第2章 2.3 第1课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析： S5＝＝25
∴a1＋a5＝10，又∵a1＋a5＝2a3
∴a3＝5，a2＝3，∴d＝2
∴a7＝a3＋(7－3)d＝5＋4×2＝13.故选B.
答案： B
2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则数列{an}的前10项和S10＝( )
A．138 B．135
C．95 D．23
解析： 方法一：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，得2a1＋4d＝4,2a1＋6d＝10，从而可得a1＝－4，d＝3，所以S10＝10a1＋45d＝95.故选C.
方法二：(a3＋a5)－(a2＋a4)＝(a3－a2)＋(a5－a4)＝2d＝6，从而d＝3；又a2＋a4＝2a3＝4，从而a3＝2，所以S10＝＝＝＝95.故选C.
方法三：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，得a4＋a6＝16，a5＋a7＝22，于是a4＋a7＝＝19，所以S10＝＝＝95.故选C.
方法四：注意到a2＋a4＝2a3＝4，a3＋a5＝2a4＝10，∴a3＝2，
a4＝5.又Sn＝an2＋bn，所以a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝2，a4＝S4－S3＝16a＋4b－(9a＋3b)＝5，从而a＝，b＝－，
即Sn＝n2－n，所以S10＝95.故选C.
答案： C
3．已知{an}是等差数列，a10＝10，前10项和S10＝70，则公差d＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析： S10＝＝5(a1＋10)＝70，
解得a1＝4.∴d＝＝.故选D.
答案： D
4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
解析： ∵{an}为等差数列，
∴a1＋a3＋a5＝105 a3＝35，
a2＋a4＋a6＝99 a4＝33，
d＝a4－a3＝33－35＝－2，
∴{an}是递减数列．
an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，
an≥0，－2n＋41≥0，n≤，
∴当n≤20时，an>0，
∴n＝20时，Sn最大，故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
解析： 由Sn＝n2－9n，得此数列为等差数列，计算得an＝2n－10，由5<2k－10<8，得7.5答案： 8
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
解析： 由a6＝S3＝12可得{an}的公差d＝2，首项a1＝2，故易得an＝2n.
答案： 2n
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
解析： 设{an}的公差为d，则
即
解得或
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)
或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
8．已知f(x＋1)＝x2－4，在递增的等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)．
(1)求x的值；
(2)求通项公式an；
(3)求a2＋a5＋a8＋…＋a26的值．
解析： (1)令t＝x＋1，则x＝t－1，得f(t)＝(t－1)2－4，
即f(x)＝(x－1)2－4.
由a1，a2，a3成等差数列，得f(x－1)＋f(x)＝－3，
即2x2－6x＝0，解得x＝0或x＝3.
当x＝0时，a1＝f(－1)＝0，公差d＝－<0，舍去；
当x＝3时，a1＝f(2)＝－3，公差d＝>0，
故所求的x的值为3.
(2)因为x＝3，所以首项a1＝－3，公差d＝，
所以通项公式为an＝n－.
(3)因为数列{an}为等差数列，故a2，a5，a8，…，a26也成等差数列，且公差为3d＝，
所以a2＋a5＋a8＋…＋a26＝×9＋×＝，
即a2＋a5＋a8＋…＋a26的值为.
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)已知数列{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bn＝.
(1)求公差d；
(2)若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项；
(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．
解析： (1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4，
解得d＝1.所以公差d为1.
(2)∵a1＝－，∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n－，∴bn＝1＋＝1＋.
∵函数f(x)＝1＋在和上分别是单调减函数，
∴当1≤n≤3时，b3当n≥4时，1∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1，
故数列{bn}中的最大项和最小项分别为3，－1.
(3)由bn＝1＋，得bn＝1＋.
又函数f(x)＝1＋在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，
∴当x<1－a1时，f(x)<1；
当x>1－a1时，f(x)>1.
∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，
∴7<1－a1<8，∴－7∴a1的取值范围是(－7，－6)．第2章 2.3 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B.
C. D.
解析： 设S3＝m，∵＝，
∴S6＝3m，∴S6－S3＝2m，
由等差数列依次每k项之和仍为等差数列，
得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，
∴S6＝3m，S12＝10m，
∴＝，故选A.
答案： A
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－2 010，－＝2，则S2 010的值为( )
A．2 010 B．－2 010
C．0 D．1
解析： 在等差数列{an}中，＝a1＋＝n＋，即是以a1为首项，为公差的等差数列．
又－＝2，即2×＝2，所以＝1.又a1＝－2 010，从而＝－2 010＋(2 010－1)×1＝－1，
所以S2 010＝－2 010，故选B.
答案： B
3．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为( )
A．5 B．－5
C．－2.5 D．2.5
解析： 由题意知S奇＋S偶＝75，又S偶＝25，
∴S奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S偶－S奇＝10d，即25－50＝10d，∴d＝－2.5.
答案： C
4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析： 因为＝.
又因为＝＝＝，
所以＝＝7＋，
要使为整数，则必为整数，
于是n可取0,1,2,3,5,11，
因为n为正整数，因此n取1,2,3,5,11，共5个数．故应选D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为________．
解析： S4＝1，S8－S4＝3，
而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等差数列．
即1,3,5,7,9成等差数列．
∴a17＋a18＋a19＋a20
＝S20－S16＝9.
答案： 9
6．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋5，则a5＋a6＋a7＝___________.
解析： a5＋a6＋a7＝S7－S4＝39.
答案： 39
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知数列{bn}的前n项和Sn＝9－6n2.若bn＝2n－1an，求数列{an}的通项公式．
解析： 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1
＝9－6n2－9＋6(n－1)2＝－12n＋6①
当n＝1时，b1＝S1＝3不满足①式，
∴bn＝，
又bn＝2n－1an，
∴an＝.
8．已知数列{an}是等差数列．
(1)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.
(2)项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．
解析： (1)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，
所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.
