一、功和功的公式
1．功的定义
一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功．
2．做功的因素
(1)力；(2)物体在力的方向上发生的位移．
3．功的公式
(1)力F与位移l同向时：W＝Fl.
(2)力F与位移l有夹角α时：W＝Flcos
α，其中F、l、cos
α分别表示力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦．
(3)各物理量的单位：F的单位是N，l的单位是m，W的单位是N·m，即
J.
二、正功、负功、合力的功
1．正功和负功
α的取值
W的取值
含义
α＝
W＝0
力F不做功
0≤α＜
W＞0
力F对物体做正功
＜α≤π
W＜0
力F对物体做负功
(或说成物体克服力F做功)
2．总功的计算
(1)方法一：几个力对物体做的总功等于各个力分别对物体做功的代数和，即
W总＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn.
(2)方法二：求几个力的总功时，也可以先求这几个力的合力，再应用功的定义式求合外力做的功，即为总功．W合＝F合·lcos
α.
3.变力做功的几种方法
(1)平均值法
当力F的大小发生变化，且F、l呈线性关系时，F的平均值＝，用计算F做的功．
(2)图象法
变力做的功W可用F?l图线与l轴所围成的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少．
(3)分段法(或微元法)
当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路．
(4)等效替换法
若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功．
三、功率
1．定义
力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值．
2．定义式
P＝.
3．单位
在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号W表示．
4．意义
功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量．
四、功率与速度
1．功率与速度的关系式
P＝Fv(F与v方向相同)．
2．推导
―→P＝Fv
3．应用
由功率速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度．
四、机车启动问题
机车启动通常有两种方式，即以恒定功率启动和以恒定加速度启动．分析的理论依据是机车功率P＝Fv，水平方向上应用牛顿第二定律，牵引力F与阻力Ff有F－Ff＝ma，应用这两个公式对运动过程进行分析．
1、两种启动方式对比
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图像和
v－t图像
牵引力的
变化图像
OA段
过程
分析
v↑?F＝↓?a＝↓
a＝不变?F不变
P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程
分析
F＝Ff?a＝0?Ff＝
v↑?F＝↓?a＝↓
运动
性质
以vm的速度做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段
过程
分析
—
F＝Ff?a＝0?Ff＝
运动
性质
以vm的速度做匀速直线运动
2、几个重要关系式
(1)无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vmax＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力Ff)．
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt.
(4)P＝Fv中F为机车的牵引力而不是合力．
【例题讲解】
【例1】一个质量为
150
kg
的雪橇，受到与水平方向成
37°角斜向上方的拉力，大小为500
N，在水平地面上移动的距离为
5
m。地面对雪橇的阻力为
100
N，cos
37°＝
0.8。求各力对雪橇做的总功。
[答案]1500J
[解析]
拉力在水平方向的分力为
Fx
＝
Fcos
37°，它所做的功为
W1
＝
Fx
l
＝
Fl
cos
37
＝
500×5×0.8
J
＝
2
000
J
阻力与运动方向相反，两者夹角为
180°，它所做的功为
W2
＝
F阻
l
cos
180°＝－
100×5
J
＝－
500
J
力对物体所做的总功为二者的代数和，即
W
＝
W1
＋
W2
＝
2
000
J
－
500
J
＝
1
500
J
力对雪橇所做的总功是
1
500
J。
【例2】一辆马车在力F=100N的作用下绕半径为50m的圆形轨道做匀速圆周运动，当车运动一周回到原位置时，车子克服阻力所做的功为多少？
[答案]3.14
×104
J
[解析]Wf
=fΔs1cosπ＋fΔs2cosπ＋fΔs3cosπ＋fΔs4cosπ＋……
=
–
fs=
–
Fs
=
–
F×2πR=
–
3.14
×104
J
W克=
–
Wf
=
3.14
×104
J
【例3】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多少深度
?
(设铁锤每次做功相等)
[答案]0.41cm
[解析]
解法一：第一次击入深度为x1，平均阻力F1=
1/2×
kx1，做功为W1=
F1
x1=1/2×kx12.
第二次击入深度为x1到x2，
平均阻力F2=1/2×
k(x2+x1),
位移为x2-x1，
做功为W2=
F2(x2-x1)=1/2×
k(x22-x12).
两次做功相等：W1=W2.
解后有：x2＝√2x1=1.41cm.
所以△x=x2-x1=0.41cm.
解法二：因为阻力F=kx,以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，
作出F-x图像，如右下图，
W2=kx1△x+k(x1+△x)△x+
k(x1+2△x)△x+……
曲线下面积的值等于F对铁钉做的功.
（示功图）
因S1
=
S2
(面积)，即：1/2×
kx12=1/2×
k(x2+x1)(x2-x1)，
解后有：x2＝√2x1=1.41cm.
所以
△x=x2-x1=0.41cm.
