(共23张PPT)
抛物线及其标准方程
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e
的点的轨迹，
当 0< e <1时是椭圆，
当 e >1时是双曲线，
当 e =1时是什么曲线呢？
引 入
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
一、抛物线定义
其中 定点F叫做抛物线的焦点
定直线l叫做抛物线的准线
l
N
F
M
·
·
前提： 1、平面内
2、定点不在定直线上
l
N
F
M
·
·
求曲线方程的基本步骤是怎样的？
想一想？
K
回顾求曲线方程一般步骤：
1、建系、设点
2、写出适合条件P的点M的集合
3、列方程
4、化简
5、（证明）
y
o
·
·
F
M
l
N
K
设︱KF︱= p
则F（ ，0），l：x = -
p
2
p
2
设点M的坐标为（x，y），
由定义可知 |MF|=|MN| 即：
2
解：设取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线y轴
化简得 y2 = 2px（p＞0）
x
把方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程
而p 的几何意义是:
焦 点 到 准 线 的 距 离|FK|
其中
F（ ，0）， l ：x = -
p
2
p
2
K
O
l
N
F
x
y
.
二、标准方程
F
O
l
x
y
.
y2 = 2px
x2 = 2py
.F
x
y
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
3．四种抛物线的标准方程对比
怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？
顶点在原点
焦点在
x轴上
标准方程为
y2=+ 2px
(p>0)
开口与x轴同向:
y2=+2px
开口与x轴反向:
y =-2px
焦点在
y轴上
标准方程为
x =+ 2py
(p>0)
开口与y轴同向:
x =+2py
开口与y轴反向:
x =-2py
已知抛物线标准方程，如何确定抛物线焦点位置及开口方向？
一次项变量对应焦点所在轴，
开口方向看正负
例1
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
(1)y2=6x （2） （3）2x2+5y=0
（3）抛物线方程是2x2+5y=0 ,
即x2=- y, 2p=
则焦点坐标是F（0，- ）, 准线方程是y=
(2)焦点坐标是 准线方程是
例2
根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦点坐标是F（0，-2） (2)焦点在直线3x-4y-12=0上 (3) 抛物线过点A（-3，2）
解： (1)抛物线的方程是x2=-8y
(2)抛物线的方程是y2=16x或x2=-12y
(3)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时， 把A（-3，2）代入x2 =2py，
当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px，
得 p=
9 4
∴抛物线的标准方程为
x2 = y或y2 = - x
9 2
4 3
o
x
y
A
2 3
得 p=
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程 是x = ；
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =4x、 y2 = -4x、
x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （2）x2= y
（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
焦点坐标 准线方程
（1）
（2）
（3）
（4）
（5，0）
x= -5
（0，—）
1
16
y= - —
1
16
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，-2）
y=2
思考题：抛物线的方程为x=ay2（a≠0)求它的焦点坐标和准线方程？
抛物线的方程为x=ay2（a≠0)求它的焦点坐标和准线方程？
解：抛物线标准方程为：y2= x
1
a
∴2p=
1
a
4a
1
∴焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=
4a
1
②当a<0时, , 抛物线的开口向左
p
2
=
1
4a
∴焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=
4a
1
1
4a
①当a>0时, , 抛物线的开口向右
p
2
=
1
4a
小 结 ：
1、学习了一个概念－－抛物线
2、掌握了一种题型－－
3、注重了一种思想－－数形结合
有关抛物线的标准方程和它的焦点坐标、准线方程的求法
探索
1.你能说出课本中作抛物线的方法的依据吗
2.如图:已知抛物线和它的准线,请你用尺规法作出它的焦点。
l
作 业
课本P64
习题A 2、3, B,1(共15张PPT)
2.2.2《双曲线的简单几何性质》
一.复习引入
1.双曲线的定义是怎样的？
2.双曲线的标准方程是怎样的？
思考回顾
椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点;
④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢
回想：我们是怎样研究上述性质的？
一、双曲线的简单几何性质
y
B2
A1
A2
B1
x
O
b
a
M
N
Q
1.范围:
两直线x=±a的外侧
2.对称性:
关于x轴, y轴,原点对称
原点是双曲线的对称中心
对称中心叫双曲线的中心
一.双曲线的简单几何性质
y
B2
A1
A2
B1
x
O
b
a
M
N
Q
3.顶点:
(1)双曲线与x轴的两个交A (-a,0), A (a,0)叫双曲线的顶点
1
2
(2)实轴:线段A A 实轴长:2a
虚轴:线段B B 虚轴长:2b
1
2
1
2
y
B2
A1
A2
B1
x
O
b
a
M
N
Q
4.渐进线:
(1)渐进线的确定:矩形的对角线
(2)直线的方程: y=±－x
b
a
渐渐接近但永不相交
(1)概念:焦距与实轴长之比
y
B2
A1
A2
B1
x
O
b
a
M
N
Q
5.离心率
(2)定义式: e=－
c a
(3)范围: e>1 (c>a)
(4)双曲线的形状与e的关系
即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.