(2)
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项(共n－m＋1项)之和．
(1)在递增数列{an}中，an与an＋1是关于x的方程x2－4nx＋4n2－1＝0(n为正整数)的两个根，求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列；
(2)对(1)中的数列{an}，判断数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k是否为等差数列．
解析： (1)解方程x2－4nx＋4n2－1＝0，得
x1＝2n－1，x2＝2n＋1.
∵{an}是递增数列，∴an＝2n－1，an＋1＝2n＋1，an＋1－an＝2，
∴数列{an}是等差数列，其通项公式为an＝2n－1.
(2)当k为正整数时，S3k－2→3k＝a3k－2＋a3k－1＋a3k＝18k－9，S3(k＋1)－2→3(k＋1)＝18(k＋1)－9＝18k＋9，
∴S3(k＋1)－2→3(k＋1)－S3k－2→3k＝18(常数)，
∴数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k是等差数列．第2章 2.4 第1课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝( )
A．－ B．－2 C．2 D.
解析： 根据an＝am·qn－m，
4．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2
答案： CCDC
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m＝________.(11)
6．在数列{an}中，a1＝2，且对任意自然数n,3an＋1－an＝0，则an＝________. 2·n－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．一个等比数列的前三项依次是a,2a＋2,3a＋3，则－13是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.
证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列．
7解析： ∵a,2a＋2,3a＋3是等比数列的前三项，∴a(3a＋3)＝(2a＋2)2.
解得a＝－1或a＝－4. 当a＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0，
与等比数列定义矛盾，故a＝－1舍去．当a＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9， 则公比为q＝，∴an＝－4n－1，
令－4n－1＝－13，即n－1＝＝3，∴n－1＝3，即n＝4，
∴－13是这个数列中的第4项．
8证明： 由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，两式相减得
b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1， 即an＋1＝ban＋2n ①
当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n，
于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)．
又a1－1·21－1＝1≠0，所以{an－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．
第2章 2.4 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：
①{an3}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}，其中是等比数列的有________个( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 对于①，因为＝3＝q3(常数)，所以{an3}是等比数列；
对于②，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；
对于③，因为＝＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；
对于④，q≠－1时，因为＝＝＝q(常数)
∴{an＋an＋1}是等比数列，若q＝－1，an＋an＋1＝0，不是等比数列，故选C.
2．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n
3．等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为( )
A．3×10－5 B．3×29 C．128 D．3×2－5或3×29
4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，
则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
解析： 由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得an2＝22n，又an>0，则an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选C.
答案： CADC
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在等比数列{an}中，a3a5a7a9a11＝243，则的值为________．（3）
6．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．（2.5）
解析： 方法一：∵a1＋a2＝1＋4＝5，b22＝1×4＝4，且b2与1,4同号，
方法二：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
an＝－2n－1
8．(1)有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四个数．
(2)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数．
8解析： (1)由题意设此四数为，b，bq，a，
则有解得或，
所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
(2)设这四个数分别为a、aq、aq2、aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列，
据题意.整理得，解得.
因此所求四个数为3,6,12,24.
?
第2章 2.5
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为( )
A. B. C. D.
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝( )
A．2 B．4 C. D.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B. C. D．3
4．等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于( )
A. B. C．20 D．110
解析： 由题意知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100，
S偶＝a2·a4·…·a2n＝120 ∴＝·a1＝＝，∴a1·qn＝an＋1＝，故选B.
答案： DCBB
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．等比数列中Sn＝48，S2n＝60，则S3n等于________．(63)
解析： ∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
6．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝__11______.
解析： 设数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.
又a1＋a2＋a3＝(1－q3)＝1， ∴＝，∴S15＝(1－q15)＝[1－(q3)5]＝×[1－(－2)5]＝11.故填11.
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；q＝－. (2)若a1－a3＝3，求Sn. =
第2章
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8a9a10a11＝( )
A．10 B．25 C．50 D．75
2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45 B．50 C．75 D．60
3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
4．在等差数列{an}中，设公差为d，若前n项和为Sn＝－n2，则通项和公差分别为( )
A．an＝2n－1，d＝－2 B．an＝2n－1，d＝2
C．an＝－2n＋1，d＝－2 D．an＝－2n＋1，d＝2
5．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．81 C．36 D．27
6．已知数列{an}的前三项依次是－2,2,6，前n项的和Sn是n的二次函数，则a100＝( )
A．394 B．392 C．390 D．396
7．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( )
A．60 B．24 C．18 D．90
8．数列{an}满足an＝4an－1＋3，a1＝0，则此数列的第5项是( )
A．255 B．15
C．20 D．8
9．某人有人民币a元作股票投资，购买某种股票的年红利为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年利率为6%，则n年后他所拥有的人民币总额为______元(不包括a元的投资)( )
A．4a(1.06n－1) B．a(1.06n－1) C．0.24a(1＋6%)n－1 D．4(1.06n－1)
10．数列1,2＋，3＋＋，…，n＋＋＋…＋的前n项和为( )
A．n＋1－n－1 B.n2＋n＋－2
C.n2＋n＋－2 D．n＋－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．递减等差数列{an}的前n项和Sn满足S5＝S10，则欲使Sn最大，则n＝______.
12．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为________．
13．设数列{an}的通项为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
14．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正确的个数是________个．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)数列{an}为等差数列，且an为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝1，数列{ban}是公比为64的等比数列，S2b2＝64.试求{an}，{bn}的通项公式．
16．(本小题满分12分)设f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝f2(n)，数列{bn}中，b1＝2，bn＝f1(bn－1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn－1}是等比数列．
17．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2，n∈N*)
(1)令bn＝，求证：{bn}是等差数列；
(2)在(1)的条件下，设Tn＝＋＋…＋，求Tn.
18．(本小题满分14分)设数列{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，已知T1＝1，T2＝4.
(1)求数列{an}的首项和公比；
(2)求数列{Tn}的通项公式．
答案：第2章
一、选择题
1．解析： ∵a8a11＝a9a10＝a5a14＝5，
∴a8a9a10a11＝(a5a14)2＝25. 答案： B
2．解析： 由已知：a1＋a2＋a3＋a11＋a12＋a13＝150，∴3(a1＋a13)＝150，∴a1＋a13＝50.