【例4】关于功的论述，下列说法正确的是(
)
A、大的力一定比小的力做的功多
B、+5J的功比-5J的功多
C、+10J功比+5J的功多
D、+5J的功与-5J的功方向相反
[答案]C
【例5】两质量相等的物体A、B分别放在粗糙水平面上和光滑的水平面上，在同样的拉力F作用下，产生相同的位移S，则拉力(
)
A、对A做的功多
B、对B做功多
C、一样多
D、以上都有可能
[答案]C
【例6】一学生用100N的力将质量为0.5kg的球迅速踢出，球在水平路面上滚出20m远，则该学生对球做的功是（
）
A、2000J
B、1000J
C、16J
D、无法确定
[答案]D
【例7】如图示，一个质量m＝150kg的雪橇，受到与水平方向成37°角的斜向上方的拉力F=500N，在水平地面上移动的距离为5m，物体与地面间的滑动摩擦力f＝100N。(cos37o=0.8)求：
（1）各个力对物体所做的功；
（2）各个力对物体做功的代数和。
（3）物体所受的合力；
（4）合力对物体做的功。
[答案]见解析
[解析]（1）拉力F对物体所做的功为W1=
Flcos37°=2000J
摩擦力F阻对物体所做的功为W2=
F阻lcos180°=
-500J
（2）各力做功的代数和
W=W1＋W2=1500J
（3）物体所受的合力F合＝Fcos37°－
F阻＝300N
（4）合力对物体所做的功
W=
F合l＝1500J
【例8】一台机器用2分钟时间做了6×104J的功，这台机器的功率是多少？
[答案]见解析
[解析]由P=W/t可得P=6×104/2×60W=500W
【例9】关于功率，下列说法中正确的是（
）
A、功率是说明做功多少的物理量
B、功率是说明力做功快慢的物理量
C、做功时间越长，功率一定小
D、力做功越多，功率一定大
[答案]B
【例10】发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发动机的额定功率为
60
kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是
1
800
N，求发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度。假定汽车行驶速度为
54
km/h
时受到的阻力不变，此时发动机输出的实际功率是多少？
[答案]120km/h
27kW
[解析]汽车在水平路面上匀速行驶时，受到的牵引力
F＝F阻＝1
800
N
由于P＝Fv，所以额定功率下的速度
v＝P/F＝60000/1800m/s＝33.3
m/s＝120
km/h
当汽车以速度v＝54
km/h＝15
m/s行驶时，有
P＝Fv＝1
800×15
W＝27
kW
汽车以额定功率匀速行驶时的速度为
120
km/h。汽车以
54
km/h
的速度行驶时，发动机输出的实际功率为
27
kW。
【例11】马拉着车在20分内以18Km/h的速度匀速前进，如果马的拉力为300N，求马拉车的功率。
[答案]1500W
[解析]由于F=300N,
S=5
×
1200m=6000m,
t=20min=1200s
v=S/t=6000/1200m/s
所以马拉车的功率：
P=W/t=Fv=300×5W=1500
W
【例12】一台起重机将静止在地面上、质量为m＝1.0×103
kg的货物匀加速竖直吊起，在2
s末货物的速度v＝4
m/s.(g取10
m/s2，不计额外功)求：
(1)起重机在这2
s内的平均功率；
(2)起重机在2
s末的瞬时功率．
[答案]2.4×104
W
4.8×104
W
[解析]设货物所受的拉力为F，加速度为a，则
(1)由a＝?v/?t得，a＝2
m/s2
F＝mg＋ma＝1.0×103×10
N＋1.0×103×2
N＝1.2×104
N
2
s内货物上升的高度h＝1/2at2＝4
m
起重机在这2
s内对货物所做的功W＝F·h＝1.2×104×4
J＝4.8×104
J
起重机在这2
s内的平均功率P＝W/t＝4.8×104/2W＝2.4×104
W.
(2)起重机在2
s末的瞬时功率
P＝Fv＝1.2×104×4.0
W＝4.8×104
W.
【例13】每年春节前，温州农村都有捣年糕的习俗，借此来寓意“年年发财、步步高升”．捣年糕时，一人将“石杵”一起一落挥动，另一人在“石杵”挥动的间隙迅速翻动米粉团，直到米粉团柔软而有弹性．已知“石杵”质量为20
kg，每分钟上下挥动20下，每次重心上升的高度约为90
cm，则人挥动“石杵”做功的平均功率约为( )
A．60
W B．120
W
C．180
W
D．540
W
[答案]
[解析]挥动“石杵”一次所做的功W＝mgh＝20×10×0.9
J＝180
J；1
min内做的总功W总＝nW＝20×180
J＝3
600
J，则人挥动“石杵”做功的平均功率P
?＝W/t＝60
W，故A正确，B、C、D错误．
【例14】质量为2t的汽车，发动机输出功率为30kW，在水平公路上能达到的最大速度为15m/s，则汽车速度为10m/s时的加速度为多大？
[答案]0.5m/s2
[解析]由P=Fv可得汽车在速度最大时的牵引力为
F牵=P额/vm=30000W/15m/s=2000N
由相互作用力可得f=F牵=2000N
汽车额定功率行驶，有P额=(ma+f
)·v，可得加速度a=(P额/v?f
)/m
代入数据可得a=0.5m/s2
【例15】一列高速列车总质量m＝465
t，其额定功率P＝5
300
kW，在水平直轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F阻是车重的0.018.列车以额定功率工作，取重力加速度g＝10
m/s2，求：
(1)当行驶速度v＝10
m/s时，列车的牵引力大小和加速度大小；
(2)列车在水平直轨道上行驶的最大速度大小．
[答案](1)5.3×105
N
0.96m/s2
(2)63.3m/s
[解析]由题意可知F阻＝0.018mg.设列车以额定功率工作，当行驶速度v＝10
m/s时，牵引力为F1；行驶速度达到最大值vmax时，牵引力为F2.
(1)由P＝F1v得F1＝P/v＝5.3×106/10
N＝5.3×105
N
根据牛顿第二定律，有F1－F阻＝ma，解得a＝0.96
m/s2.
(2)当F2＝F阻时，列车行驶速度最大
由P＝F2vmax得vmax＝P/F阻＝63.3
m/s.
【例16】质量为m＝5×103
kg的汽车在水平公路上行驶，阻力是车重的0.1.让车保持额定功率为60
kW，从静止开始行驶，求(g取10
m/s2)：
(1)汽车达到的最大速度vm大小；
(2)汽车车速v1＝2
m/s时的加速度大小．
[答案]12m/s
5m/s2
[解析](1)由P＝Fv＝Ff
vm得
vm＝P/Ff＝P/0.1mg＝60×103/0.1×5×103×10
m/s＝12
m/s.
(2)由P＝Fv得F＝P/v
当v1＝2
m/s时，
F1＝P/v1＝60×103/2
N＝3×104
N
由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma，所以
a＝(F1?0.1mg)/m=(3×104?0.1×5×103×10)/5×103
m/s2＝5
m/s2.
