第八章
立体几何初步
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，
由题可知，
∴，侧面积为，故选：C.
2．某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则该圆台的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r，则下底面半径，高
则它的母线长∴，.
∴，.故选：
3．在长方体中，，若此长方体的八个顶点都在体积为的球面上，则此长方体的表面积为（
）
A．16
B．18
C．20
D．22
【答案】A
【解析】根据长方体的结构特征可得，长方体外接球直径等于长方体体对角线的长，
因为长方体外接球的体积为，设外接球半径为，
则，解得，
因此，因为，
所以，解得：，
因此长方体的表面积为：.
故选：A.
4．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知斛米的体积约为立方尺，圆周率约为，估算出堆放的米有多少斛（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设底面扇形所在圆的半径长为尺，
底面扇形是圆心角为直角的扇形，其弧长为尺，则，可得，
所以，这个米堆的体积为（立方尺），约（斛）.
故选：B.
5.水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，,则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据斜二测画法的性质可知,原是以为底,高为的等腰三角形.又.故为边长为2的正三角形.
则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体可看做两个以底面半径为,高为的圆锥组合而成.故表面积为.故选：B
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（
）
A．圆柱的侧面积为
B．圆柱的侧面积为
C．圆柱的表面积为
D．圆柱的表面积为
【答案】BC
【解析】因为，，
所以，即，
又因为，
所以圆柱的侧面积是，
圆柱的表面积是，故选：BC
7．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个圆柱，则该圆柱的体积可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】正方体棱长为，所以正方体底面正方形的内切圆半径为，面积为，以此内切圆为底、高为的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为.
故选：ABC
8．高为的两圆柱体枳分别为Vm和Vn，其侧面面积相等，则Vm与Vn的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】AB
【解析】设高为的两圆柱的底面半径分别为，
所以，
所以，
根据侧面积相等可得：，
整理得，所以.
故选：AB.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.
【答案】
【解析】正方体的八个顶点在同一个球面上，
若正方体的棱长是2，
设外接球的半径为r，
则，解得，
故球的直径为.
球的表面积为.
故答案为：；.
10．将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.
【答案】
【解析】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；
设圆柱的高为h，底面半径为r，
则，解得；
所以；
当时，取得最大值为
故答案为：.
11．已知圆锥的底面半径为，母线长为，若圆锥内某正方体的底面在圆锥的底面上，则该正方体的最大体积为______.
【答案】1
【解析】由圆锥的结构特征可知：圆锥内接正方体最大；
因为圆锥的底面半径为，母线长为，
所以圆锥的高为，
设正方体棱长为，沿内接正方体的体对角线所在的面，纵切圆锥及其内接正方体，得到如图所示的轴截面，
则图形可得：，解得：，
所以该正方体的最大体积为.
故答案为：.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在底面半径为2，高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1：4，求圆柱的表面积.
【答案】
【解析】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，
即圆柱底面半径，若设圆柱的高为，则有，即，
∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，
即：.
13．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则求此圆锥的体积
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，
则圆柱的侧面积为，
故表面积为，得①，
又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，
得②，
联立①②得：，.
故该圆锥的体积为.
14．在正方体中，三棱锥的表面积为，则求正方体外接球的体积.
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
所以所以
所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为第八章
立体几何初步
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（
）
A．
B．
C．
D．
2．某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则该圆台的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
3．在长方体中，，若此长方体的八个顶点都在体积为的球面上，则此长方体的表面积为（
）
A．16
B．18
C．20
D．22
4．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知斛米的体积约为立方尺，圆周率约为，估算出堆放的米有多少斛（
）
A．
B．
C．
D．
5.水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，,则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（
）
A．圆柱的侧面积为
B．圆柱的侧面积为
C．圆柱的表面积为
D．圆柱的表面积为
7．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个圆柱，则该圆柱的体积可能为（
）
A．
B．
C．
D．
8．高为的两圆柱体枳分别为Vm和Vn，其侧面面积相等，则Vm与Vn的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．不确定
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.
10．将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.
11．已知圆锥的底面半径为，母线长为，若圆锥内某正方体的底面在圆锥的底面上，则该正方体的最大体积为______.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在底面半径为2，高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1：4，求圆柱的表面积.
13．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则求此圆锥的体积
14．在正方体中，三棱锥的表面积为，则求正方体外接球的体积.