∵a4＋a10＝a1＋a13，∴a4＋a10＝50.答案： B
3．解析： ∵S偶－S奇＝5d，∴5d＝15，∴d＝3. 答案： C
4．解析： an＝Sn－Sn－1＝－n2－[－(n－1)2]＝－2n＋1(n>1，n∈N*)．当n＝1时，a1＝S1＝－1满足上式，显然d＝－2.答案： C
5．解析： ∴a4＋a5＝×33＋×34＝27.
答案： D
6．解析： 设Sn＝an2＋bn＋c，又a1＝－2，a2＝2，a3＝6，
∴c＝0 {an}为等差数列，公差为4，∴a100＝－2＋99×4＝394.答案： A
7．解析： 由题意得
S10＝10×(－3)＋×2＝60，故选A.
答案： A
8．解析： 设an＋a＝4(an－1＋a)，即an＋a＝4an－1＋4a，an＝4an－1＋3a，
又an＝4an－1＋3，∴a＝1，∴an＋1＝4(an－1＋1)．
∴an＋1＝(a1＋1)×4n－1＝4n－1，∴an＝4n－1－1，∴a5＝45－1－1＝255.答案： A
9．解析： 设n年后他拥有的红利与利息之和为an元．则
a1＝a·24%＝0.24a；a2＝a·24%＋a1(1＋6%)＝0.24a＋0.24a·1.06；
a3＝a·24%＋a2·1.06＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062；
…
an＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062＋…＋0.24a·1.06n－1＝0.24a(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06n－1)
＝0.24a·＝4a(1.06n－1)答案： A
10．解析： 此数列的第n项为an，则a1＝1，当n≥2时，an＝n＋＋＋…＋＝n＋＝n＋1－，也适合n＝1，故an＝n＋1－.∴该数列的前n项和
Sn＝＋＋＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n－
＝＋n－＝n2＋n＋－2.
答案： B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．解析： 方法一：∵S5＝S10，∴S10－S5＝0，即a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，∴5a8＝0，从而a8＝0，
又{an}是递减数列，故a1>a2>…>a7>a8＝0>a9>…，要使Sn最大，故n＝7或8时，S7＝S8最大．
方法二：∵{an}为递减等差数列，且S5＝S10,
∴公差d<0，Sn＝na1＋d＝n2＋n.
如图，抛物线的对称轴为n0＝＝7.5，不是整数，由对称性知，S7＝S8且最大，∴n＝7或8.
答案： 7或8
12． 解析： ∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，
a3＝S3－S2＝4t.∵{an}为等比数列，
∴2＝·4t， ∴t＝5或t＝0(舍去)． 答案： 5
13．解析： 由an＝2n－7<0 n<3.5，∵n∈N*，∴n＝1,2,3，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝S15－2S3＝153.
答案： 153
14． 解析： ∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
∴数列{f(m,1)}构成以1为首项，以2为公比的等比数列，∴f(5,1)＝1·24＝16，∴(2)正确；
当m＝1时，条件①变为f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，
又f(1,1)＝1，∴数列{f(1，n)}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正确．∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，
∴{f(5，n)}也成等差数列．∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，
∴(3)正确，故有3个正确．答案： 3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．
解析： 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
根据题意，得，
由(6＋d)q＝64，知q为正有理数，又qd＝26，故d为6的因子1,2,3,6之一，由①②，解得d＝2，q＝8，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
16．
解析： (1)Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝1也适合上式，
故an＝2n－1.
(2)证明：由题意知bn＝2bn－1－1，即bn－1＝2(bn－1－1)，
即＝2，
∵b1－1＝1，
∴{bn－1}是以2为公比，以1为首项的等比数列．
17．解析： (1)证明：由an＝2an－1＋2n＋1得＝＋2，
∴－＝2(n≥2)．
又bn＝，∴b1＝1，
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知bn＝2n－1，
∴＝＝.
∴Tn＝
＝＝.
18．．解析： (1)设等比数列{an}的公比为q，
∵Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，
由得
∴∴q＝2.
故首项a1＝1，公比q＝2.
(2)方法一：由(1)知a1＝1，q＝2，
∴an＝a1×qn－1＝2n－1.
∴Tn＝n×1＋(n－1)×2＋…＋2×2n－2＋2n－1，①
2Tn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋2×2n－1＋1×2n，②
由②－①得Tn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n
＝－n＋＝－n＋2n＋1－2＝－(n＋2)＋2n＋1.
方法二：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，
由(1)知an＝2n－1，
∴Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an
＝a1＋(a1＋a2)＋…＋(a1＋a2＋…＋an－1＋an)
＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)
＝(2＋22＋…＋2n)－n
＝－n＝－(n＋2)＋2n＋1.第2章 2.1 第1课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知数列的通项公式：an＝则a2·a3等于( )
A．70 B．28 C．20 D．8
2．已知an＝n2＋n，那么( )
A．0是数列中的项 B．20是数列中的项
C．3是数列中的项 D．930不是数列中的项
3．设数列，，2，，…则2是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
4．数列－1，，－，，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n
答案CBBA
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．数列，，，，…的一个通项公式是________．
6．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______项．(10)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知有限数列，，，，…，(m≥7)．
(1)指出这个数列的一个通项公式；
(2)判断0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？
解析： (1)an＝(n＝1,2，…，m－1)．
(2) ∴0.98是数列中的第6项．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？（两项）
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．(-2)
8∴数列有两项是负数．
(2)方法一：∵an＝n2－5n＋4＝2－，
可知对称轴方程为n＝＝2.5. 又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为
22－5×2＋4＝－2.
方法二：设第n项最小，由得
解这个不等式组得2≤n≤3，∴n＝2,3，∴a2＝a3且最小，∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
第2章 2.1 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n B．an＝ C．an＝ D．an＝
2．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列(比值与1比较 ，差与0比较)
C．常数列 D．摆动数列
3．由a1＝1，an＋1＝，可知数列{an}的第34项是( )
A. B．100 C. D.
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n>2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B. C. D.
