8.3简单几何体的表面积和体积B
一．选择题（共8小题）
1．在中，，，，以边所在的直线为轴，将旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为
A．
B．
C．36
D．12
2．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱锥外接球的表面积为
A．
B．
C．
D．
3．已知圆锥的高和底面半径都为1，则其侧面积为
A．
B．
C．
D．
4．古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式求体积（在正四面体中，表示正四面体的棱长；在正方体中，表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为、正四面体（正四面体棱长为、正方体（棱长为的“玉积率”分别为，，，那么的值为
A．
B．
C．
D．
5．如图，在直三棱柱中，，如果，，，那么直三棱柱的体积为
A．2
B．3
C．4
D．6
6．长方体的长、宽、高分别为，，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A．
B．
C．
D．
7．一个三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且长度分别为1，，2，则这个三棱锥的外接球的表面积为
A．
B．
C．
D．
8．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共2小题）
9．如图，在直三棱柱中，，，、分别为，中点，过点、、作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是
A．
B．直线与直线所成角为
C．若交于，则
D．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分，其中较大部分的体积为76
10．已知三棱锥中，，，，，则
A．三棱锥的外接球的体积为
B．三棱锥的外接球的体积为
C．三棱锥的体积的最大值为
D．三棱锥的体积的最大值为
三．填空题（共4小题）
11．如图，在四棱锥中，平面，是菱形，，，是上的一动点，
（1）当点满足 时，；
（2）在（1）的条件下，三棱锥的外接球的体积为 ．
12．已知一个圆锥的底面半径为3，高为6，在其内部有一个高为的内接圆柱，若按该圆柱的尺寸，制作一个没有上盖的圆柱形铁容器，则所需材料的最大面积为 ．
13．已知长方体的体积为72，则三棱锥的体积为 ．
14．如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 ．
四．解答题（共4小题）
15．如图所示，三棱柱中，底面，．
（1）求证：平面；
（2）已知，，且异面直线与所成的角为，求三棱柱的体积．
16．如图，在直三棱柱中，为中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，且，求三棱锥的体积．
17．已知四棱锥的正视图为等腰直角三角形，俯视图中正方形的边长为3．
（1）求四棱锥的体积；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．
18．如图，三棱柱中，，且，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
8.3简单几何体的表面积和体积B
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：，，，以边所在直线为旋转轴将旋转一周，
形成图形为：由为半径，为高的圆锥，
所围成的几何体的体积为：．
故选：．
2．【解答】解：由题意可得，顶点在底面的投影为正方形的中心，连接，，
则，，
由题意正四棱锥的球心在高上，设球心为，连接，
则为外接球的半径，
在三角形
中，，
即，
解得：，
所以球的表面积，
故选：．
3．【解答】解：圆锥的高和底面半径都为1，
则母线长为，
圆锥的侧面积为．
故选：．
4．【解答】解：直径为的球的体积，则；
如图，
正四面体的棱长为，则底面外接圆的半径为，
正四面体的高，
则其体积，得；
正方体的体积，则．
的值为．
故选：．
5．【解答】解：在直三棱柱中，
，，，，
又平面，且，
．
故选：．
6．【解答】解：根据题意，长方体的8个顶点都在同一球面上，则长方体的对角线的长就是球的直径，
而长方体的长、宽、高分别为，，1，则长方体的对角线长，
即球的半径，
故球的表面积，
故选：．
7．【解答】解：此三棱锥的外接球即棱长分别为1，，2的长方体的外接球，
而长方体的体对角线即为球的直径，
球的直径2
，
，
故外接球的表面积，
故选：．
8．【解答】解：圆锥的底面半径为2，高为4，
内接圆柱的底面半径为时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为
因此，内接圆柱的高；
圆柱的侧面积为：
令，当时；
所以当时，．
即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为．