【随堂练习】
1、如图所示，木块A、B叠放在光滑水平面上，A、B之间不光滑，用水平力F拉B，使A、B一起沿光滑水平面加速运动，设A对B的摩擦力为F1，B对A的摩擦力为F2，则以下说法正确的是( )
A．F1对B做负功，F2对A做正功
B．F1对B做正功，F2对A不做功
C．F2对A做正功，F1对B不做功
D．F2对A不做功，F1对A做正功
[答案]A
[解析]以整体受力分析可知F＝(mA＋mB)a可知，A、B两物体的加速度向右，隔离物体A，通过受力分析可知，B对A的摩擦力F2向右，而A向右运动，由W＝FL可知，F2对A做正功，A对B的摩擦力F1向左，故F1对B做负功，故A正确，B、C、D错误．
2、如图所示，人站在斜坡式自动扶梯上匀速向上运动，人受到重力、梯面的支持力和梯面的摩擦力作用．下列说法中正确的是( )
A．重力不做功
B．梯面的摩擦力做正功
C．梯面的支持力做负功
D．梯面的支持力和梯面的摩擦力均做正功
[答案]B
[解析]对人进行受力分析，人受到自身的重力、垂直梯面的支持力和沿斜面向上的静摩擦力，故支持力方向与位移方向垂直，故支持力不做功，静摩擦力方向与位移方向同向，故静摩擦力做正功，重力方向与位移方向的夹角大于90°，故重力做负功，故B正确，A、C、D错误．
3、如图所示，重为G的物体静止在倾角为α的粗糙斜面体上，现使斜面体向右做匀速直线运动，通过的位移为x，物体相对斜面体一直保持静止，则在这个过程中( )
A．弹力对物体做功为Gxcos
α
B．静摩擦力对物体做功为Gxsin
α
C．重力对物体做功为Gx
D．合力对物体做功为0
[答案]D
[解析]分析物体的受力情况：重力mg、弹力N和摩擦力f，如图所示：
根据平衡条件，有：N＝Gcos
α；f＝Gsin
α
重力与位移垂直，做功为零；
摩擦力f与位移的夹角为α，所以摩擦力对物体m做功为：Wf＝fxcos
α＝Gxsin
αcos
α
斜面对物体的弹力做功为：WN＝Nxcos(90°＋α)＝－Gxsin
αcos
α，故A、B、C错误；因物体做匀速运动，合外力等于零，故合外力做功为零，故D正确．故选D.]
4、如图所示，某个力F＝10
N作用在半径为R＝1
m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为( )
A．0
B．20π
J
C．10
J
D．10π
J
[答案]B
[解析]利用微元法求解拉力F所做的功，可将圆周分成无限多小段，对每一小段，可以认为F与位移方向相同，而位移大小与对应弧长相同，则力F的总功为力F在各小段所做功的代数和，即WF＝F·2πR＝20π
J，故B正确．
5、下列关于功率的说法中正确的是( )
A．由P＝知，力做的功越多，功率越大
B．由P＝Fv知，物体运动得越快，功率越大
C．由W＝Pt知，功率越大，力做的功越多
D．由P＝Fvcos
α知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大
[答案]D
[解析]由P＝知，力在单位时间内做的功越多，功率越大，选项A错误；由P＝Fv知，物体运动得越快，功率不一定越大，选项B错误；由W＝Pt知，功率越大，力在相同时间内做的功越多，选项C错误；由P＝Fvcos
α知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大，因夹角α不确定，选项D正确．
6、在一次举重比赛中，一名运动员将质量为127.5
kg的杠铃举起历时约2
s，该运动员在举起杠铃运动中的平均功率约为( )
A．几十瓦左右
B．一千瓦左右
C．几十千瓦左右
D．几百千瓦左右
[答案]B
[解析]设举重运动员将杠铃举高1.7
m，则P＝＝＝1
083.75
W．
7、(多选)质量为3
kg的物体，从高45
m处自由落下(g取10
m/s2)，那么在下落的过程中( )
A．前2
s内重力做功的功率为300
W
B．前2
s内重力做功的功率为675
W
C．第2
s末重力做功的功率为600
W
D．第2
s末重力做功的功率为900
W
[答案]AC
[解析]前2
s物体下落h＝gt2＝20
m，重力做功的功率P1＝＝
W＝300
W，A正确，B错误；2
s末物体的速度v＝gt＝20
m/s，此时重力的功率P2＝mgv＝600
W，C正确，D错误．
8、(多选)如图是一汽车在平直路面上启动的速度—时间图象，从t1时刻起汽车的功率保持不变，由图象可知( )
A．0～t1时间内，汽车的牵引力增大，加速度增大，功率不变
B．0～t1时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变，功率增大
C．t1～t2时间内，汽车的牵引力减小，加速度减小
D．t1～t2时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变
[答案]BC
[解析]0～t1时间内，汽车的速度是均匀增加的，是匀加速运动，所以汽车的牵引力不变，加速度不变，功率增大，所以A错误，B正确；
t1～t2时间内，汽车的功率已经达到最大值，功率不能再增加，所以汽车的牵引力在减小，加速度也要减小，所以C正确，D错误．
9、如图所示，质量为m＝2
kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g取10
m/s2，求：
(1)前2
s内重力的平均功率；
(2)2
s末重力的瞬时功率．
[答案] (1)24
W (2)48
W
[解析] (1)木块沿斜面下滑时，对木块受力分析．由牛顿第二定律可得mgsin
θ－μmgcos
θ＝ma，
解得a＝2
m/s2
由位移公式l＝at2＝×2×22
m＝4
m
重力在前2
s内做的功为
W＝mglsin
θ＝2×10×4×0.6
J＝48
J
重力在前2
s内的平均功率为＝＝
W＝24
W.
(2)木块在2
s末的速度
v＝at＝2×2
m/s＝4
m/s
2
s末重力的瞬时功率
P＝mgvcos(90°－θ)＝mgvsin
θ＝2×10×4×0.6
W＝48
W.
10、在平直路面上运动的汽车的额定功率为60
kW，若其总质量为5
t，在水平路面上所受的阻力为5×103
N.
(1)求汽车所能达到的最大速度；
(2)若汽车以0.5
m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2
m/s时其加速度为多大？
[答案] (1)12
m/s (2)16
s (3)5
m/s2
[解析] (1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff，
则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度
vmax＝＝m/s＝12
m/s.
①
(2)汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有
－Ff＝ma
②
得v＝＝
m/s＝8
m/s
③
由v＝at得这一过程维持的时间
t＝＝
s＝16
s.
(3)当汽车以额定功率启动达到2
m/s的速度时，牵引力
F′＝＝
N＝3×104
N，
由牛顿第二定律得汽车的加速度
a＝＝
m/s2＝5
m/s2.
【课后作业】
1、如图所示，下列过程中人对物体做了功的是( )
A．小华用力推石头，但没有推动
B．小明举起杠铃后，在空中停留3秒的过程中
C．小红提着书包，随电梯一起匀速上升的过程中
D．小陈将冰壶推出后，冰壶在水平冰面上滑行了5米的过程中
[答案]C
[解析]A、B选项所述情景中，位移都为零，D中冰壶滑行时，不受人的推力，故人对物体不做功，只有C选项所述情景，人对物体做功．
2、质量为m的物体，在水平拉力F作用下第一次沿粗糙水平面匀速移动距离为l，第二次用同样大小的力F平行于光滑斜面拉物体，斜面固定，使物体沿斜面加速移动的距离也是l.设第一次F对物体做的功为W1，第二次对物体做的功为W2，则( )
A．W1＝W2
B．W1C．W1>W2
D．无法确定
[答案]A
[解析]由题意可知W＝Fl，力F对物体所做的功W只与F、l有关，与物体的运动情况及接触面的粗糙程度等均无关，故答案选A.
