8.4空间点直线平面的位置关系A
一．选择题（共8小题）
1．在空间四边形各边、、、上分别取点、、、，若直线、相交于点，则
A．点必在直线上
B．点必在直线上
C．点必在平面内
D．点必在平面内
2．正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成的角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
3．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角为
A．
B．
C．
D．
4．已知正方体的棱长为3，，，分别为棱，，上的点，其中，，，平面经过点，，，则截此正方体所得的截面为
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
5．四个顶点不在同一平面上的四边形中，，，，分别是边，，，上的点，如果直线，交于点，那么
A．点一定在直线上
B．点一定在直线上
C．点一定在平面外
D．点一定在平面内
6．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是
A．
B．
C．
D．
7．用符号表示“点在直线上，不在平面内”，正确的是
A．，
B．，
C．，
D．，
8．如图，在长方体中，体对角线与面对角线的位置关系一定是
A．平行
B．相交
C．异面
D．共面
二．多选题（共2小题）
9．三个平面，，两两均相交，则这三个平面的交线总共可能有 条．
A．1
B．2
C．3
D．4
10．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系
A．平行
B．垂直
C．异面
D．重合
三．填空题（共4小题）
11．已知直线平面，直线在内，则与所有可能的位置关系是 ．
12．如图，在正方体中，的中点为，的中点为，异面直线与所成的角是 ．
13．作一个平面截正方体得到一个多边形（包括三角形）截面，那么截面形状可能是 （填上所有你认为正确的选项的序号）．
①正三角形；②正方形；③菱形；④非正方形的矩形；⑤正五边形；⑥正六边形．
14．正方体的棱长为2，点在棱上运动，过，，三点作正方体的截面，若为棱的中点，则截面面积为 ，若截面把正方体分成体积之比为的两部分，则 ．
四．解答题（共4小题）
15．如图，在四棱锥中，，，，过直线的平面与棱，分别交于点，．
（1）求异面直线与所成角的正切值；
（2）求证：．
16．如图，在正方体中，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若为平面的中心，求异面直线与所成角的余弦值．
17．如图在三棱锥中，棱、、两两垂直，，点在上，且．
（1）求异面直线和所成的角的大小；
（2）求三棱锥的体积．
18．如图，长方体中，，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
8.4空间点直线平面的位置关系A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：作图如下：
因为属于一个面，而属于另一个面，且和能相交于点，
所以在两面的交线上，
因为是两平面的交线，
所以点必在直线上．
故选：．
2．【解答】解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，0，，，2，，，1，，，2，，
，1，，，0，，
，，
异面直线，所成的角的余弦值为．
故选：．
3．【解答】解：如图：连接，
，分别是，的中点，
，，四边形为平行四边形
，即为异面直线与所成的角
在三角形中，
异面直线与所成角为
故选：．
4．【解答】解：根据两平行平面被第三个平面所截的交线平行，可知截面与平面的交线平行于，
取的中点，的中点，连结、、，
又，，，，
所以，而，，
所以，即为截面与平面的交线，
而，，平面，平面，所以平面，
同理在上取点，使得，，连结，
所以平面即为截面，即截此正方体所得的截面为五边形．
故选：．
5．【解答】解：如图，四个顶点不在同一平面上的四边形中，
，，，分别是边，，，上的点，
平面平面，
直线，交于点，平面，平面，
点是平面和平面的公共点，
点一定在直线上．
故选：．
6．【解答】解：如图所示，由题可知，四边形和均为正方形，为正三角形，
，，
或其补角为异面直线与所成角，
为正三角形，
．
故选：．
7．【解答】解：“点在直线上，不在平面内”，符号表示为：，，
故选：．
8．【解答】解：体对角线与面对角线不在同一个平面内，且不平行，故体对角线与面对角线的位置关系一定是异面，
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：当三个平面交于一条直线时，交线的条数是1，
当三个平面两两相交，交线不重合时，有3条交线，
综上：可知空间中三个平面两两相交交线的条数是1或3，
故选：．
