第八章
立体几何初步
8.1基本立体图形(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（
）
A．五棱锥
B．三棱柱
C．三棱台
D．四棱台
2．下列几何体中棱柱有（
）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
3．下列说法中正确的是（
）
A．棱柱的面中，至少有两个互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中各条棱长都相等
D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
4．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周，所得的组合体是( )
A．由两个圆台组合成的
B．由两个圆锥组合成的
C．由一个圆锥和一个圆台组合成的
D．由两个棱台组合成的
5.一个棱柱是正四棱柱的条件是（
）
A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱
C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱
D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列选项正确的是（
）
A．多面体至少有四个面
B．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面为平行四边形
C．长方体、正方体都是棱柱
D．三棱柱的侧面为三角形
7．下列说法中正确的是（
）
A．将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形
B．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．棱锥的侧面均为三角形
D．棱台的上下底面是平行且相似的多边形
8．给出下列命题：
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行；
B.圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的选项是（
）
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的________（写出满足条件的图形序号）
（1）正三角形（2）梯形（3）直角三角形（4）矩形
10．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．
其中正确结论的个数为________．
11．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径为，高为1，和是底面圆周上两点，则圆锥的侧面展开图的圆心角为___________；面积的最大值为___________.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图,长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗?为什么?
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分,各部分几何体的形状是什么?
13．求下列值：
（1）圆柱的轴截面是正方形，它的面积为，求圆柱的高与底面的周长.
（2）圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，求该圆锥的底面半径、圆锥的高与母线的长.
（3）圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm，求圆台母线的长.
14．试从正方体的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
（3）三棱柱．第八章
立体几何初步
8.1基本立体图形(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（
）
A．五棱锥
B．三棱柱
C．三棱台
D．四棱台
【答案】D
【解析】四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点．故选：D．
2．下列几何体中棱柱有（
）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
【答案】C
【解析】根据棱柱的定义,知①②③④⑤中的几何体是棱柱,共5个.判断一个几何体是不是棱柱的关键是看是否满足棱柱的定义:①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,且其余各面都是四边形;②看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否互相平行.故选：C．
3．下列说法中正确的是（
）
A．棱柱的面中，至少有两个互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中各条棱长都相等
D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
【答案】A
【解析】由棱柱的特征：①有两个面相互平行且全等；②其余各面都是平行四边形；
③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．可知只有正确．故选：A．
4．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周，所得的组合体是( )
A．由两个圆台组合成的
B．由两个圆锥组合成的
C．由一个圆锥和一个圆台组合成的
D．由两个棱台组合成的
【答案】D
【解析】由旋转体的概念可知，所得的组合体是由两个棱台组合成的，故选：D．
5.一个棱柱是正四棱柱的条件是（
）
A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱
C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱
D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
【答案】D
【解析】选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，故选：D.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列选项正确的是（
）
A．多面体至少有四个面
B．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面为平行四边形
C．长方体、正方体都是棱柱
D．三棱柱的侧面为三角形
【答案】ABC
【解析】多面体至少为四面体即有四个面，故A正确.
根据六棱柱的性质可得其有6条侧棱，6个侧面，且侧面为平行四边形，故B正确.
长方体、正方体都是四棱柱，故C正确.
三棱柱的侧面为平行四边形，故D错误.
故选：ABC.
7．下列说法中正确的是（
）
A．将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形
B．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．棱锥的侧面均为三角形
D．棱台的上下底面是平行且相似的多边形
【答案】ACD
【解析】由圆柱的性质知其侧面展开图是矩形，棱锥的侧面都是三角形，棱台的上下底面是平行且梘的多边形，ACD均正确，
由旋转体的概念可知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，B错．故选：ACD．
8．给出下列命题：
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行；
B.圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的选项是（
）
【答案】BD
【解析】圆柱的母线与它的轴平行，故A错误；
圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故B正确；
在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C错误；
圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，故D正确；故选：BD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的________（写出满足条件的图形序号）
（1）正三角形（2）梯形（3）直角三角形（4）矩形
【答案】（1）（2）（4）
【解析】
如图，正方体有六个面，用平面去截正方体时，最多与六个面相交得六边形，截面与四个面相交时可能得矩形或梯形，截面与三个面相交得三角形，因为正方体从一个顶点出发的棱两两垂直，所以不可能是直角三角形.
故答案为：（1）（2）（4）
10．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．
其中正确结论的个数为________．
【答案】4
【解析】（1）如图所示：四边形ABCD为矩形，故（1）满足条件；
（2）四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故（2）满足条件；
（3）四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故（3）满足条件；
（4）四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故（4）满足条件；
故正确的结论有4个．故答案为：4．
11．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径为，高为1，和是底面圆周上两点，则圆锥的侧面展开图的圆心角为___________；面积的最大值为___________.
【答案】
2
【解析】设侧面展开图的圆心角为，则；如图，和都是圆锥的母线，则，设圆锥经过，的截面为，在直角三角形中，，可得的顶角为120°，所以面积的最大值为.
故答案为：，2
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图,长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗?为什么?
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分,各部分几何体的形状是什么?
【答案】（1）长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱.（2）棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.
【解析】
(1)长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱.
长方体中相对的两个面是平行的,其余每个面都是矩形(四边形),且每相邻的两个矩形的公共边都互相平行,符合棱柱的结构特征,
∴长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱.
(2)根据棱柱的定义可知,各部分几何体都是棱柱,分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.
13．求下列值：
（1）圆柱的轴截面是正方形，它的面积为，求圆柱的高与底面的周长.
（2）圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，求该圆锥的底面半径、圆锥的高与母线的长.
（3）圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm，求圆台母线的长.
【答案】（1）3；
；（2），，；；（3）5cm.
【解析】（1）因为圆柱的轴截面是正方形，
设高为h，底面半径为r，因为轴截面的面积为，
所以，解得，则，
所以底面的周长.
（2）因为圆锥的轴截面是正三角形，
设母线的长为，则半径为r，高为h，
因为轴截面的面积是，
所以，即，解得，
所以该圆锥的底面半径为，圆锥的高，母线的长为2.
（3）因为圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm，
所以.
14．试从正方体的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
（3）三棱柱．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）如图所示，三棱锥（答案不唯一）．
（2）如图所示，三棱锥（答案不唯一）．
（3）如图所示，三棱柱（答案不唯一）．