关于X轴、Y轴、原点都对称。
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
准线
(-a,0),B(0,b),B1(0,-b)
+
b2
a2
= 1 (a>b>0)
直线x
= + a,和y=+b所围成的矩形里
A(a,0) A1
e
=
a
c
(0A
B
o
B1
A1
x
y
.
.
O
A
B
A1
B1
L
L!
y2
x2
x
y
.
.
一.双曲线的简单几何性质
1.范围:
y
B2
A1
A2
B1
O
b
a
M
N
Q
2.对称性:
3.顶点: 实轴,虚轴
4.渐进线:
(1)渐进线的确定:对角线
(2)直线的方程: y=±－x
b
a
(1)概念:
5.离心率:
(2)定义式: e=－
c a
(3)范围: e>1
(4)双曲线的形状与e的关系
即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.
二. 应 用 举 例:
例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
2
2
例2.求一渐进线为3x+4y=0,一个焦点为(5,0)的双曲线的标准方程.
例3：点M（x,y)到定点F（5，0）的距离和它到定直线l:x=16/5的距离的比是常数5/4，求点M的轨迹。
例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程。
四.小结:
1.双曲线的几何性质: ①范围; ②对称性; ③顶点; ④渐进线; ⑤离心率
2.几何性质的应用(共17张PPT)
双曲线及其标准方程
一、回顾
1、椭圆的定义是什么？
2、椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？
平面上到两个定点的距离的和等于定长2a（2a大于| |）的点的轨迹叫椭圆。
x2
a2
+
y2
b2
=
1
( a ＞0，b ＞0)
想一想：如果“和”改为“差”，曲线的轨迹是什么？
F1
2、| | － | | =2a
1、| | － | | =2a
(2a< | | )
(2a< | | )
F2
M
这两条曲线合起来叫做双曲线，
每一条叫做双曲线的一支。
双曲线的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做双曲线。
注意： 1. 为什么要强调差的绝对值？
2. 为什么这个常数要小于|F1F2 |？如果不小于|F1F2 | ，轨迹是什么？
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
F1
F2
M
2、| | － | | =2a
1、| | － | | =2a
(2a< | | )
(2a< | | )
3、若常数2a=0
4、若常数2a = | |
F1
F2
5、若常数2a＞| |
F1
F2
轨迹不存在
如何求双曲线的标准方程？
x
y
o
1、建系设点。设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
常数=2a
F1
F2
M
2,双曲线就是集合：
P= {M ||MF1 | - | MF2| = ± 2a }
3.代入坐标，得方程。
即 √(x+c)2+y2 - √(x-c)2 + y2 = ± 2a
cx-a2=± a √(x-c)2+y2
(c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
∵c＞a，∴c2 ＞a2
令(c2-a2)=b2 (b>0)
x2
a2
-
b2
=
1
(a ＞0，b ＞0 c2=a2+b2)
y2
这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程
4.化为最简形式.
