第八章
立体几何初步
8.2立体图形的直观图(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（
）
A．45°
B．135°
C．90°
D．45°或135°
2．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（
）
A．倍
B．倍
C．倍
D．倍
3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（
）
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
4．是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（
）
A．
B．
C．
D．
5.如图，在水平放置的三角形的直观图中，是中边上的点，且，，，那么，，三条线段对应原图形中线段，，中（
）
A．最长的是，最短的是
B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是
D．最长的是，最短的是
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的选项有（
）
A.三角形的直观图是三角形；
B.平行四边形的直观图是平行四边形；
C.菱形的直观图是菱形；
D.正方形的直观图是正方形.
7．关于“斜二测画法”,下列说法正确的是(
)
A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的
C．在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45°
D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
8．下列命题中正确的是(
)
A．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形
B．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正三角形，则原三角形的面积等于________.
10．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为_______________
11．为边长为的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积为______．其直观图的周长为______．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，，，能否判断的形状并求边的实际长度是多少？
13．画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.
14．如图所示,中,,边AC上的高,求其水平放置的直观图的面积.第八章
立体几何初步
8.2立体图形的直观图(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（
）
A．45°
B．135°
C．90°
D．45°或135°
【答案】D
【解析】因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，
故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.故选：D.
2．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（
）
A．倍
B．倍
C．倍
D．倍
【答案】D
【解析】斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式,所以故选：D
3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（
）
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
【答案】B
【解析】根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜，故原来垂直线段不一定垂直了；
故选：B．
4．是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
画对应的轴，轴，使，如下图所示，
结合图形，的面积为，
作，垂足为，
则，，
所以的面积，
即原图和直观图面积之间的关系为，
所以，的面积为.故选：A.
5.如图，在水平放置的三角形的直观图中，是中边上的点，且，，，那么，，三条线段对应原图形中线段，，中（
）
A．最长的是，最短的是
B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是
D．最长的是，最短的是
【答案】B
【解析】由直观图还原原图形如图，
因为A'D'//y'轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有AD⊥BC，且
所以，故中线段，，中最长的是
，最短的是，故选：B
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的选项有（
）
A.三角形的直观图是三角形；
B.平行四边形的直观图是平行四边形；
C.菱形的直观图是菱形；
D.正方形的直观图是正方形.
【答案】AB
【解析】对于选项A,由斜二测画法规则知：三角形的直观图仍然是三角形，故A正确；
对于选项B,根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，故B正确；
对于选项C,根据两轴的夹角为45°或135°知，菱形的直观图不再是菱形，故C错误；
对于选项D,根据平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半知，正方形的直观图不再是正方形，故D错误,
故选：AB.
7．关于“斜二测画法”,下列说法正确的是(
)
A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的
C．在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45°
D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
【答案】ABD
【解析】根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的,并且或135°,
故选：ABD.
8．下列命题中正确的是(
)
A．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形
B．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
【答案】BCD
【解析】利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形；
利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形；
有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台；
因此BCD正确，故选:BCD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正三角形，则原三角形的面积等于________.
【答案】
【解析】根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积与它的直观图的面积之间的关系是，
本题中直观图的面积为，所以原三角形的面积等于．
故答案为：
10．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为_______________
【答案】
【解析】根据图像可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，
作，则，
由，得，，
，，且，，所以，
原四边形的面积为.
故答案为：
11．为边长为的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积为______．其直观图的周长为______．
【解析】
如图所示
为边长为2cm的正三角形，
则其水平放置的直观图的面积为
sin45°＝×2×（×2×sin60°）×sin45°＝；
其直观图的周长为
＝+2+
＝（+）+2+（﹣）＝2+.
故答案为：，2+.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，，，能否判断的形状并求边的实际长度是多少？
【答案】答案见解析
【解析】根据斜二测画法规则知：，故为直角三角形，
中，，，故.
13．画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.
【答案】见解析
【解析】(1)建系:先画x轴?y轴?z轴,其交点为O,使,.
(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD,如图.
(3)画顶点.在Oz上截取OP,使.
(4)成图.连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.
14．如图所示,中,,边AC上的高,求其水平放置的直观图的面积.
【答案】
【解析】画轴与轴,两轴交于,使,作的直观图如图所示,则,,故的高为,所以.即水平放置的直观图的面积为.
