8.1空间几何图形B
一．选择题（共8小题）
1．下列几何体是台体的是
A．
B．
C．
D．
2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为28寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若盆中积水深9寸，则平地降雨量是 寸．（注平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若，则圆柱的表面积为
A．
B．
C．
D．
4．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则制作这样一个粮仓的用料面积为
A．
B．
C．
D．
5．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为
A．
B．
C．
D．
6．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为
A．
B．
C．
D．
7．在正四面体中，是底面的重心，点在线段上，且使得，则的值为
A．1
B．
C．
D．
8．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为，则它的一个底面的面积为
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共2小题）
9．已知的三边长分别是，，．则下列说法正确的是
A．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为
D．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
三．填空题（共4小题）
10．已知圆台上下底面圆的半径分别为1，2，母线长为2，则其表面积为 ．
11．已知圆锥侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的底面半径与母线长的比为 ．
12．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是
13．已知一个底面半径为1的圆柱内接于半径为2的球，则该圆柱的高为 ．
四．解答题（共4小题）
14．如图所示，一个圆台形花盆盆口半径为，盆底半径为，底部渗水圆孔半径为，盆壁长，那么花盆的表面积约为多少平方厘米取3.14，结果精确到
15．圆台的上、下底面半径分别是和，它的侧面展开图的扇环的圆心角是，那么圆台的侧面积、表面积、体积分别是多少？（结果中保留
16．已知圆台的上、下底面的半径分别是3，4，且侧面面积等于两底面面积之和，求圆台的母线长．
17．如图，一个圆环面绕着过圆心的直线旋转，想象并说出它形成的几何体的结构特征．
8.1空间几何图形B
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：中几何体四条侧棱的延长线不是相交于一点，所以不是棱台；
中几何体上下底面不平行，所以不是圆台；
中几何体是棱锥，不是棱台；
中几何体侧面的母线延长相交于一点，且上下底面平行，是圆台．
故选：．
2．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．
积水深9寸，
水面半径为寸，
则盆中水的体积为（立方寸）．
平地降雨量等于（寸．
故选：．
3．【解答】解：由题意可得：；
；
故选：．
4．【解答】解：设圆锥的母线为，底面半径为，高为；
所以，解得，；
又圆柱的侧面积为，
所以制作这样一个粮仓的用料面积为
．
故选：．
5．【解答】解：由可得，故圆锥的第面积为，
，
若，则，故．
故选：．
6．【解答】解：设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，
由，得，
又，
所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：．
7．【解答】解：正四面体，平面，
设正四面体棱长为2，则，，
，，，
，
又，
，故．
为的中点，
．
故选：．
8．【解答】解：圆柱的轴截面是正方形，且面积为，
设圆柱的底面半径为，则，
解得，
所以圆柱的一个底面圆面积为．
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：对于，以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体是底面半径为3，高为4的圆锥，
它的侧面积为，所以正确；
对于，以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体是底面半径为，
高的和为5的两个圆锥组合体，如图所示；
它的体积为，所以正确；
对于，以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体是底面半径为4，高为3的圆锥，
它的全面积为，所以错误；
对于，以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体是底面半径为4，高为3的圆锥，
它的体积为，所以正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
10．【解答】解：圆台上下底面圆的半径分别为1，2，母线长为2，
所以圆台的表面积为．
故答案为：．
11．【解答】解：设圆锥的母线长为、底面圆半径为，
由侧面展开图的圆心角为，
所以，
解得，
即圆锥的底面半径与母线长的比为．
故答案为：．
12．【解答】解：圆锥的底面积为，
圆锥侧面展开图的弧长为，
所以圆锥侧面展开图的扇形半径为；
所以圆锥的侧面积为，
所以圆锥的表面积为．
故答案为：．
13．【解答】解：由球的半径为，它的内接圆柱的底面半径为，
所以内接圆柱的高为．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
14．【解答】解：花盆的表面积等于花盆的侧面积加上底面积减去底面圆孔的面积，
故．
15．【解答】解：设圆台的母线长为，则，
圆台的侧面积；
圆台的表面积；
圆台的高为，
圆台的体积．
16．【解答】解：设圆台的母线长为，
依题意可得：，
解得，
故圆台的母线长为5．
17．【解答】解：由两个同心的大球和小球：大球去掉小球后，剩下的部分形成的几何体，即空心球．8.1空间几何图形A
一．选择题（共8小题）
1．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是
A．圆锥
B．圆柱
C．三棱锥
D．正方体
2．已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为
A．
B．
C．
D．
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为10，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为
A．7
B．6
C．5
D．4
4．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的底面积是侧面积的
A．
B．
C．
D．
5．已知圆锥的底面积和侧面积之比为，则圆锥的轴与母线所成的角为
A．
B．
C．
D．
