山西省太原市第五十六中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试卷Word含解析

太原市第五十六中学校
2020—2021学年第二学期高一年级第一次月考
数学试卷
考试时间 90分钟 分值 100分
第1卷
单选题（共12小题，每小题3分，共36分）
1.命题“”的否定是( )
A.
B.
C.
D.不存在
2.若,那么要使,两向量还需要具备( )
A.方向相反 B.方向相同 C.共线 D.方向任意
3.已知向量a与b满足与b的夹角为,则（ ）
A．-6 B．6 C．- D．
4.已知是坐标平面上的三点,其坐标分别为,则的形状为( )
A.直角(非等腰)三角形 B.等腰(非等边)三角形
C.等腰直角三角形 D.以上均不正确
5.已知的边上有一点D满足，则可表示为( )
A． B．
C． D．
6.若两个非零向量a,b满足，则向量与的夹角是( )
A. B. C. D.
7.计算的值( )
A. B. C. D.
8.已知向量,,,若为实数, ,则 (???)
A.2 B.1 C. D.
9.在中，角的对边分别为.若，则 ( )
A. B. C. D.
10.已知向量，则夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11.在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足，则点P与圆C的位置关系是( )
A.点P在圆C外部 B.点P在圆C上 C.点P在圆C内部 D.不确定
12.在中，已知分别是BC边上的三等分点，则的值是( )
A. B. C.6 D.7
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
13.如图6-3-11,向量的坐标分别是________,___________,_____________。
14.若指数函数的图象经过点,则__________,___________.
15.计算________．
16.正方形中，点在以为圆心且与直线相切的圆上运动，若(其中，)，则的取值范围是______．
三、解答题（共5小题，共48分）
17.（8分）化简.
18.（10分）已知．
(Ⅰ)若与的夹角为，求；
(Ⅱ)若与垂直，求与的夹角．
19.（10分）已知向量.
（1）若n与向量垂直，求实数k的值；
（2）若向量，且n与向量平行，求实数k的值.
20.（10分）如图，已知三个点.
（1）求证：；
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值.
21.（10分）已知向量,设函数.
（1）求的最小正周期;
（2）求在上的最大值和最小值.
2020-2021学年第二学期高一第一次月考
数学参考答案
1.答案：A
解析：特称命题“”的否定为全称命题“”,故选A.
2.答案：B
解析：两向量相等需具备长度相等且方向相同两个条件.
3.答案：C
解析：,选C.
4.答案：C
解析：,,且,为等腰直角三角形.
5.答案：C
解析：由，
则
故选：C．
6.答案：D
解析：，.又，.设与的夹角为，则.又.
7.答案：C
解析：.故选C.
8.答案：C
解析：
9.答案：D
解析：由余弦定理得,得
10.答案：C
解析：.又，.又，，故选C.
11.答案：A
解析：在同一平面内，线段为圆C的直径，动点P满足，所以为锐角，所以点P在圆C外部.
12.答案：B
解析：.又.故选B.
13.答案：；；
解析：将各向量分别向基底所在直线分解,则,所以,所以,所以。
14.答案：
解析：设(且).
因为的图象经过点,
代入得,解得或(舍去),
所以,
所以.
15.答案：5
解析：
16.答案：
解析：根据题意，如图，
以为坐标原点，为轴，为轴建立坐标系，设正方形的边长为1：
则，
则的方程为，
点为圆心且与相切的圆，其半径，
则圆的方程为；
在圆上，设的坐标为，
则，，
若，则，
则有；
，
即的最大值为3，最小值为1；
故答案为．
17.答案：.
解析：
18.答案：(I)∵,与的夹角为
∴
∴
(Ⅱ)设与的夹角为.
∵? ∴ 即
∴∴
∵? ∴即与的夹角为
解析：
19.答案：（1）由已知得.
与向量垂直，
，解得.
（2）由已知得.与向量平行，
，解得.
解析：
20.答案：（1），，即.
（2），四边形ABCD为矩形，.
设点C的坐标为，则.
又解得点C的坐标为.
，
.设与的夹角为，
则.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
解析：
21.答案：1.
的最小正周期为,
即函数的最小正周期为.
2. .
由正弦函数的性质,知当,即时, 取得最大值1;
当,即时, ,
当,即时,
的最小值为.
因此, 在上的最大值是1,最小值是.