F1
F2
y
x
o
y2
a2
-
x2
b2
=
1
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么
想一想
思考：如何由双曲线的方程判断双曲线的焦点位置
双曲线的标准方程
方程形式：
位置特征：焦点在x轴上
焦点坐标
F1
F2
o
x
y
F1
F2
o
x
y
焦点在y轴上
数量特征：
例题分析
所求轨迹的方程为：
两条射线
轨迹不存在
例1、已知双曲线的焦点 (-5,0), (5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
变1、方程表示焦点在x轴上的双曲线时，求m的范围
例2、如果方程 表示双曲线，求m的范围
解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
变2、方程表示焦点在x轴上的椭圆时，求m的范围
x2
y2
m-1
+
2-m
=
1
解： m-1 >0
2-m <0
解： m-1 > 2-m > 0
∴m>2
∴1.5变3、对1、2条件下，求焦点坐标。
解：（± ，0）
双曲线的一支
两条射线
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹是什么？
2、若常数2a=0,轨迹是什么
3、若常数2a= F1F2 轨迹是什么？
垂直平分线
4、若常数2a＞ 轨迹是什么？
轨迹不存在
小结
定义
图像
方程
焦点
a.b.c的关系
·
x2
a2
-
y2
b2
=
1
y2
x2
a2
-
b2
=
1
||MF1|-|MF2||=2a（2a ＜ |F1F2|）
c2=a2+b2
F ( ±c,0) F(0, ± c)
F1
F2
o
x
y
F1
F2
o
x
2、⑴证明椭圆
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同
⑵若此椭圆与双曲线的一个交点
为P，F为焦点，求|PF|
1、反比例函数是
双曲线吗？
x2
25
+
y2
9
=
1
课外思考(共17张PPT)
圆锥曲线小结
复习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
(１) 求长轴与短轴之和为20，焦距为 的椭圆的标准方程_________________
和
(2)求与双曲线 有共同渐近线，且过点（-3， ）的双曲线方程；
(3)一动圆Ｍ和直线l:x=-2相切，并且经过点F(2,0)，则圆心Ｍ的轨迹方程是 ．
课前热身
一、知识回顾
圆 锥 曲 线
椭圆
双曲线
抛物线
标准方程
几何性质
标准方程
几何性质
标准方程
几何性质
第二定义
第二定义
统一定义
综合应用
椭圆 双曲线 抛物线
几何条件 与两个定点的距离的和等于常数 与两个定点的距离的差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定直线的距离相等
标准方程
图
形
顶点坐标 （±a,0),(0,±b) （±a,0) （0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 双曲线 抛物线
对称性 X轴，长轴长2a,
Y轴，短轴长2b X轴，实轴长2a,
Y轴，虚轴长2b X轴
焦点坐标 （±c,0)
c2=a2-b2 （±c,0)
c2=a2+b2 （p/2,0)
离心率
e= c/a 01 e=1
准线方程 x=±a2/c x=±a2/c x=-p/2
渐近线方程 y=±(b/a)x
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
2
2
故 渐进线方程为:y=±－x
解:把方程化成标准方程: －- －=1
y
16
x
25
2
2
故 实半轴长a=4,虚半轴长b=3
∴ c=√16+9 =5.
________
∴ e=－
5
4
3
4
二、应用举例
例2.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证：OA⊥OB。
证法1：将y=x-2代入y2=2x中，得 (x-2)2=2x
化简得 x2-6x+4=0
解得：
则：
∴OA⊥OB
证法2：同证法1得方程 x2-6x+4=0
由一元二次方程根与系数的关系，可知
x1+x2=6, x1·x2=4
∴OA⊥OB
∵y1=x1-2 , y2=x2-2;
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4
=4-12+4=-4
例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y),半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。
分别将两已知圆的方程
x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0
配方，得
（x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时，有 |O1P|=R+2 ①
当⊙P与⊙O2: (x-3)2+y2=100内切时，有 |O2P|=10-R ②
①、②式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12
即
O1
P
X
Y
O2
化简并整理，得 3x2+4y2-108=0
即可得
所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为
解法2：同解法1得方程
即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和是常数12，所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0），长轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 ∴b2=36-9=27
于是得动圆圆心的轨迹方程为
这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为
三、课堂练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ ）
A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
D
2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点，O为原点，则OP线段中点Q的轨迹方程是（ ）
3．和圆x2+y2=1外切，且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹方程是 。
x2=2|y|+1
B
做练习
3．过点P（ 0 ， 4 ）与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线有 条。
4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有公共点，则m的取值范围是 。
5、过点M（-2，0）的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线 l 的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则 k1k2 的值为 ( )
3
[1,5）
已知椭圆 中，F1、F2 分
别为其 左、右焦点和点A ，试在椭圆上找一点 P,使
（1） 取得最小值;
（2） 取得最小值.