3、如图所示，一个物体放在水平面上，在与竖直方向成θ角的斜向下的推论F的作用下沿平面移动了距离s，若物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中( )
A．摩擦力做的功为fscos
θ
B．力F做的功为Fscos
θ
C．力F做的功为Fssin
θ
D．重力做的功为mgs
[答案]C
[解析]摩擦力做功W＝－fs，则物体克服摩擦力做功为fs，故A错误；力F做功为Fscos(90°－θ)＝Fsin
θ，故B错误，C正确；重力与位移相互垂直，故重力不做功，故D错误．
4、如图所示，在光滑的水平面上放着一个质量为10
kg的木箱，拉力F与水平方向成60°角，F＝2
N．木箱从静止开始运动，4
s末拉力的瞬时功率为( )
A．0.2
W
B．0.4
W
C．0.8
W
D．1.6
W
[答案]B
[解析]木箱的加速度a＝＝0.1
m/s2,4
s末的速度v＝at＝0.4
m/s，则瞬时功率P＝F·v·cos
α＝0.4
W，B正确．
5、如图所示是甲、乙两物体做功与所用时间的关系图象，那么甲物体的功率P甲与乙物体的功率P乙相比( )
A．P甲＞P乙
B．P甲＜P乙
C．P甲＝P乙
D．无法判定
[答案]B
[解析]根据功率的定义式P＝可知，在功与所用时间的关系图象中，直线的斜率表示功率．因此，由图线斜率可知P甲＜P乙，选项B正确．
6、假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率．如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( )
A．4倍
B．2倍
C.倍 D.倍
[答案]D
[解析]当功率为P时，P＝Fv＝kv·v＝kv2；当功率为2P时，2P＝kv′·v′＝kv′2，因此，v′＝v，D正确．
7、(多选)(功的正、负判定)质量为m的物体放在粗糙的水平面上，受到水平力F的作用，下列叙述中正确的是( )
A．如果物体做匀加速直线运动，则力F一定做正功
B．如果物体做匀加速直线运动，则力F可能做负功
C．如果物体做匀减速直线运动，则力F可能做正功
D．如果物体做匀减速直线运动，则力F可能做负功
[答案] ACD
[解析] 物体在粗糙的水平面上运动一定要受到摩擦阻力，当物体在力F作用下做匀加速运动时，力F与位移的夹角为0°，力对物体一定做正功．当物体在力F作用下做匀减速运动时，力F与位移的夹角可以为0°也可以为180°，故力对物体可以做正功，也可以做负功．
8、(功的标量性及总功计算)一物体置于光滑水平面上，受互相垂直的水平力F1、F2作用，如图，经一段位移，F1做功为6
J，克服F2做功为8
J，则F1、F2的合力做功为( )
A．14
J
B．10
J
C．－2
J
D．2
J
[答案] C
[解析] 物体受到两个力作用，F1做功W1＝6
J，F2做功W2＝－8
J(注意“克服”两字的理解)，则依据功的标量性，则W合＝W1＋W2＝6
J＋(－8
J)＝－2
J，选C.
9、(恒力功的计算)如图所示，一个物块在与水平方向成α角的恒力F作用下，沿水平面向右运动一段距离x.在此过程中，恒力F对物块所做的功为( )
A．Fxcosα
B．Fxsinα
C．Fx
D．0
[答案] A
[解析] 由图可知，力和位移的夹角为α，故恒力做的功W＝Fxcosα，故A正确．
10、(多选)(对功率的理解)关于力对物体做功的功率，下列几种说法中正确的是( )
A．力对物体做功越多，这个力的功率就越大
B．力对物体做功的时间越短，这个力的功率就越大
C．力对物体做功少，其功率也可能很大；力对物体做功多，其功率也可能较小
D．功率是表示做功快慢的物理量，而不是表示做功大小的物理量
[答案] CD
[解析] 功率P＝，表示单位时间内所做的功．当t一定时，W越大，P越大；当W一定时，t越小，P越大，只强调两个因素中的一个，而不说明另一个因素情况的说法是错误的，故A、B错误；如果W小，但当t很小时，P也可能很大；如果W较大，但当t很大时，P也可能较小，所以C正确；由P＝可知P是表示做功快慢的物理量，P越大反映的是单位时间内做功越多，也就是做功越快，D正确．
12、(平均功率和瞬时功率)起重机用钢绳吊着质量为m的重物从静止开始匀加速上升，经过一段时间t，重物的速度等于v.在这段时间内，钢绳拉力做功的平均功率等于( )
A.
