7.2复数的四则运算 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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复数的四则运算
一、单选题（共16小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若复数
满足
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2.
（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
3.已知i为虚数单位,复数
,
,若它们的和
为实数,差
为纯虚数,则a,b的值分别为（??
）
A.?
,
?????????????????????????????????B.?
,4?????????????????????????????????C.?3,
?????????????????????????????????D.?3,4
4.若复数z满足
，则z的虚部是（
???）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?6
5.设复数
,
，则复数
在复平面内对应的点位于（
??）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
6.已知复数
，i为虚数单位，则
等于（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
7.已知复数
，则下列说法正确的是（??
）
A.?复数z的实部为3??????????????????????????????????????????????????B.?复数z的共轭复数为：
C.?复数z部虚部为：
?????????????????????????????????????D.?复数z的模为5
8.复数
为虚数单位）的虚部是（???
）
A.?-2?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?-1
9.已知i为虚数单位，
，则关于复数z的说法正确的是（???
）
A.?????????????????B.?z对应复平面内的点在第三象限????????????????C.?z的虚部为
????????????????D.?
10.复数
的虚部为（???
）
A.?—1?????????????????????????????????????????B.?—3?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?2
11.若
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
12.若
且
（其中
为虚数单位），则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?-1????????????????????????????????????????C.?1????????????????????????????????????????D.?0
13.已知
(其中a，
，i是虚数单位)，则a+b的值为（???
）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?-4
14.若复数
满足
，则下列说法正确的是（??
）
A.?
的虚部为
?????????????????????????B.?
为实数?????????????????????????C.??????????????????????????D.?
15.若复数
，则
在复平面内的对应点位于（???
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
16.若
，则
（
??）
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?0???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?2
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
17.已知
为虚数单位，则下面命题正确的是（???
）
A.?若复数
，则
．
B.?复数
满足
，
在复平面内对应的点为
，则
．
C.?若复数
，
满足
，则
．
D.?复数
的虚部是3．
18.已知复数
，则下列结论正确的是（???
）
A.????????????B.?复数
在复平面内对应的点在第二象限???????????C.????????????D.?
19.若复数
，则（???
）
A.????????B.?z的实部与虚部之差为3???????C.????????D.?z在复平面内对应的点位于第四象限
三、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
20.复数
与
分别表示向量
与
，则表示向量
的复数为________.
21.设
，其中
为虚数单位.若
，则
在复平面上对应点的坐标为________.
22.已知复数
在复平面内对应的点位于第一象限，且满足
，
，则
的实部为________，虚部为________.
23.已知复数z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虚数单位，a∈R），若z1?z2是纯虚数，则a的值为________．
24.若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________.
四、解答题（共4小题，满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
25.已知复数
，
，
．
（Ⅰ）当
时，求
的值；
（Ⅱ）若
是纯虚数，求a的值；
（Ⅲ）若
在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．
26.
为虚数单位，
且
是纯虚数，
（1）求
的取值范围；
（2）若
，
，
，求
的最小值.
27.已知复数
（1）若
，求角
；
（2）复数
对应的向量分别是
，其中
为坐标原点，求
的取值范围.
28.设z1是虚数，z2＝z1
是实数，且﹣1≤z2≤1．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
（2）若ω
，求证ω为纯虚数；
（3）求z2﹣ω2的最小值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】设
，则
，
，
，解得：
，
。
故答案为：A.
【分析】设出复数z的代数表达式，再利用复数z与共轭复数的关系，进而设出复数z的共轭复数的代数表达式，再利用复数的加减法运算法则结合已知条件
，
再利用复数相等的判断方法，进而解方程组求出a,b的值，进而求出复数z的代数表达式。
2.【答案】
A
【解析】
.
故答案为：A
【分析】利用加法法则运算即可.
3.【答案】
A
【解析】解：
,
为实数,所以
,解得
.
因为
为纯虚数,所以
且
,解得
且
.故
,
.
故选：
【分析】根据复数的加减运算法计算可得.
4.【答案】
D
【解析】
，则z的虚部是
。
故答案为：D。
【分析】利用向量的加减法运算法则，从而求出复数z，进而求出复数z的虚部。
5.【答案】
B
【解析】
，所对应的点的坐标为
，故复数
在复平面内所对应的点位于第二象限，故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合作差法求出复数
的代数式，再利用复数的几何意义，从而求出复数
在复平面内对应的点的坐标，再利用点的坐标的位置，从而求出复数
在复平面内对应的点位于的象限。
6.【答案】
D
【解析】因为
，
所以
.
故选：D.
【分析】分别求解模以及其共轭复数，相加即可.
7.【答案】
B
【解析】
，则实部为
，虚部为
，共轭复数为：
，模为
．
故答案为：B.
【分析】首先由复数的运算性质整理即可得到复数z的代数式再由复数代数式的定义对选项逐一判断即可得出答案。
8.【答案】
D
【解析】对原式进行化简：
所以复数
的虚部为-1
故答案为：D
【分析】首先由复数的运算性质整理化简再由复数的定义即可得到答案。
9.【答案】
A
【解析】已知
，
所以
，
所以
.
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘法运算以及复数的概念以及几何意义即可求解.
10.【答案】
B
【解析】
所以
的虚部为
故选B项.
【分析】对复数
进行化简计算，得到答案.
11.【答案】
A
【解析】由
得
.
故选：A.
【分析】由
得出
，利用复数的除法运算可得出复数
.
12.【答案】
B
【解析】因为
，
根据复数相等，所以
，所以
.
故答案为：B.
【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案。
13.【答案】
C
【解析】因为
，所以
，所以
.