A
F1
F2
x
y
o
P
P
思考题
四、小结：
1、本节课的重点是掌握圆锥曲线的定义及性质在解题中的应用，要注意两个定义的区别和联系。
2、利用圆锥曲线的定义和性质解题时，要注意曲线之间的共性和个性。
3、利用圆锥曲线的定义和性质解题时，要加强数形结合、化归思想的训练，以得到解题的最佳途径。
五、布置作业：
P80 A组 1 10
B组 2 5
补充:在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设|BC|=m，当三个角Ａ，Ｂ，Ｃ有满足条件|sinC－sinB|=sinA时，求顶点A的轨迹方程．(共15张PPT)
2.2.2椭圆的简单几何性质(二)
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
a2=b2+c2
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
复习
课前练习
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
1.经过点P(-3,0) 、Q(0,-2);
2.长轴的长等于20,离心率等于
例5 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.
解：建立如图所示的直角坐标系，
设所求椭圆方程为
y
F2
F1
x
o
B
C
A
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
F
l
x
o
y
M
H
d
变式、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M 的轨迹。
y
F
F’
l
I’
x
o
P={M| }
由此得
将上式两边平方，并化简，得
设 a2-c2=b2,就可化成
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a,2b 的椭圆
M
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合
F
F’
l
I’
x
o
y
由变式可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直
线的距离 的比是常数 时，这个点的轨
迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 此为椭圆的第二定义.
对于椭圆 ，相应于焦点F（c,0)
准线方程是 , 根据椭圆的对称性，相应于
焦点F‘(-c.0) 准线方程是 ,
所以椭圆有两条准线。
由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：
设P(x0,y0)是椭圆 上的一点,F1(c,0), F2(c,0)分别是椭圆的左焦点、右焦点,我们把线段PF1,PF2的长分别叫做椭圆的左焦半径、右焦半径.
该公式的记忆方法为‘‘左加右减”，即在a与ex0之间，
如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用“－”号连接．
焦半径公式
①焦点在x轴上时：
│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；
②焦点在y轴上时： │PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。
课堂练习
1、椭圆 上一点到准线 与到焦点（-2，0）的距离的比是 （ ）
B
2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是( )
C
3.若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是 ____________
3x2-8x+4y2=0
例7.
解：
变式:
1.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定
B
小结
1. 椭圆的第二定义
2.焦半径：
①焦点在x轴上时：
│PF1│=a+ex0，│PF2│=a-ex0；
②焦点在y轴上时： │PF1│=a+ey0,│PF2│=a-ey0。(共18张PPT)
问题1：已知椭圆25x2+16y2=400；
（1）求焦点坐标；
（2）求椭圆与坐标轴的交点坐标；
（3）求x,y的取值范围；
问题1：已知椭圆25x2+16y2=400；
（1）求焦点坐标；
（2）求椭圆与坐标轴的交点坐标；
（3）求x,y的取值范围；
顶点
范围
1
2
y
o
F
F
M
x
F1(-c,0)，F2(c,0)
动画
用什么量来反映焦点离开中心的程度呢
返回
F1(0, - c),F2(0, c)
1
o
F
y
x
2
F
M
问题1：已知椭圆25x2+16y2=400；
（1）求焦点坐标；
（2）求椭圆与坐标轴的交点坐标；
（3）求x,y的取值范围；
（4）求长轴长与短轴长；
（5）求离心率；
2答案
3答案
变式：已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 ，求m的值。
◎求此椭圆的长轴和短轴的长、
焦点坐标、顶点坐标。
变式：若ΔF1PF2面积为1，求点P的坐标。
1
2
y
o
F
F
M
x
F1(-c,0)，F2(c,0)
1
o
F
y
x
2
F
M
F1(0, -c),F2(0, c)(共26张PPT)
抛物线的简单几何性质
定