答案： CBCA
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2 009＝________；a2 014＝________.（1,0）
6．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝.若a6＝1，则m所有可能的取值为________．（分情况讨论） 【答案】 4,5,32
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0.
(1)写出数列的前5项；
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式； an＝
(3)实数是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？（第50项）
8．已知数列{an}中，a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1(n≥2)，记n！＝1×2×3×…×n，求数列{an}的通项公式．
答案 an＝.
第2章 2.2 第1课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于( )
A．48 B．49 C．50 D．51
2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的递增等差数列 B．是公差为5的递增等差数列
C．是首项为7的递减等差数列 D．是公差为2的递减等差数列
3．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，－a,3，则该数列中第一次出现负值的项为( )
A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项，
4．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是( )
A. B．－ C．－ D．－1
答案： CABB
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.(13)
6．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.()
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
解析： 方法一：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
方法二：由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，
，从而an＝4n－1.
8．已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
（－，，1，，或，，1，，－.）
?
第2章 2.2 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )
A．20 B．48 C．60 D．72
2．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有( )
①{an＋3} ②{an2} ③{an＋1－an} ④{2an} ⑤{2an＋n}
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．4 B．6
C．8 D．12
4．已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )
A．20 B．22 C．24 D．－8
答案： ADCC
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．数列{an}中，a1＝1，a2＝，且＋＝，则an＝____.（）
6．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．3d
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能知道该数列从第几项(25)开始为正数吗？
解析： 方法一：由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组：．
方法二：在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d，
8．已知等差数列{an}，a1＝a，公差d＝1，若bn＝an2－an＋12(n∈N*)，试判断数列{bn}是否为等差数列？并证明你的结论．{bn}是等差数列
第2章 2.3 第1课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( )
A．12 B．13 C．14 D．15
2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则数列{an}的前10项和S10＝( )
A．138 B．135 C．95 D．23
3．已知{an}是等差数列，a10＝10，前10项和S10＝70，则公差d＝( )
A．－ B．－ C. D.
4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20 C．19 D．18
答案： BCDB
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5(先求通项，8)
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.2n
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9) 或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
8．已知f(x＋1)＝x2－4，在递增的等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)．
(1)求x的值；
(2)求通项公式an；
(3)求a2＋a5＋a8＋…＋a26的值．
解析： (1) 故所求的x的值为3.
(2)因为x＝3，所以首项a1＝－3，公差d＝， an＝n－.
(3)因为数列{an}为等差数列，故a2，a5，a8，…，a26也成等差数列，且公差为3d＝，
即a2＋a5＋a8＋…＋a26的值为.
第2章 2.3 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
解析： 由等差数列依次每k项之和仍为等差数列，
得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，
∴S6＝3m，S12＝10m，
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－2 010，－＝2，则S2 010的值为( )
A．2 010 B．－2 010 C．0 D．1
解析： 在等差数列{an}中，＝a1＋＝n＋，即是以a1为首项，为公差的等差数列．
3．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为( )
A．5 B．－5 C．－2.5 D．2.5
解析： ，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S偶－S奇＝10d
4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析： 因为＝.
又因为＝＝＝，
所以＝＝7＋，
要使为整数，则必为整数，
于是n可取0,1,2,3,5,11，
因为n为正整数，因此n取1,2,3,5,11，共5个数．故应选D.
答案： ABCD
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为________．(9)
解析： S4＝1，S8－S4＝3，
而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等差数列．
6．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋5，则a5＋a6＋a7＝___________.
解析： a5＋a6＋a7＝S7－S4＝39. 答案： 39
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知数列{bn}的前n项和Sn＝9－6n2.若bn＝2n－1an，求数列{an}的通项公式．
8．已知数列{an}是等差数列．
(1)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.
(2)项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．
7解析： 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝9－6n2－9＋6(n－1)2＝－12n＋6①
当n＝1时，b1＝S1＝3不满足①式， ∴bn＝，
又bn＝2n－1an， ∴an＝.
8 解析： (1)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，
所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.
(2)
?第2章
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8a9a10a11＝( )
A．10 B．25
C．50 D．75
解析： ∵a8a11＝a9a10＝a5a14＝5，
∴a8a9a10a11＝(a5a14)2＝25.
答案： B
2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45 B．50
C．75 D．60
解析： 由已知：a1＋a2＋a3＋a11＋a12＋a13＝150，
∴3(a1＋a13)＝150，∴a1＋a13＝50.
∵a4＋a10＝a1＋a13，∴a4＋a10＝50.
答案： B
3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析： ∵S偶－S奇＝5d，
∴5d＝15，∴d＝3.
答案： C
4．在等差数列{an}中，设公差为d，若前n项和为Sn＝－n2，则通项和公差分别为( )
A．an＝2n－1，d＝－2 B．an＝2n－1，d＝2
C．an＝－2n＋1，d＝－2 D．an＝－2n＋1，d＝2
解析： an＝Sn－Sn－1＝－n2－[－(n－1)2]＝－2n＋1(n>1，n∈N*)．当n＝1时，a1＝S1＝－1满足上式，显然d＝－2.
答案： C
5．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．81
C．36 D．27
解析：
∴a4＋a5＝×33＋×34＝27.
答案： D
6．已知数列{an}的前三项依次是－2,2,6，前n项的和Sn是n的二次函数，则a100＝( )
A．394 B．392
C．390 D．396
解析： 设Sn＝an2＋bn＋c，
又a1＝－2，a2＝2，a3＝6，
∴c＝0 {an}为等差数列，公差为4，
∴a100＝－2＋99×4＝394.
答案： A
7．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( )
A．60 B．24
C．18 D．90
解析： 由题意得
S10＝10×(－3)＋×2＝60，故选A.