故答案为：C．
【分析】根据题意整理化简借助复数的运算性质即可求出a、b
的取值，由此得到答案。
14.【答案】
C
【解析】因为
，所以
，
所以
的虚部为
，
为虚数，
，
，
故
A，B，D
错误，C符合题意.
故答案为：C
【分析】根据复数的除法运算求出
，根据复数的概念、复数的模长公式、共轭复数的概念可得答案
15.【答案】
B
【解析】
，
所以，
在复平面内的对应点为
，则对应点位于第二象限
故答案为：B
【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可。
16.【答案】
D
【解析】因为
，所以
，所以
，
所以
，
故答案为：D.
【分析】整理
可得：
，问题得解
二、多选题
17.【答案】
A,B,C
【解析】由
，A符合题意；
由
在复平面内对应的点为
，则
，即
，
则
，B符合题意；
设复数
，则
，所以
，C符合题意；
复数
的虚部是-3，D不正确.
故答案为：A、B、C
【分析】
根据复数的除法运算求解即可判断出选项A正确；由复数的几何意义可知z=x+yi，所以|z-2i|=|x+（y-2）i|=1，再根据模长的计算方法，有x2+（y-2）2=1即可判断出选项B
正确；
由所以z1
，
z2的实部相同，虚部互为相反数，若设z=a+bi，则z2=a-bi，再根据复数的乘法进行运算即可判断出选项C正确；根据复数的概念即可判断出选项D错误；由此得出答案。
18.【答案】
A,D
【解析】
，
?
复数
在复平面内对应的点在第一象限，AD符合题意.
故答案为：AD
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模、共轭复数的概念，进行判断即可得到答案。
19.【答案】
A,D
【解析】解：
，
，
z的实部为4，虚部为
，则相差5，
z对应的坐标为
，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD符合题意，
故答案为：AD.
【分析】根据复数的运算，先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出答案。
三、填空题
20.【答案】
9+i
【解析】
，所以，表示向量
的复数为
.
故答案为：
.
【分析】由向量的减法知
，将复数
与
作差即可得出表示向量
的复数.
21.【答案】
(0,-20)
【解析】
，
则
在复平面上对应点的坐标为
．
故答案为：
．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
22.【答案】
3；4
【解析】设
，则
，
由
可得
即
，
则
，由
可得
，解得
，
所以
，故
的实部为3，虚部为4.
故答案为：3，4.
【分析】设
，由题意
，
，求出
、
后，根据复数实部、虚部的概念即可得解.
23.【答案】
-4
【解析】∵z1＝1﹣2i，z2＝a+2i，
∴
，
又z1?z2是纯虚数，∴
，解得：a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】由题意
，令
即可得解.
24.【答案】
1＋2i
【解析】∵(1＋2i)z＝－3＋4i，
∴?
＝1＋2i.
【分析】利用复数的混合运算法则结合已知条件，从而求出复数z。
四、解答题
25.【答案】
解：（Ⅰ）由题意
；
（Ⅱ）由题意
为纯虚数，则
，所以
；
（Ⅲ）
，对应点
，它是第二象限点，则
，解得
．故
的范围是
．
【分析】
（Ⅰ）
根据题意由复数的运算性质整理即可得出结果。
（Ⅱ）
由复数概念可求出a的值即可。
（Ⅲ）
由复数的乘除运算结合复数的几何意义即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
26.【答案】
（1）解：
，
因为
为纯虚数，
所以
且
，
所以
或
，
当
时，
，
当
时，
，
，
所以
，
综上：
.
（2）解：由（1）
或
，又
，
所以
，
，
，
，
由题意知
，
所以
，
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
【分析】(1)根据题意首先整理代数式结合已知条件为纯虚数，即可计算出a、b的关系式，分情况讨论即可求出的代数式，结合a的取值范围即可得出结果。
(2)由(1)的结论得出a的取值范围
，
结合题意整理即可得出；再由即可求出
，
整理化简结合基本不等式即可求出最小值。
27.【答案】
（1）解：由
，
可得
，
由
，可得：
，
所以
，所以
或
；
（2）解：由题意可得
，
由
，所以
，
所以
，
所以
的取值范围为
.
【分析】（1）利用已知条件结合复数乘法运算法则，进而求出复数
，
再利用复数为实数的判断方法结合
，
从而结合二倍角的正弦公式求出角的值。
（2）利用复数的几何意义求出复数
分别对应的向量
的坐标，再利用复数的乘法运算法则结合辅助角公式，将
转化为正弦型函数，再利用
，
结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的值域，进而求出
的取值范围。
28.【答案】
（1）解：设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），
则z2＝z1
（a+bi）
（a+bi）
（a+bi）
（a
）+（b
）i，
因为z2是实数，
所以b
0，即b（
）＝0，
因为b≠0，所以a2+b2＝1，
即|z1|＝1，且z2＝2a，
由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得
a
，
即z1的实部的取值范围为[
，
]．
（2）解：∵a2+b2＝1，
ω
，
因为
a
，b≠0，
所以ω
为纯虚数．
（3）解：z2﹣ω2＝（a
）+（b
）i﹣（
）2
，
＝2a+（b﹣b）i
＝2a
＝2a
?
?
＝1
＝1
＝1
＝1+2（a+1）﹣4
＝2（a+1）
3，a+1∈[
，
]，
当2（a+1）
时，即a＝0时，z2﹣ω2取最小值1．
【分析】（1）设z1代数形式代入z2
，
根据z2是实数，求得|z1|，再根据﹣1≤z2≤1，求得z1的实部的取值范围；（2）根据复数除法法则化简ω，再根据纯虚数概念判断证明；（3）先化简z2﹣ω2
，
再利用基本不等式求最小值．
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