6．祖暅（公元前世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上．以平行于平面的平面距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立．据此，短轴长为4，长轴长为6的椭球体的体积是
A．
B．
C．
D．
7．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为
A．
B．
C．
D．
8．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，体积为的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共2小题）
9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是
A．圆锥
B．圆柱
C．三棱锥
D．正方体
10．以下命题中假命题的序号是
A．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
C．用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
三．填空题（共4小题）
11．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．
12．圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角 ．
13．用长为3、宽为2的矩形做侧面，围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为 ．
14．中，，，，把绕直线旋转一周，则形成的旋转体的侧面积为 ．
四．解答题（共4小题）
15．如图所示，在边长为6的正三角形中，，依次是，的中点，，，，，，为垂足，若将绕旋转一周，求阴影部分形成的几何体的表面积．
16．有一个倒置圆锥，它的轴截面是一个正三角形，容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器内水的深度．
17．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长．
18．某种水箱用的“浮球”是由两个相同半球和一个圆柱筒组成，它的轴截面如图所示，已知半球的直径是，圆柱筒高，为增强该“浮球”的牢固性，给“浮球”内置一“双蝶形”防压卡，防压卡由金属材料杆，，，，，及焊接而成，其中，分别是圆柱上下底面的圆心，，，，均在“浮球”的内壁上，，通过“浮球”中心，且、均与圆柱的底面垂直．
（1）设与圆柱底面所成的角为，试用表示出防压卡中四边形的面积，并写出的取值范围；
（2）研究表明，四边形的面积越大，“浮球”防压性越强，求四边形面积取最大值时，点到圆柱上底面的距离．
8.1空间几何图形A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以满足条件；
用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以不满足条件；
用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以满足条件；
用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以满足条件．
故选：．
2．【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：，
底面半径为：1，圆锥的高为：；
圆锥的体积为：，
故选：．
3．【解答】解：设圆台的比较小的底面半径为，比较大的底面的半径为，
则由已知可得，
因为圆台的侧面积为，
解得，
故选：．
4．【解答】解：设等边圆锥的底面半径为，则圆锥的母线为，
，
故选：．
5．【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，
设圆锥的轴与母线所成的角为，则，
，
故选：．
6．【解答】解：由题意可知椭半球体的体积，
故椭球体的体积为．
故选：．
7．【解答】解：设为正八棱锥底面外接圆心，连接，，，
由题意可知，，
，又，
，．
故选：．
8．【解答】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6，设高为，
则沙堆的体积为，
解得．
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以满足条件；
用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以不满足条件；
用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以满足条件；
用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以满足条件．
故选：．
10．【解答】解：在中，若斜棱柱被一垂直于底面的平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱，故正确；
在中，有两个面平行，其余各面都是梯形，且侧棱的延长线交于一点的几何体叫棱台，故错误；
在中，用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台，不正确，
当平面与底面平行时，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台．故错误；
在中，棱柱的概念知：
有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：圆柱的底面半径为，高为，
所以圆柱的侧面积为．
故答案为：．
12．【解答】解：圆锥底面半径为，母线长为，
则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为；
所以扇形的圆心角为．
故答案为：．
13．【解答】解：用长为3、宽为2的矩形做侧面，围成一个高为2的圆柱，
所以底面圆的周长为3，
计算底面圆的直径为，
所以圆柱的轴截面面积为．
故答案为：．
14．【解答】解：如图所示，
中，，，，
把绕直线旋转一周，得底面半径为，母线长为的圆锥，
则该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
15．【解答】解：所形成几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，
由题意可知圆柱的底面半径为，高为，圆锥底面半径为3，母线为6，
所以，，
所以所求几何体的表面积为．
16．【解答】解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面记为，
将球从圆锥内取出后，这时水面记为．
三角形为轴截面，是正三角形，
三角形也是正三角形，圆是正三角形的内切圆．
由题意可知，，，，
球，
未取出小于时，圆锥的体积，即，
又设，则
，
则，
即圆锥内的水深是
17．【解答】解：设圆台的上下底面半径为别为，，圆台母线长为，
，，解得
．
18．【解答】解：（1）因为、分别是圆柱上、下底面的圆心，所以与圆柱的底面垂直；
因为与圆柱的底面垂直，所以；
在梯形中，，，；
所以梯形的面积为
，
其中的取值范围是；
（2）由（1）得，，
令，解得或（不合题意，舍去）；
又，所以；
列表如下；
，
0
单调增
极大值
单调减
所以当时，取得极大值，即是最大值，此时；
所以四边形面积取最大值时，点到圆柱上底面的距离为．