答案： A
8．数列{an}满足an＝4an－1＋3，a1＝0，则此数列的第5项是( )
A．255 B．15
C．20 D．8
解析： 设an＋a＝4(an－1＋a)，即
an＋a＝4an－1＋4a，an＝4an－1＋3a，
又an＝4an－1＋3，∴a＝1，
∴an＋1＝4(an－1＋1)．
∴an＋1＝(a1＋1)×4n－1＝4n－1，
∴an＝4n－1－1，∴a5＝45－1－1＝255.
答案： A
9．某人有人民币a元作股票投资，购买某种股票的年红利为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年利率为6%，则n年后他所拥有的人民币总额为______元(不包括a元的投资)( )
A．4a(1.06n－1) B．a(1.06n－1)
C．0.24a(1＋6%)n－1 D．4(1.06n－1)
解析： 设n年后他拥有的红利与利息之和为an元．则
a1＝a·24%＝0.24a；
a2＝a·24%＋a1(1＋6%)＝0.24a＋0.24a·1.06；
a3＝a·24%＋a2·1.06
＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062；
…
an＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062＋…＋0.24a·1.06n－1
＝0.24a(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06n－1)
＝0.24a·＝4a(1.06n－1)
答案： A
10．数列1,2＋，3＋＋，…，n＋＋＋…＋的前n项和为( )
A．n＋1－n－1 B.n2＋n＋－2
C.n2＋n＋－2 D．n＋－1
解析： 此数列的第n项为an，则a1＝1，当n≥2时，an＝n＋＋＋…＋＝n＋＝n＋1－，也适合n＝1，故an＝n＋1－.
∴该数列的前n项和
Sn＝＋＋＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n－
＝＋n－＝n2＋n＋－2.
答案： B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．递减等差数列{an}的前n项和Sn满足S5＝S10，则欲使Sn最大，则n＝______.
解析： 方法一：∵S5＝S10，∴S10－S5＝0，
即a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，∴5a8＝0，从而a8＝0，
又{an}是递减数列，故a1>a2>…>a7>a8＝0>a9>…，
要使Sn最大，故n＝7或8时，S7＝S8最大．
方法二：∵{an}为递减等差数列，且S5＝S10,
∴公差d<0，Sn＝na1＋d＝n2＋n.
如图，抛物线的对称轴为n0＝＝7.5，不是整数，由对称性知，S7＝S8且最大，∴n＝7或8.
答案： 7或8
12．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为________．
解析： ∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，
a3＝S3－S2＝4t.
∵{an}为等比数列，
∴2＝·4t，
∴t＝5或t＝0(舍去)．
答案： 5
13．设数列{an}的通项为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
解析： 由an＝2n－7<0 n<3.5，
∵n∈N*，∴n＝1,2,3，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝S15－2S3＝153.
答案： 153
14．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正确的个数是________个．
解析： ∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
∴数列{f(m,1)}构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴f(5,1)＝1·24＝16，∴(2)正确；
当m＝1时，条件①变为f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，
又f(1,1)＝1，
∴数列{f(1，n)}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正确．
∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，
∴{f(5，n)}也成等差数列．
∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，
∴(3)正确，故有3个正确．
答案： 3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)数列{an}为等差数列，且an为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝1，数列{ban}是公比为64的等比数列，S2b2＝64.试求{an}，{bn}的通项公式．
解析： 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
根据题意，得，
由(6＋d)q＝64，知q为正有理数，又qd＝26，故d为6的因子1,2,3,6之一，由①②，解得d＝2，q＝8，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
16．(本小题满分12分)设f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝f2(n)，数列{bn}中，b1＝2，bn＝f1(bn－1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn－1}是等比数列．
解析： (1)Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝1也适合上式，
故an＝2n－1.
(2)证明：由题意知bn＝2bn－1－1，即bn－1＝2(bn－1－1)，
即＝2，
∵b1－1＝1，
∴{bn－1}是以2为公比，以1为首项的等比数列．
17．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2，n∈N*)
(1)令bn＝，求证：{bn}是等差数列；
(2)在(1)的条件下，设Tn＝＋＋…＋，求Tn.
解析： (1)证明：由an＝2an－1＋2n＋1得＝＋2，
∴－＝2(n≥2)．
又bn＝，∴b1＝1，
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知bn＝2n－1，
∴＝＝.
∴Tn＝
＝＝.
18．(本小题满分14分)设数列{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，已知T1＝1，T2＝4.
(1)求数列{an}的首项和公比；
(2)求数列{Tn}的通项公式．
解析： (1)设等比数列{an}的公比为q，
∵Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，
由得
∴∴q＝2.
故首项a1＝1，公比q＝2.
(2)方法一：由(1)知a1＝1，q＝2，
∴an＝a1×qn－1＝2n－1.
∴Tn＝n×1＋(n－1)×2＋…＋2×2n－2＋2n－1，①
2Tn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋2×2n－1＋1×2n，②
由②－①得Tn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n
＝－n＋＝－n＋2n＋1－2＝－(n＋2)＋2n＋1.
方法二：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，
由(1)知an＝2n－1，
∴Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an
＝a1＋(a1＋a2)＋…＋(a1＋a2＋…＋an－1＋an)
＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)
＝(2＋22＋…＋2n)－n
＝－n＝－(n＋2)＋2n＋1.第2章 2.4 第1课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9等于( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析： ∵a5＝4，a7＝6，
∴
得q2＝
a9＝a7·q2＝6×＝9
答案： C
2．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
解析： 等比中项G＝±＝±1.
答案： C
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝( )
A．－ B．－2
C．2 D.
解析： 根据an＝am·qn－m，得a5＝a2·q3.
∴q3＝×＝.
∴q＝.
答案： D
4．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
解析： 由题意知2×a3＝a1＋2a2
即a1q2＝a1＋2a1q
∴q2－2q－1＝0
∴q＝1＋或q＝1－(舍)
＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m＝________.
解析： am＝a1·a2·a3·a4·a5
＝a15· q1＋2＋3＋4＝a15q10＝a1·q10
∴m＝11.
答案： 11
6．在数列{an}中，a1＝2，且对任意自然数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.
