°
D．40°或70°
4．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（　　）
A．15°
B．30°
C．40°
D．50°
5．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　）
A．20°
B．22.5°
C．25°
D．30°
6．如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，点B（10，6），把矩形OABC绕点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带．方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲；方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙．设k＝（a＞b＞0），下列选项中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．24
B．24
C．12
D．12
9．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
10．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2
B．1.5
C．2.4
D．2.5
二．填空题
11．在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为　
　．
12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2?，则AB的长为　
　．
13．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为　
　．
14．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为　
　．
15．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是　
　．
三．解答题
16．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．
17．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．
18．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故C选项不符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故D选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
A、OD＝OC时，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ODA＝∠OAD，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
3．解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故选：C．
4．解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，
在△BCF和△DCF中，
∵，
∴△BCF≌△DCF（SAS）
∴∠CBF＝∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°
∴∠ABF＝∠BAF＝50°
∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°
∴∠CDF＝30°．
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，
∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
6．解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，
由题意可得：∠C1NO＝∠A1MO＝90°，
∠1＝∠2＝∠3，
则△A1OM∽△OC1N，
∵点B（10，6），
∴OA＝10，OC＝6，
∴OA1＝10，A1M＝6，
∴OM＝8，
∴设NO＝3x，NC1＝4x，则OC1＝5x
∵OC1＝6，
则5x＝6，x＝
则NO＝3x＝，NC1＝4x＝，
故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．
故选：A．
7．解：∵S甲＝2ab﹣b2，S乙＝2ab．
∴k＝＝＝1﹣
∵a＞b＞0
∴＜k＜1
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
9．解：如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠HDO＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠GDO+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠HDO＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝25°，
∴∠DHO＝25°，
故选：B．
10．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
二．填空题
11．解：如图1，当点E在AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∵DE＝2，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；
如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，
∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．
故答案为：5或1．
12．解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，
∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，
∴AD∥BC，
∴∠A＝120°，∠MGD＝∠CGH，
∵点G为HD的中点，
∴HG＝DG，
∵∠MGD＝∠CGH，
∴△MGD≌△CGH（ASA），
∴MG＝CG，MD＝CH＝BC＝AD，
∴点G为MC的中点，点M为AD的中点，
∵F，G分别为CE和CM的中点，
∴FG是△CEM的中位线，
∴FG＝EM，
∴EM＝2FG＝4，
∵E，M分别为AB和AD的中点，
∴AE＝AM，
∵∠A＝120°，
∴EM＝AE＝4，
∴AE＝4，
∴AB＝2AE＝8．
故答案为：8．
13．解：∵菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），
∴D点坐标为（1，1）．
∵每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，2700°÷360＝7.5周，
∴OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
14．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
15．解：①：∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠C＝90°
∴MN2＝MC2+NC2
当MN＝MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2，
∴MC＝NC，
∴BM＝DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS）
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
，
∴△EAN≌△MAN（SAS）
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．故③正确；
④如图，将△ADN绕点A逆时针旋转90°得△ABF，
∴∠MAF＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠MAF，
在△MAN和△MAF中，
，
∴△MAN≌△MAF（SAS），
∴∠AMN＝∠AMB，
故④错误．
综上①②③正确．
故答案为：①②③．
三．解答题
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴?ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：?ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
17．证明：如图，作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
18．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，
∴CE+CG＝8是定值．