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面，
，是中点，
是中点，
由与相似得，，则，
而是中点，于是与不平行，故选项错误；
在直三棱柱中，平面，平面，
，
又，，，平面，
平面，
又平面，
，故选项正确；
由可知，可知，选项正确；
延长交于点，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为：
，故选项错误．
故选：．
10．【解答】解：如图，，，，
，
，
，
的中点为外接球球心，
故半径为1，
体积为，
当面与面相互垂直时，点到面的距离最大，
故此时三棱锥的体积最大，此时高为；
其最大值为：．
故选：．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：（1）如图，在四棱锥中，平面，是菱形，，取的中点，连接，，
属于可得，，而，
所以面，所以；
（2）由（1）可得，且，面，三角形为边长正三角形，
所以三角形的外接圆的半径为，则，所以，
，
设三角形
的外接圆的圆心为，过作垂直于面，取为外接球的球心，连接，，则可得，
作于，则为矩形，，
在三角形中，，即，①
在三角形中，，即，②
由①②可得，，即外接球的球心为，
所以外接球的体积，
故答案分别为：，，．
12．【解答】解：设圆柱的底面半径为，则，，
圆柱形容器的表面积为，
当时，取得最大值．
故答案为：．
13．【解答】解：如图：设长方体的长为，宽为，高为，由题意零点，
三棱锥的体积为：．
故答案为：12．
14．【解答】解：如图所示，
圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为16，宽为4，
由，则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段，
且．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
15．【解答】证明：（1）底面，平面，，
又，且，
平面；
解：（2），为异面直线与所成的角为，
在中，可得，
．
16．【解答】（1）证明：连接交于点，连接，
四边形是平行四边形，是的中点，
又是的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2）解：，平面，平面，
平面，
，
，，，是的中点，
，
又，平面，
，
三棱锥的体积．
17．【解答】解：（1）由俯视图与正视图可知，该四棱锥的底面是边长为3的正方形，高．
；
证明：（2），平面，平面，
平面，
又平面平面，平面，
．
18．【解答】解：（Ⅰ）证明：，为的中
，
连结，，，，
，，
，
平面．
（Ⅱ），
，
，
，
三棱锥的体积．8.3简单几何体的表面积和体积A
一．选择题（共8小题）
1．若竖直放置的圆锥的正视图是一个面积为2的直角三角形，则该圆锥的体积为
A．
B．
C．
D．
2．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为
A．
B．
C．
D．
3．已知圆锥与圆柱的底面半径和高均为，且圆锥与圆柱表面积分别为，，则
A．
B．
C．
D．
4．某同学过18岁生日时，订了一个三层的蛋糕．已知该蛋糕三层均为高相等的圆柱形，且自上而下，三层蛋糕的半径分别为，，．若该蛋糕的总体积为，则所需要长方体包装盒的体积至少为
A．
B．
C．
D．
5．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为
A．
B．
C．
D．
6．在三棱锥中，是边长为3的正三角形，平面且，则该三棱锥的外接球的体积为
A．
B．
C．
D．
7．一个装有水的圆柱形玻璃杯的内半径为，将一个玻璃球完全浸入水中，杯中水上升了，则玻璃球的半径为
A．
B．
C．
D．
8．在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，、、的面积分别为1、、3，则三棱锥的外接球的表面积为
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共2小题）
9．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是
A．沙漏中的细沙体积为
B．沙漏的体积是
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为
D．该沙漏的一个沙时大约是1565秒
10．已知球的直径，、、是球表面上的三个不同的点，，则
A．
B．线段的最长长度为
C．三棱锥的体积最大值为3
D．过作球的截面中，球心到截面距离的最大值为1
三．填空题（共4小题）
11．若球的半径为2，则与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为 ．
12．一个漏斗的上半部分是一个长方体，下半部分是一个四棱锥，两部分的高都为米，公共的底面是边长为1米的正方形，那么这个漏斗的容积为 米．
13．一个三棱锥的6条棱中有5条棱长是1，一条棱长是，则该三棱锥的体积最大值是 ．