解析： 由3an＋1－an＝0得＝，∴an＝2·n－1
答案： 2·n－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．一个等比数列的前三项依次是a,2a＋2,3a＋3，则－13是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
解析： ∵a,2a＋2,3a＋3是等比数列的前三项，
∴a(3a＋3)＝(2a＋2)2.
解得a＝－1或a＝－4.
当a＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0，
与等比数列定义矛盾，故a＝－1舍去．
当a＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，
则公比为q＝，∴an＝－4n－1，
令－4n－1＝－13，
即n－1＝＝3，
∴n－1＝3，即n＝4，
∴－13是这个数列中的第4项．
8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.
证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列．
证明： 由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，两式相减得
b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，
即an＋1＝ban＋2n ①
当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n，
于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)．
又a1－1·21－1＝1≠0，所以{an－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋5n，数列{bn}中b1＝8,64bn＋1－bn＝0，问是否存在常数c，使得对任意的正整数n(n∈N*)，an＋logcbn恒为常数m？若存在，求出常数c和m的值；若不存在，请说明理由．
解析： ∵Sn＝3n2＋5n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋2，
而a1＝S1＝8适合上式．
∴an＝6n＋2.由64bn＋1－bn＝0得＝，
∴{bn}是首项为8，公比为8－2的等比数列．
∴bn＝8·(8－2)n－1＝83－2n.
假设存在常数c和m，使an＋logcbn＝m恒成立，
则6n＋2＋logc83－2n＝m.
即(6－2logc8)n＋(2＋3logc8)＝m对任意n∈N*恒成立．
∴，∴.
故存在常数c＝2，使对任意n∈N*，an＋logcbn恒为常数11.第2章 2.4 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：
①{an3}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}，其中是等比数列的有________个( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 对于①，因为＝3＝q3(常数)，所以{an3}是等比数列；
对于②，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；
对于③，因为＝＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；
对于④，q≠－1时，因为＝＝＝q(常数)
∴{an＋an＋1}是等比数列，若q＝－1，an＋an＋1＝0，不是等比数列，故选C.
答案： C
2．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
解析： a5＝－8a2＝a2·q3
∴q＝－2
∵a5>a2
∴a5>0>a2
∴a1>0
∴an＝(－2)n－1，故选A.
答案： A
3．等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为( )
A．3×10－5 B．3×29
C．128 D．3×2－5或3×29
解析： ∵a2＝，a4＝a3q，
∴a2＝，a4＝12q.
∴＋12q＝30.即2q2－5q＋2＝0，
∴q＝或q＝2.
a10＝a3·q7＝12×7＝3×2－5
或a10＝12×27＝3×29.故选D.
答案： D
4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析： 由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得an2＝22n，又an>0，则an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在等比数列{an}中，a3a5a7a9a11＝243，则的值为________．
解析： 由等比数列的性质知a3a11＝a5a9＝a72得a75＝243，
∴a7＝3，而a7a11＝a92，∴＝a7＝3.
答案： 3
6．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
解析： 方法一：∵a1＋a2＝1＋4＝5，
b22＝1×4＝4，且b2与1,4同号，
∴b2＝2，∴＝＝2.5.
方法二：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
∵1＋3d＝4，∴d＝1，∴a1＝2，a2＝3.
∵q4＝4.∴q2＝2.∴b2＝q2＝2.
∴＝＝2.5.
答案： 2.5
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明： ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1，
∴Sn＋1－Sn＝an＋1
＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.
∴an＋1＝2an. ①
又∵S1＝a1＝2a1＋1，∴a1＝－1≠0.
由①式可知，an≠0，
∴由＝2知{an}是等比数列，
an＝－2n－1.
8．(1)有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四个数．
(2)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数．
解析： (1)由题意设此四数为，b，bq，a，
则有解得或，
所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
(2)设这四个数分别为a、aq、aq2、aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列，
据题意.
整理得，解得.
因此所求四个数为3,6,12,24.
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)若{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q；
(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N*都有an＝logabn＋b成立？若存在求出a、b的值，若不存在，请说明理由．
解析： (1)由题意得，
解得d＝3，q＝4.
(2)假设存在常数a，b，由an＝3n－2，bn＝4n－1，
代入an＝logabn＋b得3n－2＝loga4n－1＋b，
即(3－loga4)n＋(loga4－b－2)＝0对n∈N*都成立，
∴，
∴，所以存在常数a＝，b＝1使等式成立．第2章 2.5
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为( )
A. B.
C. D.
解析： 由于a3＋a6＋a9＋…＋a3n＝.故选D.
答案： D
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝( )
A．2 B．4
C. D.
解析： ＝＝＝.
答案： C
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B.
C. D．3
解析： 设公比为q，则＝＝1＋q3＝3 q3＝2，
于是＝＝＝.
答案： B
4．等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于( )
A. B.
C．20 D．110
解析： 由题意知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100，
S偶＝a2·a4·…·a2n＝120
∴＝·a1＝＝，
∴a1·qn＝an＋1＝，故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．等比数列中Sn＝48，S2n＝60，则S3n等于________．
解析： ∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
又Sn＝48，S2n＝60，∴S3n－S2n＝S3n－60
∴122＝48(S3n－60)
∴S3n＝63.
答案： 63
6．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________.
解析： 设数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.
又a1＋a2＋a3＝(1－q3)＝1，
∴＝，
∴S15＝(1－q15)＝[1－(q3)5]＝×[1－(－2)5]＝11.故填11.
答案： 11
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解析： (1)依题意有2S3＝S1＋S2，
即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a12＝3，
故a1＝4，
从而Sn＝＝.
8．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解析： (1)∵an＋1＝2Sn，
∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn，
∴＝3.
又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴Sn＝3n－1(n∈N*)．
当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2，且a1＝1，
∴an＝.