B.＋
C.－
D．mgv
[答案] B
[解析] 由题可得，重物获得的加速度为a＝，上升的高度为h＝；对重物进行受力分析，受重力和钢绳的拉力，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，解得F＝m；重物上升高度h，钢绳对重物的拉力做功W＝Fh＝m·，则钢绳拉力做功的平均功率为＝＝＋，B正确，A、C、D错误．
13、(多选)(功率与速度的关系)如图所示，位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2的功率相同．则可能有( )
A．F2＝F1，v1>v2
B．F2＝F1，v1C．F2>F1，v1>v2
D．F2[答案] BD
[解析] 设F2与水平方向之间的夹角为θ，则F1的功率P1＝F1v1，F2的功率P2＝F2v2cosθ.由题意知P1＝P2，若F2＝F1，则一定有v1F1，F2＝F1，还是F214、(多选)(机车启动问题)一辆汽车在平直公路上以20
kW的功率行驶，t1时刻驶入另一段阻力恒定的平直公路，其v－t图象如图所示，已知汽车的质量为2×103
kg.下列说法中正确的有( )
A．t1前汽车受到的阻力大小为2×103
N
B．t1后汽车受到的阻力大小为2×103
N
C．t1时刻汽车的加速度大小突然变为1
m/s2
D．t1～t2时间内汽车的平均速度为7.5
m/s
[答案] AC
[解析] t1前汽车做匀速直线运动，有P＝F1v1＝Ff1v1，解得Ff1＝＝
N＝2×103
N，A项正确；进入另一段公路后最终以v2＝5
m/s做匀速直线运动，得Ff2＝＝
N＝4×103
N，B项错误；t1时刻汽车的牵引力为2×103
N，阻力瞬间变为4×103
N，加速度为a＝
m/s2＝－1
m/s2，C项正确；在t1～t2时间内汽车做变速直线运动，若汽车做匀变速直线运动，则平均速度v＝
m/s＝7.5
m/s，但在t1～t2时间内汽车运动的位移比匀变速直线运动的位移小，故t1～t2时间内汽车的平均速度小于7.5
m/s，D项错误．
15、下列关于功率的说法中正确的是( )
A．由P＝知，力做的功越多，功率越大
B．由P＝Fv知，物体运动得越快，功率越大
C．由W＝Pt知，功率越大，力做的功越多
D．由P＝Fvcosα知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大
[答案] D
[解析] 在公式P＝中，只有P、W、t中两个量确定后，第三个量才能确定，故选项A、C错误；在P＝Fv中，P与F、v有关，故选项B错误；在P＝Fvcosα中，P还与α有关，故选项D正确．
16、(多选)关于功率公式P＝Fv，下列说法正确的是( )
A．当F是恒力，v是平均速度时，对应的P是平均功率
B．当v是瞬时速度时，对应的P是瞬时功率
C．只适用于物体做匀速直线运动的情况
D．只适用于F与v同方向的情况
[答案] ABD
[解析] 用公式P＝Fv计算功率时，F应与速度v方向相同，D对；当v为瞬时速度时，Fv为瞬时功率，B对；v为平均速度，且F为恒力时，Fv为平均功率，A对；P＝Fv适用于任何运动的求解，但应注意v是力F方向上的速度，C错．
17、将小球沿水平方向抛出，忽略空气阻力，则下列图象能正确描述小球落地前重力的瞬时功率随时间变化的关系的是( )
[答案] A
[解析] 设经过时间t小球速度大小为v，其方向与竖直方向(或重力方向)成θ角，由功率公式P＝Fvcosθ知，此时重力的功率P＝mgvcosθ＝mgvy＝mg·gt＝mg2t，故A正确．
18、一个质量为m的小球做自由落体运动，那么，在前t秒内重力对它做功的平均功率及在t秒末重力做功的瞬时功率P分别为( )
A.＝mg2t2，P＝mg2t2
B.＝mg2t2，P＝mg2t2
C.＝mg2t，P＝mg2t
D.＝mg2t，P＝2mg2t
[答案] C
[解析] 小球在t
s末速度为v＝gt，t
s内平均速度为＝＝，则前t
s内重力平均功率为＝mg＝mg2t，t
s末重力瞬时功率为P＝mg2t，故C正确．
19、质量为5
t的汽车，在水平路面上以加速度a＝2
m/s2启动，所受阻力为1.0×103
N，汽车启动后第1
s末的瞬时功率是( )
A．2
kW
B．22
kW
C．1.1
kW
D．20
kW
[答案] B
[解析] 根据牛顿第二定律得F－Ff＝ma，
则F＝Ff＋ma＝1000
N＋5000×2
N＝11000
N.
汽车在第1
s末的速度v＝at＝2×1
m/s＝2
m/s，所以P＝Fv＝11000×2
W＝22000
W＝22
kW，故B正确．
20、(多选)质量为m的汽车在平直路面上启动后做匀加速直线运动，经过时间t，速度变为v，此时汽车达到额定功率，汽车以额定功率继续行驶．整个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff，则( )
A．整个运动过程中，汽车运动的最大速度是v
B．整个运动过程中，汽车运动的最大速度是
C．匀加速直线运动阶段，汽车的牵引力为Ff＋m
D．汽车的额定功率为v
[答案] CD
[解析] 达到额定功率后汽车继续加速，直到最后做匀速直线运动，则整个运动过程中，汽车运动的最大速度不是v，故A错误；t时间内，汽车的加速度a＝，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，所以汽车的牵引力F＝Ff＋m，故C正确；t时刻汽车达到额定功率，P＝Fv＝v，故D正确；整个运动过程中，汽车运动的最大速度vm＝＝v，故B错误．
21、(多选)如右图所示，用细线悬挂一小铁块，将小铁块拉直到水平位置，然后放手使小铁块由静止开始向下摆动，在小铁块摆向最低点的过程中，重力对小铁块做功的功率( )
A．一直增大
B．先增大，后减小
C．在最低点为0
D．在最低点最大
[答案] BC
[解析] 开始时，小铁块的速度为0，重力的功率为0.当小铁块到达最低点时，速度虽然最大，但速度方向与重力方向垂直，故此时重力的功率也为0.而在运动过程中，重力方向与速度方向有一定夹角，故功率不为0.由此可知，重力的功率一定是先增大后减小的．
22、一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如右图所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
[答案] A
[解析] 由P－t图象知：0～t1内汽车以恒定功率P1行驶，t1～t2内汽车以恒定功率P2行驶．设汽车所受牵引力为F，则由P＝Fv得，当v增加时，F减小，由a＝知a减小，又因速度不可能突变，所以选项B、C、D错误，选项A正确．
23、如右图所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动．已知物体质量为10
kg，F的大小为100
N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，g＝10
m/s2.求：
(1)第2
s末，拉力F对物体做功的功率是多大？
(2)从运动开始，物体前进12
m过程中拉力对物体做功的功率？(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
[答案] (1)960
W (2)480
W
[解析] (1)物体对水平面的压力
FN＝mg－Fsin37°＝100
N－100×0.6
N＝40
N
由牛顿第二定律得物体的加速度
a＝＝
m/s2＝6
m/s2
第2
s末，物体的速度v＝at＝12
m/s
拉力F对物体做功的功率P＝Fvcos37°＝960
W.
(2)从运动开始，前进12
m用时
t′＝＝
s＝2
s
该过程中拉力对物体做功
W＝Flcos37°＝100×12×0.8
J＝960
J
拉力对物体做功的平均功率P′＝＝
W＝480
W.