14．如图，将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为4的矩形，由点拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，线长的最小值为 （线粗忽略不计）．
四．解答题（共4小题）
15．将棱长为正方体截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
17．已知正三棱柱的边长均为，，分别是线段和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
18．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面，是等边三角形，，，是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积．
8.3简单几何体的表面积和体积A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：由题意，得该圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为，
易得圆锥高和底面半径均为，
则所求圆锥的体积为．
故选：．
2．【解答】解：设球的半径为，则由题意，，
所以圆柱的全面积与球的表面积之比为，
故选：．
3．【解答】解：圆锥与圆柱的底面半径和高均为，
则圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为；
所以．
故选：．
4．【解答】解：设每层蛋糕的高为，则蛋糕的体积，解得，
包装盒的高至少为，且底面至少为边长的正方形，
则包装盒的体积至少为．
故选：．
5．【解答】解：如图，
四棱锥，底面，，，
则，
故选：．
6．【解答】解：如图，底面三角形是边长为3的正三角形，
设其外接圆的圆心为，则，
设三棱锥的外接球的球心为，
取的中点，连接，平面，
，连接，则为三棱锥的外接球的半径．
．
该三棱锥的外接球的体积为．
故选：．
7．【解答】解：由设玻璃球的体积为，水上升的体积为，
则有，设玻璃球的半径为
则有，
可得，
所以，
则玻璃球的半径为．
故选：．
8．【解答】解：设，，，
则，解得，，，
三棱锥的外接球也是长宽高分别为2，1，3的长方体的外接球，
设外接球半径为，则，故，
外接球的表面积为．
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：对于，设细沙在上部时，细沙的底面半径为为，则，
所以细沙的体积为，故正确；
对于，沙漏的体积，故错误；
对于，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，解得，故正确；
对于，该沙漏的一个沙时为：秒，故错误．
故选：．
10．【解答】解：选项：因为，所以，且平面，
所以，故正确，
选项：设平面，则，所以，
所以，则，同理，
则当在上时，取得最大值为，故正确，
选项：当时，三棱锥的体积最大，因为，
则，，则，故错误，
选项：作，则可得为球心到截面距离的最大值，且，故正确，故选：．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：根据题意，截球所得圆的半径，
截球所得圆的面积为：．
故答案为：．
12．【解答】解：由长方体体积公式可得，容器上半部分的体积，
由棱锥体积公式可得，容器上半部分的体积．
则这个漏斗的容积为．
故答案为：．
13．【解答】解：不妨设三棱锥的棱
则和都是边长为1的正三角形
故到的距离为，，
当平面与平面垂直时，到平面的距离取得最大值，
故三棱锥的体积最大值为．
故答案为：．
14．【解答】解：设圆柱的侧面展开图矩形为，的中点为，
则，
线长的最小值为，
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
15．【解答】（1）证明：连接，交于点，
平面，平面，
，
点，分别是，的中点，，
又，，
，，
又，，
，即，
又，
平面．
（2）解：平面，是三棱锥的高，且，
点，分别是，的中点，，
，
．
16．【解答】（1）证明：取的中点，的中点，连接，，
四边形是正方形，是的中点，
，，三点共线，且是的中点，
又是的中点，，分别是，的中点，
，，
，又平面，平面，
平面．
（2）解：平面，是的中点，
到平面的距离为，
四边形是正方形，，，
三棱锥的体积为：．
17．【解答】（1）证明：取的中点为，连结，，
在中，为中位线，所以，，
又因为，，为的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为为的中点，
所以到底面的距离是到底面的距离的一半，
即三棱锥的高，
又的面积为，
所以．
18．【解答】（1）证明：因为侧面，平面，
所以，
因为是等边三角形，是线段的中点，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
（2）解：由（1）知：平面，所以是四棱锥的高，
由，，可得，
因为是等边三角形，，所以，
所以．