10．【解答】解：在正方中，
，，，故正确；
，，，故正确；
，，与是异面直线，故正确；
垂直于同一条直线的两条直线不能重合，故错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：直线平面，直线在内，
所以直线与没有交点，
所以直线与所有可能的关系为平行或异面．
故答案为：平行或异面．
12．【解答】解：取中点，连接，
则，
由△可知，
，
，
，
异面直线与所成的角为．
故答案为：．
13．【解答】解：如图，作一个平面截正方体得到一个多边形（包括三角形）截面，
对于①，截面形状可能是正三角形，故①正确；
对于②，截面形状可能是正方形，其中、、、分别是所在棱的中点，故②正确；
对于③，截面形状可能是菱形，其中、、、分别是所在棱的中点，故③正确；
对于④，截面形状可能是，故④正确；
对于⑤，由正方体的对称性得截面形状不可能是正五边形，故⑤错误；
对于⑥，截面形状可能是正六边形，其中、、、、、分别是所在棱的中点，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑥．
14．【解答】解：如图，过点作，交于，连结，
则平面是经过点，，三点的正方体的截面，
因为为棱的中点，
所以是的中点，
所以，，
，，
所以梯形是等腰梯形，
梯形的高为，
所以截面面积为，
设，
根据题意可得，
所以，
解得，
故答案为：，．
四．解答题（共4小题）
15．【解答】（1）解：，即为异面直线与所成的角或其补角．
，，，
又，，异面直线与所成角的正切值为2．
（2）证明：，
又平面，平面，平面．
又由题意，得平面平面，平面，
，．
16．【解答】解：（1）证明：在正方体中，，
，
平面，平面，
平面．
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，1，，，2，，，2，，
，0，，，1，，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
17．【解答】解：（1）在上取点，使，连接，，
，，
，
或其补角即为异面直线和所成的角，
在中，，，，
由余弦定理知，，
，
异面直线和所成的角的大小为．
（2），
故三棱锥的体积为3．
18．【解答】（1）证明：设和交于点，则为的中点．
连结，又因为是的中点，所以．
又因为平面，平面
所以直线平面．
（2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与所成的角．
因为，且，
所以．
又，，所以
故异面直线与所成角的大小为．8.4空间点直线平面的位置关系B
一．选择题（共8小题）
1．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该正方体所得截面的面积为
A．
B．
C．4
D．5
2．在正方体中，，分别为棱和的中点，则与所成角的正切值为
A．
B．
C．
D．
3．在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是
A．
B．
C．
D．
4．下列命题是公理的是
A．平行于同一个平面的两个平面互相平行
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
D．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
5．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是
A．①②④
B．②③
C．①②
D．②③④
6．如图，在正方体中，为中点，则与所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
7．正三棱锥中，若，，点、分别在侧棱、上运动，则的周长的最小值为
A．
B．
C．12
D．
8．设是直线外一定点，过点且与成角的异面直线
A．有无数条
B．有两条
C．至多有两条
D．仅一条
二．多选题（共2小题）
9．两个不同的平面、，它们的交点个数可以为
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
10．若、异面，、相交，则、的关系为可能为
A．平行
B．相交
C．异面
D．重合
三．填空题（共4小题）
11．已知平面，，，，，若，，则与的位置关系是 ．
12．正方体中，则异面直线与所成的角大小为 ．
13．棱长为4的正方体中，是棱的中点，过点、、作正方体的截面，则截面图形的面积是 ．
14．已知正方体的棱长为1，垂直于棱的截面分别与面对角线、、、相交于点、、、，则四边形面积的最大值为 ．
四．解答题（共4小题）
15．如图，在正方体中，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成的角．
16．如图，在直三棱柱中，为棱的中点．
（1）求证：面；