23、汽车发动机的额定功率为60
kW，其质量为5×103
kg，在水平路面上行驶时所受阻力恒定为5.0×103
N，试求：
(1)汽车所能达到的最大速度；
(2)若汽车以0.5
m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则汽车受到的牵引力多大？
(3)汽车匀加速运动的时间多长？
[答案] (1)12
m/s (2)7500
N (3)16
s
[解析] (1)当汽车以最大速度行驶时，牵引力F＝F阻＝5.0×103
N
由P＝Fv得，v＝＝
m/s＝12
m/s
(2)由牛顿第二定律得F′－F阻＝ma
代入数据得F′＝7500
N
(3)汽车做匀加速运动到最大速度时，汽车达到额定功率，此时速度v′＝，代入数据得v′＝8
m/s
则t＝＝
s＝16
s
23、能源短缺和环境恶化已经成为关系到人类社会能否持续发展的大问题．为缓解能源紧张压力、减少环境污染，汽车制造商纷纷推出小排量经济实用型轿车．某公司研制开发了某型号小汽车，发动机的额定功率为24
kW，汽车连同驾乘人员总质量为m＝2
000
kg，在水平路面上行驶时受到恒定的阻力是800
N，求：
(1)汽车在额定功率下匀速行驶的速度；
(2)汽车在额定功率下行驶，速度为20
m/s时的加速度．
[答案] (1)30
m/s (2)0.2
m/s2
[解析] (1)由P＝Fv得v＝＝
m/s
＝30
m/s.
(2)F1＝＝
N＝1
200
N
a＝＝
m/s2＝0.2
m/s2.(共41张PPT)
学习目标：
1.理解功的概念．
2.掌握W＝Flcos
α的适用条件，会用它进行计算．(重点）
3.理解正功、负功的含义，会求多个力的总功．(重点、难点)
4.掌握变力功的求法．
5.知道功率的概念，理解功率的物理意义．
6.掌握功率的定义式，能够用解答有关的问题．(重点)
7.知道P＝Fv的推导过程．(重点)
8.掌握汽车启动问题的分析方法．(难点)
9.理解额定功率和实际功率的概念．(重点)
复习回顾
1、初中阶段，我们已经学习过功，功的定义是什么呢？
2、功率的物理意义是什么？
力与在力的方向上移动的距离的乘积（W=FS）。
单位时间内做功的大小。
思考讨论
F拉
S
力与运动的距离不在同一直线，功该怎么求？
功
1、定义：物体受到力的作用，并沿力的方向发生一段位移，则该力对物体做了功。
初中阶段没有位移的概念，因此模糊地定义为距离，此处明确必须要在力的方向上移动的位移。
做功的两个必要因素：
（1）有力作用在物体上；
（2）在这个力的作用下沿这个力的方向上有位移；
2、公式：W=Fl
F
l
功
若力的方向与位移的方向有夹角θ，则将位移分解在力的方向上后再相乘或将力分解在位移方向后再相乘。
或
注意事项：
①
F是作用在物体上的某个力（如G、N、f
等），但一定是恒力；
②
l是F的作用点发生的位移；
③α是矢量F和l的夹角;
力对物体做的功只与F、
l
、α三者有关，与物体的运动状态等因素无关。
功
3、功的单位：焦耳，简称焦，符号J
物理意义：
1J等于1N的力使物体在力的方向上发生1m位移的过程中所做的功，所以1J＝1N×1m＝1N·m
4、功是标量。只有大小，没有方向（但有正负之分）
5、三种不做功的情况
（1）有力无位移；
（2）有位移无力；
（3）力和位移垂直；
做功的实例
练握力时握力器在力的方向上有运动的距离，握力做功
手拉行李箱时行李箱在力的方向上有运动的位移，拉力做功。
做功的实例
塔吊往上拉物体时，物体在力的方向有位移，拉力有做功。物体在水平方向上平动时，在拉力的方向没有位移，拉力不做功。
背着包在水平面上行走时，背包的力竖直向上，背包在水平方向有位移，力与位移垂直，背包的力不做功。
正功和负功
（1）当F与l的夹角时，力做正功，W>0，如图乙
F有促使物体运动的作用，是动力
（2）当F与l的夹角时，力做负功，W<0，如图丙
F阻碍了物体的运动，是阻力
（3）当F与l的夹角时，力不做功，W=0，如图甲
功的正负只表示力的方向与位移的方向的关系，不表示功的大小或功的方向！
思考讨论
刚刚我们讨论的都是单个力的情况，那一个物体受多个力作用时做的功又是多少呢？
方法一：
方法二：
先求合力，再求功。
F1、F2、F3···的合力为F合，则W总=F合·lcos
先求各个力所做的功，再求这几个功的代数和。
F1做功W1，F2做功W2，F3做功W3,···，
则W总=W1+W2+W3+···
例题讲解
【例1】一个质量为
150
kg
的雪橇，受到与水平方向成
37°角斜向上方的拉力，大小为500
N，在水平地面上移动的距离为
5
m。地面对雪橇的阻力为
100
N，cos
37°＝
0.8。求各力对雪橇做的总功。
解
拉力在水平方向的分力为
Fx
＝
Fcos
37°，它所做的功为
W1
＝
Fx
l
＝
Fl
cos
37
＝
500×5×0.8
J
＝
2
000
J
阻力与运动方向相反，两者夹角为
180°，它所做的功为
W2
＝
F
阻
l
cos
180°＝－
100×5
J
＝－
500
J
力对物体所做的总功为二者的代数和，即
W
＝
W1
＋
W2
＝
2
000
J
－
500
J
＝
1
500
J
力对雪橇所做的总功是
1
500
J。
变力做功
这里特别强调了适用于恒力做功，那变力做功可以求出功吗？
F一定是恒力，即大小和方向都不变
变力做功
①微元法求变力做功
将运动的过程分成很多小段，在这些小段中，力可以看作恒力，可以使用恒力做功的公式，最后再求数量和。
【例2】一辆马车在力F=100N的作用下绕半径为50m的圆形轨道做匀速圆周运动，当车运动一周回到原位置时，车子克服阻力所做的功为多少？
分析：阻力的方向时刻在变，是变力做功的问题，不能直接由功的公式计算。但可以将这个过程分成很多小段，当每个小段足够小时，路程可以看成是位移，可以使用恒力做功的方式进行求解。
Δx
Δs
F
解：Wf
=fΔs1cosπ＋fΔs2cosπ＋fΔs3cosπ＋fΔs4cosπ＋……
=
–
fs=
–
Fs
=
–
F×2πR=
–
3.14
×104
J
W克=
–
Wf=
3.14
×104
J
变力做功
②平均值法求变力做功
如果可以将力的整个过程作用的平均值求出来，也可以将整个平均值作为恒力来使用。
【例3】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多少深度
?