(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，
当n＝1时，T1＝1；
当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2①
∴3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1②
①－②得，－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1
＝2＋2·－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1，
∴Tn＝＋3n－1(n≥2)，
又∵T1＝a1＝1也满足上式，
∴Tn＝＋3n－1(n∈N*)．
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2001年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．
(1)试问从2001年底算起，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到1年)
(2)为支持退耕还林工作，国家财政从2002年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？(精确到亿元)
解析： (1)设从2001年底起以后的每年退耕还林的土地面积(单位：万亩)依次为a1，a2，a3，…，an，….
则a1＝515×(1＋12%)，a2＝515×(1＋12%)2，…，
an＝515×(1＋12%)n，…
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝＝6 370－515，
化简得515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12，
即1.12n≈2.218.
又因为n∈N*，当n＝7时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划．所以n＝8.
故到2009年底西部地区才能完成退耕还林计划．
(2)设财政补助费为W亿元．
则W＝(300×0.7＋20)×(6 370－515)×10－4≈135(亿元)，
所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付约135亿元．第2章 2.1 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析： a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，
观察得an＝.
答案： C
2．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析： 由a1>0，且an＋1＝an，
则an>0，又＝<1，
∴an＋1因此数列{an}为递减数列．
答案： B
3．由a1＝1，an＋1＝，可知数列{an}的第34项是( )
A. B．100
C. D.
解析： 由a1＝1，及a2＝＝，可得a3＝，a4＝，…，an＝，
因此a34＝＝.
答案： C
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n>2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B.
C. D.
解析： ∵a1·a2·…·an＝n2，
∴a1·a2·…·an－1＝(n－1)2，
∴an＝2(n≥2)，
∴a3＝，a5＝.
∴a3＋a5＝.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2 009＝________；a2 014＝________.
解析： 依题意得a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a2×1 007＝a1 007＝a4×252－1＝0.故分别填1,0.
答案： 1 0
6．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝.若a6＝1，则m所有可能的取值为________．
解析： 若a5为奇数，则3a5＋1＝1，a5＝0(舍去)．
若a5为偶数，则＝1，a5＝2.
若a4为奇数，则3a4＋1＝2，a4＝(舍去)．
若a4为偶数，则＝2，a4＝4.
若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，则a2＝2，a1＝4.
若a3为偶数，则＝4，a3＝8.
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)．
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故填4,5,32.
【答案】 4,5,32
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0.
(1)写出数列的前5项；
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式；
(3)实数是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？
解析： (1)由已知可得a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1,3,5,7,9，…，所以它的一个通项公式为an＝.
(3)令＝，可解得n＝50.故是这个数列的第50项．
8．已知数列{an}中，a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1(n≥2)，记n！＝1×2×3×…×n，求数列{an}的通项公式．
解析： 由已知得：
an＝a1＋2a2＋…＋(n－2)an－2＋(n－1)·an－1(n≥2)，
an－1＝a1＋2a2＋…＋(n－2)an－2(n≥3)．
以上两式相减得：
an－an－1＝(n－1)an－1(n≥3)，
∴an＝n·an－1，即＝n(n≥3)，
∴···…··
＝3×4×5×…×(n－1)·n，
∴＝(n≥3)．
又∵a1＝1，a2＝a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∴an＝.
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n>2)．通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，试写出数列{bn}的前5项，你能说出这个数列的特点吗？
解析： 数列{bn}是由数列{an}构造生成的，由a1，a2的值和递推公式先算出数列{an}的前6项，再根据公式bn＝算出数列{bn}的前5项．
∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n>2)，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8，
a6＝a5＋a4＝13，
即数列{an}的前6项是1,2,3,5,8,13，
又bn＝，
∴数列{bn}的前5项是2，，，，.
数列{bn}的特点是：数列{bn}的前n项的乘积是an＋1.
这是因为b1·b2·b3·…·bn＝···…··＝an＋1.
也可以是：前项的分子是后项的分母，前项分子与分母之和是后项的分子.第2章 2.2 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )
A．20 B．48
C．60 D．72
解析： ∵a6＋a8＝2a7，
又a3＋a11＝2a7＝40.∴a7＝20.
∴a6－a7＋a8＝2a7－a7＝a7＝20，故选A.
答案： A
2．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有( )
①{an＋3} ②{an2} ③{an＋1－an} ④{2an} ⑤{2an＋n}
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析： ①③④⑤是等差数列．
答案： D
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析： 因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
答案： C
4．已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )
A．20 B．22
C．24 D．－8
解析： 因为a8是a1与a15的等差中项，所以a1＋a15＝2a8，于是已知条件a1＋3a8＋a15＝120可变为5a8＝120.所以a8＝24.所以2a9－a10＝a8＝24.故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．数列{an}中，a1＝1，a2＝，且＋＝，则an＝____.
解析： 由＋＝，∴数列为等差数列，
又＝1，公差d＝－＝－1＝，
∴通项公式＝＋(n－1)d＝1＋(n－1)×＝，
∴an＝.
答案：
6．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．
解析： (an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d.
答案： 3d
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？
解析： 方法一：由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组：
解得
∴a14＝－46＋13×2＝－20.
∴an＝－46＋(n－1)·2＝2n－48.
令an≥0，即2n－48≥0 n≥24.
∴从第25项开始，各项为正数．
方法二：在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d，
∴a51＝a11＋40d，
∴d＝(54＋26)＝2.
∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20.
∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)，
∴an＝2n－48.显然当n≥25时，an>0.
即从第25项开始，各项为正数．
8．已知等差数列{an}，a1＝a，公差d＝1，若bn＝an2－an＋12(n∈N*)，试判断数列{bn}是否为等差数列？并证明你的结论．
解析： 数列{bn}是等差数列，证明如下：
∵等差数列{an}中，a1＝a，d＝1，
∴an＝a＋(n－1)＝n－1＋a，
∴bn＝an2－an＋12
＝(n－1＋a)2－(n＋1－1＋a)2
＝1－2n－2a，
∴bn＋1＝1－2(n＋1)－2a.
∴bn＋1－bn＝[1－2(n＋1)－2a]－(1－2n－2a)＝－2.