义 平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
集合表示为 ,（其中d为点到直线的距离）
图
形
方程
焦点
准线
练习: 填出下列抛物线的焦点坐标和准线方程
抛物线方程 焦点坐标 准线方程
l
F
y
x
O
抛物线在
y轴的右侧
X轴正向
抛物线向 无限延伸
开口方向与 相同
右上方和右下方
关于 轴对称,
抛物线的轴
x
1.范围:
2.对称性:
抛物线的对称轴叫
抛物线上的点M到
叫抛物线的离心率
抛物线的顶点
焦点的距离和它到准线的距离的比,
3.顶点:
4.离心率:
此抛物线的顶点为坐标原点
抛物线与它的轴
的交点叫
l
F
y
x
O
方程
图
形
范围
对称性
顶点
离心率
y2 = 2px
（p＞0）
y2 = -2px
（p＞0）
x2 = 2py
（p＞0）
x2 = -2py
（p＞0）
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
x∈R
y≥0
y≤0
x∈R
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
e=1
e=1
e=1
e=1
例1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M ,求它的标准方程.
解:∵抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点,经过点M , ∴设它的标准方程为
∵点M在抛物线上,∴
即p=2 ,∴所求抛物线方程是以y2=4x
思考:顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴,并且经过点M 的抛物线有几条 求出它们的标准方程.
抛物线标准方程的求法：①直接法、②待定系数法——先定位、后定量
先定位
后定量
练习:求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点,焦点是（0,－4）
（2）顶点在原点，准线是x＝4
（3）焦点是F(0,5),准线是y＝－5
（4）顶点在原点,焦点在x轴上,
过点A(－2，4)
例2.斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
l
F
y
x
O
A
B
解:由抛物线 ,得 ∴焦
点F的坐标为(1,0),
由(1)代入(2),得,
∵斜率为1的直线 经过抛物线的焦点F,
∴直线 的方程为
由
∴由两点间的距离公式,得
线段AB的长为8
例2.斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点, 求线段AB的长.
B’
A’
l
F
y
x
O
A
B
求弦长一般要解方程组,
用韦达定理来求,若直线的斜率
为k,则弦长公式为
|AB|=
解:由抛物线 ,得 ∴焦
点F的坐标为(1,0),
由(1)代入(2),得,
∵斜率为1的直线 经过抛物线的焦点F,
∴直线 的方程为
由
设A,B两点到准线的距离分别是
线段AB的长为8
例2.斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点, 求线段AB的长.
l
F
y
x
O
A
B
抛物线上 的点P(x0,y0)与焦点的连线通常称为焦半径,焦半径的长等于
焦点弦的长的求法:到焦点的距离转为到准线的距离
特别地:如果直线过抛物线的焦点与对称轴垂直，则弦长为
l
通径
F
y
x
O
A
B
B‘
A’
这条弦通常称为
结论:①求弦长一般要解方程组,
用韦达定理来求,若直线的斜率
为 ,则弦长公式为
|AB|=
③过抛物线焦点的直线截得的 弦称为焦点弦
②抛物线上的点与焦点的连线
称为焦半径，它的长转为到
焦点的距离，|PF|=
弦长|AB|=|AF|+|BF|
=
设
A，B到准线的距离分别为
则由抛物线的定义，得|AF|=
|BF|=
∴|AB|=|AF|+|BF|=
,设弦AB所在直线的斜率为
解：由抛物线
，得
∴焦点F的坐标为（1，0），
方程为
准线方程为
变式练习:
已知过抛物线 的焦点F弦长为36,求弦所在的直线方程
，
=36，∴
=34，
由
把(1)代入(2)得
，即
∴
=34，∴
，
∴弦所在的直线方程为
小结:
本节主要学习内容
1、抛物线的简单几何性质的探究
2、根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程
3、对焦半径公式的应用和焦点弦的理解，在解题过程中必须明白数形结合的思想的重要性。
范围
对称性
顶点
离心率
抛物线标准方程的求法：
直接法、待定系数法
——先定位、后定量
抛物线上 的点(x0,y0)与焦点的连线通常称为焦半径,焦半径的长等于
焦点弦的长的求法:到焦点的距离转为到准线的距离
检测练习:
1.根据下列条件,求抛物线的方程．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，
顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴
上,且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，
其上点P（m，－3）到焦点距离为5
，
(1)
(2)
(3)
2.过抛物线
直线交抛物线于
两点,如果
那么
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
的焦点作
为( )
B
3.过抛物线焦点F的直线与抛物线
交于A、B两点，若A、B在准线上的