(设铁锤每次做功相等)
解：第一次击入深度为x1，平均阻力F1=
×
kx1，做功为W1=
F1
x1=×kx21.
第二次击入深度为x1到x2，
平均阻力F2=×
k(x2+x1),
位移为x2-x1，
做功为W2=
F2(x2-x1)=×
k(x22-x21).
两次做功相等：W1=W2.
解后有：x2＝x1=1.41cm.
所以△x=x2-x1=0.41cm.
分析：铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=-f=kx，可用平均阻力来代替.如图
x1
x2
变力做功
③图像法求变力做功
如果可以画出F-x图像，可以利用F-x图像所围成的面积大小就是功的大小的方式来进行求解。
【例3】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多少深度
?
(设铁锤每次做功相等)
分析：恒力做功时，F与x图象如右图，W=S=
F0
x0
x
F
O
x0
F0
解：因为阻力F=kx,以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，
作出F-x图像，如右下图，
W2=kx1△x+k(x1+△x)△x+
x+k(x1+2△x)△x+……
曲线下面积的值等于F对铁钉做的功.
（示功图）
因S1
=
S2
(面积)，即：×
kx12=×
k(x2+x1)(x2-x1)，
解后有：x2＝
x1=1.41cm.
∴
△x=x2-x1=0.41cm.
x
F
O
x1
x2
kx1
kx2
例题讲解
【例4】关于功的论述，下列说法正确的是(
)
A、大的力一定比小的力做的功多
B、+5J的功比-5J的功多
C、+10J功比+5J的功多
D、+5J的功与-5J的功方向相反
C
点拨：功的正负不表示功的大小
例题讲解
【例5】两质量相等的物体A、B分别放在粗糙水平面上和光滑的水平面上，在同样的拉力F作用下，产生相同的位移S，则拉力(
)
A、对A做的功多
B、对B做功多
C、一样多
D、以上都有可能
粗糙
光滑
A
B
F
F
θ
θ
C
点拨：力对物体做的功只与F、
l
、
α三者有关，与物体的运动状态等因素无关
例题讲解
【例6】一学生用100N的力将质量为0.5kg的球迅速踢出，球在水平路面上滚出20m远，则该学生对球做的功是（
）
A、2000J
B、1000J
C、16J
D、无法确定
D
点拨：公式中F为恒力，且F、l必须具有同时性、同体性。
例题讲解
【例7】如图示，一个质量m＝150kg的雪橇，受到与水平方向成37°角的斜向上方的拉力F=500N，在水平地面上移动的距离为5m，物体与地面间的滑动摩擦力f＝100N。(cos37o=0.8)求：
（1）各个力对物体所做的功；
（2）各个力对物体做功的代数和。
（3）物体所受的合力；
（4）合力对物体做的功。
F
α
mg
f
FN
解：（1）拉力F对物体所做的功为W1=
Flcos37°=2000J
摩擦力F阻对物体所做的功为W2=
F阻lcos180°=
-500J
（2）各力做功的代数和
W=W1＋W2=1500J
（3）物体所受的合力F合＝Fcos37°－
F阻＝300N
（4）合力对物体所做的功
W=
F合l＝1500J
最后的麦客
思考讨论
古老的职业——麦客，为何在当代会受到生存的威胁？
麦客一天能收割1亩地，收割机一天能收割100-200亩地，与传统的手工收割相比，收割机不仅效率高，还更安全，对人体更无害，工序更简单。
效率：相同时间内做功的多少，做功越多，工作效率就越高。此次的效率，我们又叫功率。
功率
1.定义：功跟完成这些功所用时间的比值，叫做功率。
物理意义：单位时间内物体做功的大小，表示物体做功的快慢。
3.功率的表达式：
2.符号：P
4.单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W，1W＝1J/s
常用单位：kW
1kW=1000W
功率是标量，只有大小没有方向
例题讲解
【例8】一台机器用2分钟时间做了6×104J的功，这台机器的功率是多少？
解：由可得
【例9】关于功率，下列说法中正确的是（
）
A、功率是说明做功多少的物理量
B、功率是说明力做功快慢的物理量
C、做功时间越长，功率一定小
D、力做功越多，功率一定大
B
功率的影响因素：功的大小和做功的时间
思考讨论
什么是额定功率？这个参数对汽车来说意味着什么？
额定功率与实际功率
（1）额定功率：指机器正常条件下可以长时间工作的最大输出功率。
（2）实际功率：指机器工作中实际输出的功率。
如刚刚汽车的额定功率、灯泡铭牌上的额定功率。
例如汽车低速平地行驶时的功率、电压不足时电灯的功率
实际功率总是小于额定功率。实际功率如果大于额定功率容易将机器损坏。
机车发动机的功率指牵引力的功率而不是合外力或阻力的功率
。起重机调起货物的功率指钢绳拉力的功率。
功率的另一种表示方式
W＝Flcosα
P＝
t
W
P＝Fvcosα
P＝
t
Flcosα
v
F
α
v1
v2
F
α
v
F2
F1
P＝vFcosα
P＝Fvcosα
v＝
t
l
功率的另一种表达形式P＝Fvcos
α
（α是F与v的夹角）
功率的另一种表示方式
P=Fv
（1）P一定，F∝，功率一定时，速度越小，力越大
（2）V一定，P∝F，速度一定时，力越大，功率越大
（3）F一定，P
∝V，力一定时，速度越大，功率越大
汽车爬坡时，换低速挡，换取大的动力
汽车上坡，不减速，加油
吊车匀速吊重物，V越大,
P也越大
例题讲解
【例10】发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发动机的额定功率为
60
kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是
1
800
N，求发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度。假定汽车行驶速度为
54
km/h
时受到的阻力不变，此时发动机输出的实际功率是多少？
分析
实际功率不一定总等于额定功率，大多数情况下输出的实际功率都比额定功率小，但在需要时，短时间也可以输出更大的功率。
题目中说“受到的阻力不变”，表明本题对于较低速度行驶时发动机的输出功率只要求估算。
例题讲解
【例10】发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发动机的额定功率为
60
kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是
1
800
N，求发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度。假定汽车行驶速度为
54
km/h
时受到的阻力不变，此时发动机输出的实际功率是多少？
解
汽车在水平路面上匀速行驶时，受到的牵引力
F
＝
F
阻＝
1
800
N
由于
P
＝
Fv，所以额定功率下的速度
v
＝
＝
＝
33.3
m/s
＝
120
km/h
当汽车以速度
v
＝
54
km/h
＝
15
m/s
行驶时，有
P
＝
Fv
＝
1
800×15
W
＝
27
kW
汽车以额定功率匀速行驶时的速度为
120
km/h。汽车以
54
km/h
的速度行驶时，发动机输出的实际功率为
27
kW。
例题讲解
【例11】马拉着车在20分内以18Km/h的速度匀速前进，如果马的拉力为300N，求马拉车的功率。
解:
由于F=300N,
S=5
×
1200m=6000m,
t=20min=1200s
v==m/s
所以马拉车的功率：
P==Fv=300×5W=1500
W
关于平均功率和瞬时功率
平均功率：描述在一段时间内做功的平均快慢
瞬时功率：表示在某一时刻做功的快慢
当
t
表示一段时间时，此式表示平均功率
当
t
很短很短时，此式表示瞬时功率
P＝Fvcos
α
若
v
表示平均速度，则P
表示平均功率
若v表示瞬时速度，则P
表示瞬时功率
例题讲解
【例12】一台起重机将静止在地面上、质量为m＝1.0×103
kg的货物匀加速竖直吊起，在2
s末货物的速度v＝4
m/s.(g取10
m/s2，不计额外功)求：
(1)起重机在这2
s内的平均功率；
(2)起重机在2
s末的瞬时功率．
解
设货物所受的拉力为F，加速度为a，则
(1)由a＝得，a＝2
m/s2
F＝mg＋ma＝1.0×103×10
N＋1.0×103×2
N＝1.2×104
N
2
s内货物上升的高度h＝at2＝4
m
起重机在这2
s内对货物所做的功W＝F·h＝1.2×104×4
J＝4.8×104
J
起重机在这2
s内的平均功率P＝＝W＝2.4×104
W.