所以数列{bn}是以b1＝a12－a22＝－2a－1为首项，－2为公差的等差数列．
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，
从100 ℃开始第一次量细棒的长度，以后每升高50 ℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{ln}表示成图象，如图所示．根据图象解答下列问题：
(1)第5次量得金属的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？
(2)若ln是关于测量序号n的一次函数，求{ln}的通项公式．
解析： (1)由题图得，l5＝2.005 m，
此时金属棒的温度是t＝100＋(5－1)×50＝300(℃)
∴第5次量得金属棒的长度是2.005 m，
此时金属棒的温度是300 ℃；
(2)设ln＝dn＋b，由l1＝2.001 m，l2＝2.002 m，
得解得d＝0.001，b＝2.
所以通项公式ln＝0.001n＋第2章 2.1 第1课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知数列的通项公式：an＝则a2·a3等于( )
A．70 B．28
C．20 D．8
解析： a2＝2×2－2＝2
a3＝3×3＋1＝10
a2·a3＝20.故选C.
答案： C
2．已知an＝n2＋n，那么( )
A．0是数列中的项 B．20是数列中的项
C．3是数列中的项 D．930不是数列中的项
解析： 令n2＋n＝0，得n＝0或n＝－1，∵n N*，故A错．
令n2＋n＝20，即n2＋n－20＝0，∴n＝4或n＝－5(舍)，
∴a4＝20.故B正确．
令n2＋n＝3，即n2＋n－3＝0.
∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C错．
令n2＋n＝930，即(n＋31)(n－30)＝0，
∴n＝30或n＝－31(舍)，∴a30＝930，故D错．
答案： B
3．设数列，，2，，…则2是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
解析： 该数列通项公式为an＝.
令＝2，得n＝7.
答案： B
4．数列－1，，－，，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n
解析： 分子为1、4、9、16、…、n2.分母为1、3、5、7、…、(2n－1)，又奇数项为负，偶数项为正，故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．数列，，，，…的一个通项公式是________．
解析： 数列可写为：，，，，…，
分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，
故通项公式为an＝.
答案：
6．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______项．
解析： 令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，
即(2n－5)(n－10)＝0.
解得n＝10或n＝(舍)．
∴a10＝0.08.
答案： 10
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知有限数列，，，，…，(m≥7)．
(1)指出这个数列的一个通项公式；
(2)判断0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？
解析： (1)由观察知数列的通项公式不是.
又∵数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，
∴通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1.
∴数列的一个通项公式为an＝(n＝1,2，…，m－1)．
(2)由(1)知数列的通项公式an＝，不妨设0.98是这个数列的第n项，即＝0.98，解得n＝6∈N*，
∴0.98是数列中的第6项．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析： (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，∴n＝2,3.
∴数列有两项是负数．
(2)方法一：∵an＝n2－5n＋4＝2－，
可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为
22－5×2＋4＝－2.
方法二：设第n项最小，
由
得
解这个不等式组得2≤n≤3，
∴n＝2,3，
∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)如图所示，有n(n≥2)行(n＋1)列的士兵方阵：
(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的士兵人数；
(2)说出(1)中数列的第5,6项，用a5，a6表示；
(3)若把(1)中的数列记为{an}，求该数列的通项公式an；
(4)求a10，并说明a10所表示的实际意义．
解析： (1)当n＝2时，表示士兵的人数为2行3列，人数为6；当n＝3时，表示3行4列，人数为12，依此类推，故所求数列为6,12,20,30，….
(2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示的是7行8列，故a5＝42，a6＝56.
(3)根据对数列的前几项的观察，归纳、猜想数列的通项公式．
项：6＝2×3,12＝3×4,20＝4×5,30＝5×6
↓ ↓ ↓ ↓
序号： 1 2 3 4
因此an＝(n＋1)(n＋2)．
(4)由(3)知a10＝11×12＝132，a10表示11行12列的士兵方阵中士兵的人数．第2章 2.2 第1课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于( )
A．48 B．49
C．50 D．51
解析： ∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4
又∵a1＝，∴d＝
∴an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33
∴n＝50.故选C.
答案： C
2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的递增等差数列 B．是公差为5的递增等差数列
C．是首项为7的递减等差数列 D．是公差为2的递减等差数列
解析： ∵an－an－1＝(2n＋5)－[2(n－1)＋5]＝2(n≥2)，
∴{an}是公差为2的递增等差数列．
答案： A
3．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，－a,3，则该数列中第一次出现负值的项为( )
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
解析： 因为a－1，－a,3是等差数列{an}的前三项，
所以(a－1)＋3＝2，
∴a＝5，a1＝4，a2＝，
∴ an＝－n＋.
令an<0，则－n＋<0，
∴n>9，故选B.
答案： B
4．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是( )
A. B．－
C．－ D．－1
解析： 设数列{an}的公差为d，则在每相邻两项之间插入一个数后得到的等差数列公差为.
又由d＝＝＝－，
得＝－.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析： 由已知得，解得，
所以a6＝a1＋5d＝13.
答案： 13
6．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.
解析： 由于a1－a2＝，b1－b2＝，则＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
解析： 方法一：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则，
即，解得或.
因为数列{an}为单调递增数列，因此，从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
方法二：由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，
于是可得，
即，解得或.
由于数列{an}为单调递增数列，因此，从而an＝4n－1.
8．已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
解析： 方法一：设第一个数是a1，公差为d，由已知条件列方程组，
得
所以
解得或
所以这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.
方法二：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由已知条件列方程组，
得
所以所以
当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)在数列{an}中，已知a1＝p>0，且an＋1·an＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立，是否存在常数p使数列{an}为等差数列，如果存在，求出p的值；如果不存在，请说明理由．
解析： 假设存在常数p使数列{an}为等差数列．记数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd，
依题得：[a1＋(n－1)d](a1＋nd)＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立．
即d2n2＋(2a1d－d2)n＋(a12－a1d)＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立．
所以即或
∵a1＝p>0，故p的值为2.
所以存在常数p＝2使数列{an}为等差数列．