第1章 1.1.2
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( )
A．4 B．8
C．4或8 D．无解
解析： 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
答案： C
2．在△ABC中，下列关系式
①asin B＝bsin A ②a＝bcos C＋ccos B ③a2＋b2－c2＝2abcos C
④b＝csin A＋asin C
一定成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析： 由正、余弦定理知①③一定成立，对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．
答案： C
3．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2
A. B.
C. D.
解析： 根据余弦定理：cos A＝>0，∴A为锐角．
∵在不等边三角形中，a是最大边，∴A是最大角，
∴△ABC为锐角三角形，∴答案： B
4．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝( )
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.－
解析： △ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos 30°，∴b2＝2(＋)2－2(＋)2×＝(2－)(＋)2＝4(2＋)(2－)＝4，∴b＝2.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是______．
解析： 由题设和正、余弦定理得2×＝，
化简得a2－b2＝0，即a＝b.
答案： 等腰三角形
6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B
＝ac，则角B的值为________．
解析： ∵＝cos B，
结合已知等式得cos B·tan B＝.
∴sin B＝，
∵B∈(0，π)
∴B＝或
答案： 或
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos A＝.若a＝4，b＋c＝6，且b解析： 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，
∴16＝36－bc，∴bc＝8.
由可求得.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＝(2a－c)cos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．
解析： (1)由已知及正弦定理，得
sin Bcos C＝(2sin A－sin C)cos B，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acos B.
∵sin(B＋C)＝sin A≠0，∴2cos B＝1，即cos B＝，∴B＝60°.
(2)根据余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B，又b2＝ac，则ac＝a2＋c2－2accos 60°，即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0，即a＝c.
从而b＝＝a＝c，故△ABC为正三角形．
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asin A
＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，求A的大小．
解析： 由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)·c
即a2＝b2＋c2＋bc
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴cos A＝－
∵A∈(0，π)，∴A＝120°.第1章 1.2.2
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于( )
A．12 B.
C．28 D．6
解析： 由余弦定理可得cos A＝，A＝60°，∴S△ABC＝bcsin A
＝6.故选D.
答案： D
2．在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析： ∵a＝2bcos C＝2b·＝，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c.
∴△ABC是等腰三角形．故选B.
答案： B
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.若b2＝ac，且c＝2a，则cos B等于( )
A. B.
C. D.
解析： 由余弦定理得
cos B＝＝＝
答案： A
4．在△ABC中，A＝120°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为( )
A. B.
C. D.
解析： 由S△ABC＝bcsin A得＝×1×c·sin 120°
∴c＝4
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A
∴a2＝12＋42－2×1×4cos 120°＝21
∴a＝，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则AB＝________.
解析： 由三角形面积公式得
×3×4·sin C＝3，sin C＝.
又∵△ABC为锐角三角形FF0C
∴C＝60°.
根据余弦定理
AB2＝16＋9－2×4×3×＝13.
AB＝.
答案：
6．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为________．
解析： a2＝b2＋c2－2bccos A，又已知a2＋4S＝b2＋c2，故S＝bccos A＝bcsin A，从而sin A＝cos A，tan A＝1，A＝45°.
答案： 45°
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，A·A＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解析： (1)∵cos＝，
∴cos A＝2cos2－1＝，sin A＝，
又由A·A＝3，得bccos A＝3，∴bc＝5，
∴S△ABC＝bcsin A＝2.
(2)由(1)得bc＝5，又b＋c＝6，∴b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，∴a＝2.
8．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．
解析： 在△ACD中，由余弦定理，得cos C＝＝＝.
∵C为三角形的内角，∴C∈(0，π)，
∴sin C＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝＝.
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9．(10分)在△ABC中，a＋b＝10，cos C的值是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求三角形周长的最小值．
解析： 设三角形的另一边是c，
方程2x2－3x－2＝0的根是x＝－或x＝2.
∵cos C≤1，∴cos C＝－.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－2ab＝(a＋b)2－ab
＝100－ab＝100－a·(10－a)＝100＋a2－10a＝75＋(a－5)2.
要使三角形的周长最小，只要c最小．
∴当a＝5时，c2最小，
∴c最小，c的最小值是＝5.
∴三角形周长的最小值是10＋5.第1章 1.2.1
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
解析： 在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°
∴∠ABC＝30°，由正弦定理：＝
∴AB＝＝＝50 m．故选A.
答案： A
2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
A．(15＋3) m B．(30＋15) m
C．(30＋30) m D．(15＋30) m
解析： 由正弦定理可得＝，
PB＝＝，h＝PBsin 45°＝＝(30＋30) m.