(2)起重机在2
s末的瞬时功率
P＝Fv＝1.2×104×4.0
W＝4.8×104
W.
思考
【例13】每年春节前，温州农村都有捣年糕的习俗，借此来寓意“年年发财、步步高升”．捣年糕时，一人将“石杵”一起一落挥动，另一人在“石杵”挥动的间隙迅速翻动米粉团，直到米粉团柔软而有弹性．已知“石杵”质量为20
kg，每分钟上下挥动20下，每次重心上升的高度约为90
cm，则人挥动“石杵”做功的平均功率约为( )
A．60
W B．120
W
C．180
W
D．540
W
A
【解析】挥动“石杵”一次所做的功W＝mgh＝20×10×0.9
J＝180
J；1
min内做的总功W总＝nW＝20×180
J＝3
600
J，则人挥动“石杵”做功的平均功率＝＝60
W，故A正确，B、C、D错误．
机车启动问题
P＝F
v
发动机的实际功率
发动机的牵引力
机车的瞬时速度
①当汽车以额定功率P启动时，F与v成反比。
F
v
O
f
v
t
vm
P
t
P额
在速度未达到最大速度vm之前，牵引力与速度的关系为P=F牵·v=(ma+f)·v，由于v↑，所以F牵↓，a↓，当v达到最大速度vm时，F牵=f，a=0，汽车做匀速直线运动。
O
O
O
a
t
机车启动问题
②当汽车以恒定加速度a启动时，开始时F恒定，达到某一速度之后P恒定。
F
v
O
f
v
t
vm
P
t
P额
O
O
O
a
t
F=ma
t1
t2
t1
t2
t1
t2
t1
t2
（1）在速度未达到vm前，汽车做加速度为a的匀加速直线运动，牵引力与速度的关系为，P↑，v↑，a不变，直到P到达额定最大功率P额，此时有，vm’为做匀加速直线运动的最大速度。
（2）当汽车达到匀加速直线运动的最大速度之后，P达到最大功率P额，功率开始恒定不变，在额定功率下做变加速直线运动，直到达到最大速度vm，此过程牵引力与速度的关系为P=(ma’+f
)·v，P不变，a’↓，v↑。
例题讲解
汽车以额定功率在平直公路行驶时，若前方遇到了一段较陡的上坡路段，汽车司机要做好什么调整，才能确保汽车驶到坡顶？为什么？
汽车上坡需要较大的牵引力，因此需要调整为低速挡，以速度换动力。
例题讲解
【例14】质量为2t的汽车，发动机输出功率为30kW，在水平公路上能达到的最大速度为15m/s，则汽车速度为10m/s时的加速度为多大？
解：由P=Fv可得汽车在速度最大时的牵引力为
F牵=
由相互作用力可得f=F牵=2000N
汽车额定功率行驶，有P额=(ma+f
)·v，可得加速度
代入数据可得a=0.5m/s2
分析：发动机输出功率即为额定功率，因此该汽车启动类型为额定功率启动。此时有P额=(ma+f
)·v
例题讲解
【例15】一列高速列车总质量m＝465
t，其额定功率P＝5
300
kW，在水平直轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F阻是车重的0.018.列车以额定功率工作，取重力加速度g＝10
m/s2，求：
(1)当行驶速度v＝
10
m/s时，列车的牵引力大小和加速度大小；
(2)列车在水平直轨道上行驶的最大速度大小．
解：由题意可知F阻＝0.018mg.设列车以额定功率工作，当行驶速度v＝10
m/s时，牵引力为F1；行驶速度达到最大值vmax时，牵引力为F2.
(1)由P＝F1v得F1＝＝
N＝5.3×105
N
根据牛顿第二定律，有F1－F阻＝ma，解得a＝0.96
m/s2.
(2)当F2＝F阻时，列车行驶速度最大
由P＝F2vmax得vmax＝＝63.3
m/s.
例题讲解
【例16】质量为m＝5×103
kg的汽车在水平公路上行驶，阻力是车重的0.1.让车保持额定功率为60
kW，从静止开始行驶，求(g取10
m/s2)：
(1)汽车达到的最大速度vm大小；
(2)汽车车速v1＝2
m/s时的加速度大小．
解：(1)由P＝Fv＝Ffvm得
vm＝＝＝
m/s＝12
m/s.
(2)由P＝Fv得F＝
当v1＝2
m/s时，
F1＝＝
N＝3×104
N
由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma，所以
a＝=
m/s2＝5
m/s2.
谢谢观看，完成课后作业！