射影是A1,B1,则∠A1FB1等于
4.抛物线顶点在原点，以坐标轴
为对称轴，过焦点且与y轴垂直的
弦长为16，求抛物线方程．
90°
5.若抛物线 上一点M到准线及对称轴的距离分别是10和6,求点M的横坐标和的 值
9,2或1,18(共28张PPT)
地球绕太阳运行的轨道是椭圆
椭圆与生活
阳光下空中的气球在地面上的影子是椭圆
在我们实际生活中，同学们还见过其他椭圆吗？能举出一些实例吗？
想一想
拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计，
无论从力学原理，还是从施工角度考虑
都是优越于传统的圆弧型和抛物线型的。
中国水利水电科学研究院研究表明：
1.什么叫圆
2.取一条定长的细绳，把它的两端固定在平面内的同一点上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹
圆
探索发现
若将细绳两端分开并且固定在平面内的 F1、F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？
F1
F2
（1）在画出一个椭圆的过程中，绳子两端的位置是固定的还是运动的？
（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
合作与讨论
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下在运动中，椭圆上的点所满足的几何条件是什么？应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹
（2 ）到两定点F1，F2的距离等于定长
（3）定长﹥ |F1F2|
要素：
（1）在平面内
F1
F2
P
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
M
几点说明：
1、F1、F2是两个不同的定点；
2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）；
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
下面我们来求椭圆的标准方程.
化 简
列 式
设 点
建 系
F1
F2
x
y
以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
F1
F2
x
y
P( x , y )
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2|
为定值，设为2a，则2a>2c
则：
设
得
即：
O
x
y
O
F1
F2
P
b2x2+a2y2=a2b2
如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c).这里c2=a2-b2．方程是怎样呢？
y
P
x
o
F1
F2
(-c,0)
(c,0)
(x,y)
由两点间的距离公式，可知：
x
y
设|F1F2|=2c(c＞0)，P(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，
又由椭圆 的定义可得：
|PF1|+ |PF2|=2a
椭圆的标准方程
x
O
y
F1
F2
M
F1(0 ,-c)、F2(0, c)
x
O
y
F1
F2
M
F1(-c,0)、F2(c,0)
因此椭圆的标准方程有两种形式：
由标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中字母x、y项的分母大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴.
(焦点在x轴上)
O
(焦点在y轴上)
O
根据已知条件，求下列椭圆的焦点坐标
(0,-3),
(0,3)
(1)
(2)
a2=b2+c2
c2=a2-b2
已知椭圆的方程为： ，
则a＝____，b＝____，c＝___， 焦点
坐标为：___ ，焦距等
于____。如果曲线上一点P到焦点F1的
距离为8，则点P到另一个焦点F2的距离
等于______。
10
6
8
(0,-8)、(0,8)
16
12
例1 求适合下列条件的标准方程：
（1） 两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）
椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
（2） 两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，-2）
并且椭圆经过点
解： （1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 （a>b>0)
因为2a=10, 2c=8
所以a= 5, c=4
所以所求椭圆的标准方程为
（2） 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
(a>b>0)
由椭圆的定义知，
所以所求的椭圆的标准方程为
若动点P到两定点F1(－4,0)，
F2(4,0)的距离之和为8，则动点
P的轨迹为（ ）
A. 椭圆 B. 线段F1F2
C. 直线F1F2 D. 不能确定
B
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；
(1)a= ,b=1,焦点在x轴上；
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