故选C.
答案： C
3．某海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°角，从B岛望C岛和A岛成75°角，则B，C两岛之间的距离是( )
A．10海里 B.海里
C．5海里 D．5海里
解析： 如图所示，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，所以C＝45°，
由正弦定理＝，得BC＝＝＝5(海里)．
答案： D
4．如右图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
解析： 由A与B不可到达，故不易测量α，β，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．
解析： 由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，
∴∠ACB＝15°，
由正弦定理
BC＝·sin∠BAC
＝·sin 30°
＝＝15(＋)．
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.
答案： 无
6．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.
解析： 由题意可知：在△BCD中，
∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，
则∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°.
由正弦定理可得：
BC＝＝＝15.
又在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC·tan∠ACB＝15×＝15(米)．
答案： 15 米
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°，sin 41°＝)
解析： 连结BC，由余弦定理得
BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.
于是，BC＝10.
∵＝，∴sin∠ACB＝，
∵∠ACB<90°，∴∠ACB≈41°，
∴乙船应朝北偏东约41°＋30°＝71°的方向沿直线前往B处救援．
8．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
解析： 如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．
在△ABC中，AB＝≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1，
在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1.
∵×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
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9．(10分)如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间？
解析： 由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得＝
∴DB＝
＝
＝
＝＝10(海里)
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°
BC＝20海里
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)
答：救援船到达D点需要1小时．第1章整合
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一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，c＝，则角C为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析： 根据余弦定理：
cos C＝＝＝，
∴C＝60°.
答案： B
2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
解析： 由于sin B＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°时，c＝30°.c＝＝2；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝.
答案： C
3．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是( )
A. B.
C. D.
解析： 设长为4,5的两边的夹角为θ，
由2x2＋3x－2＝0得：x＝或x＝－2(舍)．
∴cos θ＝，
∴第三边长为＝.
答案： B
4．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝1，b＝，A＝30°
C．a＝1，b＝2，A＝100° D．b＝c＝1，B＝45°
解析： A：a＋b＝3＝c，不能构成三角形；
B：bsin AC：aD：b＝c＝1，故△ABC为等腰三角形，
∴C＝B＝45°，∴A＝90°，故只有一解．
答案： D
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋b2＝c2＋ab，则C＝( )
A．60° B．120°
C．45° D．30°
解析： 由余弦定理得
cos C＝＝＝
又∵C∈(0°，180°)
∴C＝60°.
答案： A
6．在△ABC中，若a2＋b2－c2<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．都有可能
解析： 由余弦定理，得cos C＝<0.
所以C为钝角．于是△ABC为钝角三角形．
答案： C
7．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析： 由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4知，a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，则b＝2x，c＝4x(x>0)，
根据余弦定理得，cos C＝
＝＝－.
答案： C
8．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为( )
A. B．3
C. D．7
解析： 由S＝AB×AC×sin A得AC＝1
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A
＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3
∴BC＝，故选A.
答案： A
9．锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，如果B＝2A，则的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(0,2)
C．(，) D．(，2)
解析： ∵＝＝＝2cos A，
又∵△ABC是锐角三角形，∴，
∴30°答案： C
10．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是( )
A．5(＋)km B．5(－)km
C．10(＋)km D．10(－)km
解析： 如图，由题意得∠BAC＝30°，∠ACB＝75°，
∴＝，
∴BC＝＝10(－)km.
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．在△ABC中，A，B，C是三个内角，C＝30°，则sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C的值是________．
解析： sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C＝(a2＋b2－2abcos C)
＝＝sin2C＝.
答案：
12．在△ABC中，若S△ABC＝(a2＋b2－c2)，那么角C＝___________________________.
解析： 根据三角形面积公式得，
S＝absin C＝(a2＋b2－c2)
∴sin C＝.
又由余弦定理：cos C＝，
∴sin C＝cos C，∴C＝.
答案：
13．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为________．
解析： 由锐角三角形及余弦定理知：
答案： 14．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，则甲船应沿________方向前进才能尽快追上乙船，追上时乙船已行驶了________海里．
解析： 如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，由题意及正弦定理，得sin θ＝＝，
∴θ＝30°.从而BC＝＝＝a.
即甲船应沿北偏东30°方向前进才能尽快追上乙船，追上时，乙船已行驶了a海里．
答案： 北偏东30° a
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)在△ABC中，已知sin C＝，试判断三角形的形状．
解析： ∵sin C＝，
由正弦定理得c(cos A＋cos B)＝a＋b，
再由余弦定理得，
c·＋c·＝a＋b，
∴a3＋a2b－ac2－bc2＋b3＋ab2＝0，
∴(a＋b)(c2－a2－b2)＝0，∴c2＝a2＋b2，
∴△ABC为直角三角形．
16．(本小题满分12分)在△ABC中，已知c＝，b＝1，B＝30°.