（2）若，，，求异面直线与所成角的余弦值．
17．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求异面直线与所成角的大小．
18．如图，长方体中，，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
8.4空间点直线平面的位置关系B
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，
过的平面与直线平行，又，
平面是平面，
取中点，连结，，则，
平面截该正方体所得截面为矩形，
，，，
平面截该正方体所得截面的面积为．
故选：．
2．【解答】解：设正方体的棱长为2，
以为原点，，，所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，2，，，0，，，0，，，2，，
，，，，2，，
，，
异面直线所成角的取值范围为，，
，，
与所成角的正切值为．
故选：．
3．【解答】解：由题意可得，．
．
又，，，
，，，，
故选：．
4．【解答】解：，为定理，不是公理；
对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、也可能相交、也可能异面，故错误；
是教材中给出的公理．
故选：．
5．【解答】解：当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，
当截面过正方体的体对角线时得②，
当截面平行于正方体的一个侧面时得④，
但无论如何都不能得到截面③．
故选：．
6．【解答】解：取的中点，连接、，
为的中点，，
或其补角即为与所成角，
设正方体的棱长为2，
在中，，，，
由余弦定理知，，
与所成角的余弦值为．
故选：．
7．【解答】解：将三棱锥由展开，如图，
正三棱锥中，，则图中，
当点、、、位于同一条直线上时，的周长最小，
故为的周长的最小值，
又，为等腰三角形，
，，
，
的最小周长为：．
故选：．
8．【解答】解：如图：依题意，设过点且与直线平行的平面为，
在平面内过作的平行线，
在平面内过直线使与夹角为．
将平面绕旋转，且使平面不过直线，
则直线每旋转到一个新位置得到的直线均与异面，且与的夹角均为，
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解；根据平面的基本性质中的公理2：如果两个平面有一个公共点，
那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
则两个平面有公共点，则公共点的个数是无数个；
若两平面平行，故它们公共点的个数是0个．
故选：．
10．【解答】解：如图，
、异面，、相交，
当位于位置时，此时与平行；
当位于位置时，此时与相交；
当位于位置时，此时与异面．
若与重合，与异面，与异面，与，相交相矛盾．
故、的关系为可能为平行，相交，异面．
故选：．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：平面，，，，，，
，，
与的位置关系是平行．
故答案为：平行．
12．【解答】解：如图，连接，
，
为异面直线与所成的角，且，
异面直线与所成的角大小为，
故答案为：．
13．【解答】解：如图所示，所求的截面图形为图中的四边形，其中为的中点，
该四边形是等腰梯形，其中上底，下底，
，所以高，
所以四边形的面积．
故答案为：18．
14．【解答】解：因为正方体的棱长为1，垂直于棱的截面分别与面对角线、、、相交于点、、、，
所以，，，，
因为，
所以四边形是矩形，
，
设到平面的距离为，，
则，，
所以，，
所以当时，．
故答案为：
四．解答题（共4小题）
15．【解答】解：（1）证明：连结，，
是正方形对角线的中点，
是的中点，
是的中点，，
又平面，面，
平面．
（2）由（1）知，且，
直线与直线所成角为直线与直线所成角，
正方形中，，
直线与直线所成的角为．
16．【解答】（1）证明：取的中点，连接，，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面，
同理可证：平面，
又，平面，平面，
平面平面，又平面，
面．
（2）解：取的中点，的中点，连接，
，，，，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，0，，，0，，，0，，
，，，，0，，
，，
异面直线与所成角的余弦值为．
17．【解答】解：如图，取的中点，连接，，
，，
四边形为平行四边形，，
即为异面直线与所成的角．
在中，，，
在△中，，
又，
，即，
，
，，
，即异面直线与所成角的大小为．
18．【解答】解：（1）证明：（1）设和交于点，连接，
，分别是，的中点，，
又面，面，
面．
（2）解：由（1）知，，
异面直线与所成的角就等于与所成的角，
即为异面直线与所成角，
，，且，
异面直线与所成角的正弦值为：
．