(1)求角A；
(2)求△ABC的面积．
解析： (1)由＝得
sin C＝sin B＝×sin 30°＝.
∵c>b，∴C>B，∴C＝60°或C＝120°.
∴A＝90°或A＝30°.
(2)S△ABC＝bcsin A
＝×1×sin 90°＝.
或S△ABC＝bcsin A＝×1××sin 30°＝.
即△ABC的面积为或.
17．(本小题满分12分)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csin A.
(1)确定角C的大小；
(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．
解析： (1)由a＝2csin A及正弦定理得，
＝＝.
∵sin A≠0，∴sin C＝.
∵△ABC是锐角三角形，∴C＝.
(2)∵c＝，C＝，由面积公式得
absin ＝，即ab＝6.①
由余弦定理得a2＋b2－2abcos ＝7，
即a2＋b2－ab＝7，
∴(a＋b)2＝7＋3ab.②
由①②得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.
18．(本小题满分14分)在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B、C、D，B、C两市相距20 km，C、D相距34 km，C城在B、D两城之间．如图所示，某时刻C市感到地表震动，8秒后B市，20秒后D市先后感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.
求：震中到B、C、D三市的距离．
解析： 在△ABC中，由题意AB－AC＝1.5×8＝12.
在△ACD中，由题意AD－AC＝1.5×20＝30.
设AC＝x，则AB＝12＋x，AD＝30＋x.
在△ABC中，
cos∠ACB＝＝＝.
在△ACD中，
cos∠ACD＝
＝＝.
∵B、C、D在一条直线上，
∴＝－，即＝.
解之得x＝(km)．∴AB＝，AD＝.
答：震中距B、C、D三市分别为 km， km， km.得n＝0或n＝－1，∵n N*，故A错．
令n2＋n＝20，即n2＋n－20＝0，∴n＝4或n＝－5(舍)，
∴a4＝20.故B正确．
令n2＋n＝3，即n2＋n－3＝0.
∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C错．
令n2＋n＝930，即(n＋31)(n－30)＝0，
∴n＝30或n＝－31(舍)，∴a30＝930，故D错．
答案： B
3．设数列，第1章 1.1.1
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝( )
A．105° B．60°
C．15° D．105°或15°
解析： 由正弦定理，得
sin C＝＝＝.
∵a∴B＝180°－(A＋C)，∴B＝105°或15°.故选D.
答案： D
2．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立
D．在△ABC中，＝
解析： 由正弦定理知A、C、D正确，
而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，
∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．
答案： B
3．若＝＝，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．直角三角形，且有一个角是30°
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形，且有一个角是30°
解析： 在△ABC中，由正弦定理：
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入＝＝得：
＝＝，
∴＝＝1.
∴tan B＝tan C＝1，∴B＝C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
答案： C
4．判断下列说法，其中正确的是( )
A．a＝7，b＝14，A＝30°有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°只有一解
C．a＝6，b＝9，A＝45°有两解
D．b＝9，c＝10，B＝60°无解
解析： A中，由正弦定理得sin B＝＝＝1，所以B＝90°，故只有一解，A错误；B中，由正弦定理得sin B＝＝<1，又A为钝角，故只有一解，B正确；C中，由正弦定理得sin B＝＝>1，所以B不存在，故无解，C错误；D中，由正弦定理得sin C＝＝<1，因为b答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边的长为________．
解析： 在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理b＝＝＝.
答案：
6．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若△ABC只有一解，则x的取值集合为________．
解析： sin A＝＝＝x，
当x＝2时，sin A＝1，△ABC有一解；
又当a≤b时，即x≤2时，A为锐角，△ABC只有一解．
答案： {x|0三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，求边b的值．
解析： 由正弦定理＝得b＝＝
＝2.
8．在△ABC中，若＝＝，试判断三角形的形状．
解析： 由正弦定理知＝＝，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝.
又∵>1，∴B>A，∴△ABC为直角三角形．
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9．(10分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2B＝A＋C，a＋b＝2c，求sin C的值．
解析： ∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°，
∴0°∵a＋b＝2c，
由正弦定理得sin A＋sin B＝2sin C，
∴sin(120°－C)＋＝2sin C，
即cos C＋sin C＋＝2sin C，
∴sin C－cos C＝，∴sin(C－30°)＝.
∵－30°sin C＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
＝.